《算法設計與分析》考試題目答案.doc

算法分析與設計期末復習題一、 選擇題1.應用Johnson法則的流水作業(yè)調(diào)度采用的算法是（D）A. 貪心算法 B. 分支限界法 C.分治法 D. 動態(tài)規(guī)劃算法2.Hanoi塔問題如下圖所示。現(xiàn)要求將塔座A上的的所有圓盤移到塔座B上，并仍按同樣順序疊置。移動圓盤時遵守Hanoi塔問題的移動規(guī)則。由此設計出解Hanoi塔問題的遞歸算法正確的為：（B）A. void hanoi(int n, int A, int C, int B) if (n > 0) hanoi(n-1,A,C, B); move(n,a,b); hanoi(n-1, C, B, A); Hanoi塔B. void hanoi(int n, int A, int B, int C) if (n > 0) hanoi(n-1, A, C, B); move(n,a,b); hanoi(n-1, C, B, A); C. void hanoi(int n, int C, int B, int A) if (n > 0) hanoi(n-1, A, C, B); move(n,a,b); hanoi(n-1, C, B, A); D. void hanoi(int n, int C, int A, int B) if (n > 0) hanoi(n-1, A, C, B); move(n,a,b); hanoi(n-1, C, B, A); 3. 動態(tài)規(guī)劃算法的基本要素為（C）A. 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)與貪心選擇性質(zhì)B重疊子問題性質(zhì)與貪心選擇性質(zhì)C最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)與重疊子問題性質(zhì)D. 預排序與遞歸調(diào)用4. 算法分析中，記號O表示（B）， 記號表示（A）， 記號表示（D）。A.漸進下界B.漸進上界C.非緊上界D.緊漸進界E.非緊下界 5. 以下關于漸進記號的性質(zhì)是正確的有：（A）A.B. C. O(f(n)+O(g(n) = O(minf(n),g(n) D. 6. 能采用貪心算法求最優(yōu)解的問題，一般具有的重要性質(zhì)為：（A）A. 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)與貪心選擇性質(zhì)B重疊子問題性質(zhì)與貪心選擇性質(zhì)C最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)與重疊子問題性質(zhì)D. 預排序與遞歸調(diào)用7. 回溯法在問題的解空間樹中，按（D）策略，從根結(jié)點出發(fā)搜索解空間樹。A 廣度優(yōu)先 B. 活結(jié)點優(yōu)先 C.擴展結(jié)點優(yōu)先 D. 深度優(yōu)先8. 分支限界法在問題的解空間樹中，按（A）策略，從根結(jié)點出發(fā)搜索解空間樹。 A 廣度優(yōu)先 B. 活結(jié)點優(yōu)先 C.擴展結(jié)點優(yōu)先 D. 深度優(yōu)先9. 程序塊（A）是回溯法中遍歷排列樹的算法框架程序。void backtrack (int t) if (t>n) output(x); else for (int i=t;i<=n;i+) swap(xt, xi); if (legal(t) backtrack(t+1); swap(xt, xi); A.void backtrack (int t) if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i+) xt=i; if (legal(t) backtrack(t+1); B. void backtrack (int t) if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i+) xt=i; if (legal(t) backtrack(t-1); C.D.void backtrack (int t) if (t>n) output(x); else for (int i=t;i<=n;i+) swap(xt, xi); if (legal(t) backtrack(t+1); 10. 回溯法的效率不依賴于以下哪一個因素？（C ）A. 產(chǎn)生xk的時間；B. 滿足顯約束的xk值的個數(shù)；C. 問題的解空間的形式； D. 計算上界函數(shù)bound的時間；E. 滿足約束函數(shù)和上界函數(shù)約束的所有xk的個數(shù)。F. 計算約束函數(shù)constraint的時間；11. 常見的兩種分支限界法為（D）A. 廣度優(yōu)先分支限界法與深度優(yōu)先分支限界法；B. 隊列式（FIFO）分支限界法與堆棧式分支限界法；C. 排列樹法與子集樹法；D. 隊列式（FIFO）分支限界法與優(yōu)先隊列式分支限界法；12. k帶圖靈機的空間復雜性S(n)是指（B）A. k帶圖靈機處理所有長度為n的輸入時，在某條帶上所使用過的最大方格數(shù)。B. k帶圖靈機處理所有長度為n的輸入時，在k條帶上所使用過的方格數(shù)的總和C. 。C. k帶圖靈機處理所有長度為n的輸入時，在k條帶上所使用過的平均方格數(shù)。D. k帶圖靈機處理所有長度為n的輸入時，在某條帶上所使用過的最小方格數(shù)。13. NP類語言在圖靈機下的定義為（D）A. NP=L|L是一個能在非多項式時間內(nèi)被一臺NDTM所接受的語言；B. NP=L|L是一個能在多項式時間內(nèi)被一臺NDTM所接受的語言；C. NP=L|L是一個能在多項式時間內(nèi)被一臺DTM所接受的語言；D. NP=L|L是一個能在多項式時間內(nèi)被一臺NDTM所接受的語言；14. 記號O的定義正確的是（A）。A. O(g(n) = f(n) | 存在正常數(shù)c和n0使得對所有nn0有：0 f(n) cg(n) ；B. O(g(n) = f(n) | 存在正常數(shù)c和n0使得對所有nn0有：0 cg(n) f(n) ；C. O(g(n) = f(n) | 對于任何正常數(shù)c>0，存在正數(shù)和n0 >0使得對所有nn0有：0 f(n)<cg(n) ；D. O(g(n) = f(n) | 對于任何正常數(shù)c>0，存在正數(shù)和n0 >0使得對所有nn0有：0 cg(n) < f(n) ；15. 記號的定義正確的是（B）。A. O(g(n) = f(n) | 存在正常數(shù)c和n0使得對所有nn0有：0 f(n) cg(n) ；B. O(g(n) = f(n) | 存在正常數(shù)c和n0使得對所有nn0有：0 cg(n) f(n) ；C. (g(n) = f(n) | 對于任何正常數(shù)c>0，存在正數(shù)和n0 >0使得對所有nn0有：0 f(n)<cg(n) ；D. (g(n) = f(n) | 對于任何正常數(shù)c>0，存在正數(shù)和n0 >0使得對所有nn0有：0 cg(n) < f(n) ；二、 填空題1. 下面程序段的所需要的計算時間為（ ）。int MaxSum(int n, int *a, int &besti, int &bestj)int sum=0;for(int i=1;i<=n;i+) int thissum=0;for(int j=i;j<=n;j+) thissum+=aj;if(thissum>sum)sum=thissum;besti=i;bestj=j;return sum;2. 有11個待安排的活動，它們具有下表所示的開始時間與結(jié)束時間，如果以貪心算法求解這些活動的最優(yōu)安排（即為活動安排問題：在所給的活動集合中選出最大的相容活動子集合），得到的最大相容活動子集合為活動（ 1，4，8，11 ）。1413121110987654fi122886535031Si1110987654321i3. 所謂貪心選擇性質(zhì)是指（所求問題的整體最優(yōu)解可以通過一系列局部最優(yōu)的選擇，即貪心選擇來達到）。4. 所謂最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是指（問題的最優(yōu)解包含了其子問題的最優(yōu)解）。5. 回溯法是回溯法是指（具有限界函數(shù)的深度優(yōu)先生成法）。6. 用回溯法解題的一個顯著特征是在搜索過程中動態(tài)產(chǎn)生問題的解空間。在任何時刻，算法只保存從根結(jié)點到當前擴展結(jié)點的路徑。如果解空間樹 中從根結(jié)點到葉結(jié)點的最長路徑的長度為h(n)，則回溯法所需的計算空間通常為（O(h(n)）。7. 回溯法的算法框架按照問題的解空間一般分為（子集樹）算法框架與（排列樹）算法框架。8. 用回溯法解0/1背包問題時，該問題的解空間結(jié)構(gòu)為（子集樹）結(jié)構(gòu)。9.用回溯法解批處理作業(yè)調(diào)度問題時，該問題的解空間結(jié)構(gòu)為（排列樹）結(jié)構(gòu)。10.用回溯法解0/1背包問題時，計算結(jié)點的上界的函數(shù)如下所示，請在空格中填入合適的內(nèi)容：Typep Knap<Typew, Typep>:Bound(int i)/ 計算上界 Typew cleft = c - cw; / 剩余容量 Typep b = cp; / 結(jié)點的上界 / 以物品單位重量價值遞減序裝入物品 while (i <= n && wi <= cleft) cleft -= wi; b += pi; i+; / 裝滿背包 if (i <= n) （b += pi/wi * cleft）; return b;11. 用回溯法解布線問題時，求最優(yōu)解的主要程序段如下。如果布線區(qū)域劃分為的方格陣列，擴展每個結(jié)點需O(1)的時間，L為最短布線路徑的長度，則算法共耗時 ( O(mn) )，構(gòu)造相應的最短距離需要（O(L)）時間。for (int i = 0; i < NumOfNbrs; i+) nbr.row = here.row + offseti.row; nbr.col = here.col + offseti.col; if (gridnbr.rownbr.col = 0) / 該方格未標記 gridnbr.rownbr.col = gridhere.rowhere.col + 1; if (nbr.row = finish.row) && (nbr.col = finish.col) break; / 完成布線 Q.Add(nbr); 12. 用回溯法解圖的m著色問題時，使用下面的函數(shù)OK檢查當前擴展結(jié)點的每一個兒子所相應的顏色的可用性，則需耗時（漸進時間上限）（O（mn）。Bool Color:OK(int k)/ for(int j=1;j<=n;j+)if(akj= =1)&&(xj= =xk) return false;return true;13. 旅行售貨員問題的解空間樹是（排列樹）。6.7.三、 證明題1. 一個分治法將規(guī)模為n的問題分成k個規(guī)模為nm的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：通過迭代法求得T（n）的顯式表達式為：試證明T（n）的顯式表達式的正確性。2. 舉反例證明0/1背包問題若使用的算法是按照pi/wi的非遞減次序考慮選擇的物品，即只要正在被考慮的物品裝得進就裝入背包，則此方法不一定能得到最優(yōu)解（此題說明0/1背包問題與背包問題的不同）。證明：舉例如：p=7,4,4,w=3,2,2,c=4時，由于7/3最大，若按題目要求的方法，只能取第一個，收益是7。而此實例的最大的收益應該是8，取第2，3 個。3. 求證：O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) 。證明：對于任意f1(n) O(f(n) ，存在正常數(shù)c1和自然數(shù)n1，使得對所有nn1，有f1(n) c1f(n) 。類似地，對于任意g1(n) O(g(n) ，存在正常數(shù)c2和自然數(shù)n2，使得對所有nn2，有g1(n) c2g(n) 。令c3=maxc1, c2， n3 =maxn1, n2，h(n)= maxf(n),g(n) 。則對所有的 n n3，有f1(n) +g1(n) c1f(n) + c2g(n) c3f(n) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n) c32 maxf(n),g(n) = 2c3h(n) = O(maxf(n),g(n) .4. 求證最優(yōu)裝載問題具有貪心選擇性質(zhì)。（最優(yōu)裝載問題：有一批集裝箱要裝上一艘載重量為c的輪船。其中集裝箱i的重量為Wi。最優(yōu)裝載問題要求確定在裝載體積不受限制的情況下，將盡可能多的集裝箱裝上輪船。設集裝箱已依其重量從小到大排序，(x1,x2,xn)是最優(yōu)裝載問題的一個最優(yōu)解。又設 。如果給定的最優(yōu)裝載問題有解，則有。） 證明：四、 解答題1. 機器調(diào)度問題。問題描述：現(xiàn)在有n件任務和無限多臺的機器，任務可以在機器上得到處理。每件任務的開始時間為si，完成時間為fi，si<fi 。si，fi為處理任務i的時間范圍。兩個任務i，j重疊指兩個任務的時間范圍區(qū)間有重疊，而并非指i，j的起點或終點重合。例如：區(qū)間1，4與區(qū)間2，4重疊，而與4，7不重疊。一個可行的任務分配是指在分配中沒有兩件重疊的任務分配給同一臺機器。因此，在可行的分配中每臺機器在任何時刻最多只處理一個任務。最優(yōu)分配是指使用的機器最少的可行分配方案。問題實例：若任務占用的時間范圍是1，4，2，5，4，5，2，6，4，7，則按時完成所有任務最少需要幾臺機器？（提示：使用貪心算法）畫出工作在對應的機器上的分配情況。2. 已知非齊次遞歸方程： ，其中，b、c是常數(shù)，g(n)是n的某一個函數(shù)。則f(n)的非遞歸表達式為：?，F(xiàn)有Hanoi塔問題的遞歸方程為： ，求h(n)的非遞歸表達式。解：利用給出的關系式，此時有：b=2, c=1, g(n)=1, 從n遞推到1，有：3. 單源最短路徑的求解。問題的描述：給定帶權有向圖（如下圖所示）G =(V,E)，其中每條邊的權是非負實數(shù)。另外，還給定V中的一個頂點，稱為源。現(xiàn)在要計算從源到所有其它各頂點的最短路長度。這里路的長度是指路上各邊權之和。這個問題通常稱為單源最短路徑問題。解法：現(xiàn)采用Dijkstra算法計算從源頂點1到其它頂點間最短路徑。請將此過程填入下表中。432110030maxint10-1初始dist5dist4dist3dist2uS迭代4. 請寫出用回溯法解裝載問題的函數(shù)。裝載問題：有一批共n個集裝箱要裝上2艘載重量分別為c1和c2的輪船，其中集裝箱i的重量為wi，且。裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這n個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。解：void backtrack (int i) / 搜索第i層結(jié)點 if (i > n) / 到達葉結(jié)點 更新最優(yōu)解bestx,bestw;return; r -= wi; if (cw + wi <= c) / 搜索左子樹 xi = 1; cw += wi; backtrack(i + 1); cw -= wi; if (cw + r > bestw) xi = 0; / 搜索右子樹 backtrack(i + 1); r += wi; 5. 用分支限界法解裝載問題時，對算法進行了一些改進，下面的程序段給出了改進部分；試說明斜線部分完成什么功能，以及這樣做的原因，即采用這樣的方式，算法在執(zhí)行上有什么不同。/ 檢查左兒子結(jié)點 Type wt = Ew + wi; / 左兒子結(jié)點的重量 if (wt <= c) / 可行結(jié)點 if (wt > bestw) bestw = wt; / 加入活結(jié)點隊列 if (i < n) Q.Add(wt);/ 檢查右兒子結(jié)點 if (Ew + r > bestw && i < n) Q.Add(Ew); / 可能含最優(yōu)解 Q.Delete(Ew); / 取下一擴展結(jié)點 解答：斜線標識的部分完成的功能為：提前更新bestw值；這樣做可以盡早的進行對右子樹的剪枝。具體為：算法Maxloading初始時將bestw設置為0，直到搜索到第一個葉結(jié)點時才更新bestw。因此在算法搜索到第一個葉子結(jié)點之前，總有bestw=0，r>0 故Ew+r>bestw總是成立。也就是說，此時右子樹測試不起作用。為了使上述右子樹測試盡早生效，應提早更新bestw。又知算法最終找到的最優(yōu)值是所求問題的子集樹中所有可行結(jié)點相應重量的最大值。而結(jié)點所相應得重量僅在搜索進入左子樹是增加，因此，可以在算法每一次進入左子樹時更新bestw的值。7. 最長公共子序列問題：給定2個序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出X和Y的最長公共子序列。 由最長公共子序列問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)建立子問題最優(yōu)值的遞歸關系。用cij記錄序列Xi和Yj的最長公共子序列的長度。其中， Xi=x1,x2,xi；Yj=y1,y2,yj。當i=0或j=0時，空序列是Xi和Yj的最長公共子序列。故此時Cij=0。其它情況下，由最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)可建立遞歸關系如下：在程序中，bij記錄Cij的值是由哪一個子問題的解得到的。（1） 請?zhí)顚懗绦蛑械目崭?，以使函?shù)LCSLength完成計算最優(yōu)值的功能。void LCSLength(int m，int n，char *x，char *y，int *c，int *b) int i，j; for (i = 1; i <= m; i+) ci0 = 0; for (i = 1; i <= n; i+) c0i = 0; for (i = 1; i <= m; i+) for (j = 1; j <= n; j+) if (xi=yj) cij=ci-1j-1+1; bij=1;else if (ci-1j>=cij-1) cij=ci-1j; bij=2; else cij=cij-1; bij=3; （2） 函數(shù)LCS實現(xiàn)根據(jù)b的內(nèi)容打印出Xi和Yj的最長公共子序列。請?zhí)顚懗绦蛑械目崭?，以使函?shù)LCS完成構(gòu)造最長公共子序列的功能（請將bij的取值與（1）中您填寫的取值對應，否則視為錯誤）。void LCS(int i，int j，char *x，int *b) if (i =0 | j=0) return; if (bij= 1) LCS(i-1，j-1，x，b); cout<<xi; else if (bij= 2) LCS(i-1，j，x，b); else LCS(i，j-1，x，b);8.對下面的遞歸算法，寫出調(diào)用f(4)的執(zhí)行結(jié)果。void f(int k) if( k>0 ) printf("%dn ",k); f(k-1); f(k-1); 一、填空題（20分）1.一個算法就是一個有窮規(guī)則的集合，其中之規(guī)則規(guī)定了解決某一特殊類型問題的一系列運算，此外，算法還應具有以下五個重要特性:_,_,_,_,_。2.算法的復雜性有_和_之分，衡量一個算法好壞的標準是_。3.某一問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的顯著特征是_。4.若序列X=B,C,A,D,B,C,D，Y=A,C,B,A,B,D,C,D，請給出序列X和Y的一個最長公共子序列_。5.用回溯法解問題時，應明確定義問題的解空間，問題的解空間至少應包含_。 6.動態(tài)規(guī)劃算法的基本思想是將待求解問題分解成若干_，先求解_，然后從這些_的解得到原問題的解。7.以深度優(yōu)先方式系統(tǒng)搜索問題解的算法稱為_。8.0-1背包問題的回溯算法所需的計算時間為_,用動態(tài)規(guī)劃算法所需的計算時間為_。9.動態(tài)規(guī)劃算法的兩個基本要素是_和_。10.二分搜索算法是利用_實現(xiàn)的算法。二、綜合題（50分）1.寫出設計動態(tài)規(guī)劃算法的主要步驟。2.流水作業(yè)調(diào)度問題的johnson算法的思想。3.若n=4，在機器M1和M2上加工作業(yè)i所需的時間分別為ai和bi，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求4個作業(yè)的最優(yōu)調(diào)度方案，并計算最優(yōu)值。4.使用回溯法解0/1背包問題：n=3，C=9，V=6,10,3，W=3,4,4,其解空間有長度為3的0-1向量組成，要求用一棵完全二叉樹表示其解空間（從根出發(fā)，左1右0），并畫出其解空間樹，計算其最優(yōu)值及最優(yōu)解。5.設S=X1，X2，Xn是嚴格遞增的有序集，利用二叉樹的結(jié)點來存儲S中的元素，在表示S的二叉搜索樹中搜索一個元素X，返回的結(jié)果有兩種情形，（1）在二叉搜索樹的內(nèi)結(jié)點中找到X=Xi，其概率為bi。（2）在二叉搜索樹的葉結(jié)點中確定X（Xi，Xi+1），其概率為ai。在表示S的二叉搜索樹T中，設存儲元素Xi的結(jié)點深度為Ci；葉結(jié)點（Xi，Xi+1）的結(jié)點深度為di，則二叉搜索樹T的平均路長p為多少？假設二叉搜索樹Tij=Xi，Xi+1，Xj最優(yōu)值為mij，Wij= ai-1+bi+bj+aj，則mij(1<=i<=j<=n)遞歸關系表達式為什么？6.描述0-1背包問題。三、簡答題（30分）1.流水作業(yè)調(diào)度中，已知有n個作業(yè)，機器M1和M2上加工作業(yè)i所需的時間分別為ai和bi，請寫出流水作業(yè)調(diào)度問題的johnson法則中對ai和bi的排序算法。（函數(shù)名可寫為sort(s,n)）2.最優(yōu)二叉搜索樹問題的動態(tài)規(guī)劃算法（設函數(shù)名binarysearchtree)）答案：一、填空1確定性 有窮性 可行性 0個或多個輸入 一個或多個輸出2.時間復雜性 空間復雜性 時間復雜度高低 3. 該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì) 4.BABCD或CABCD或CADCD 5.一個（最優(yōu)）解 6.子問題 子問題 子問題 7.回溯法 8. o(n*2n) o(minnc,2n)9.最優(yōu)子結(jié)構(gòu) 重疊子問題10.動態(tài)規(guī)劃法二、綜合題1.問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；構(gòu)造最優(yōu)值的遞歸關系表達式； 最優(yōu)值的算法描述；構(gòu)造最優(yōu)解；2. 令N1=i|ai<bi，N2=i|ai>=bi；將N1中作業(yè)按ai的非減序排序得到N1，將N2中作業(yè)按bi的非增序排序得到N2；N1中作業(yè)接N2中作業(yè)就構(gòu)成了滿足Johnson法則的最優(yōu)調(diào)度。3.步驟為：N1=1，3，N2=2，4；N1=1，3， N2=4，2；最優(yōu)值為：384.解空間為(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)。解空間樹為：ABCFEDGKJIHONML11100001011010該問題的最優(yōu)值為：16 最優(yōu)解為：（1，1，0）5.二叉樹T的平均路長P=+ mij=Wij+minmik+mk+1j (1<=i<=j<=n,mii-1=0)mij=0 (i>j)6.已知一個背包的容量為C，有n件物品，物品i的重量為Wi，價值為Vi，求應如何選擇裝入背包中的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大。三、簡答題1.void sort(flowjope s,int n) int i,k,j,l; for(i=1;i<=n-1;i+)/-選擇排序 k=i; while(k<=n&&sk.tag!=0) k+; if(k>n) break;/-沒有ai，跳出 else for(j=k+1;j<=n;j+) if(sj.tag=0) if(sk.a>sj.a) k=j; swap(si.index,sk.index); swap(si.tag,sk.tag); l=i;/-記下當前第一個bi的下標 for(i=l;i<=n-1;i+) k=i; for(j=k+1;j<=n;j+) if(sk.b<sj.b) k=j; swap(si.index,sk.index); /-只移動index和tag swap(si.tag,sk.tag); 2.void binarysearchtree(int a,int b,int n,int *m,int *s,int *w) int i,j,k,t,l; for(i=1;i<=n+1;i+) wii-1=ai-1; mii-1=0; for(l=0;l<=n-1;l+)/-l是下標j-i的差for(i=1;i<=n-l;i+) j=i+l;wij=wij-1+aj+bj;mij=mii-1+mi+1j+wij;sij=i;for(k=i+1;k<=j;k+) t=mik-1+mk+1j+wij;if(t<mij) mij=t;sij=k;一、 填空題（本題15分，每小題1分）1、 算法就是一組有窮的 ，它們規(guī)定了解決某一特定類型問題的 。2、 在進行問題的計算復雜性分析之前，首先必須建立求解問題所用的計算模型。3個基本計算模型是 、 、 。3、 算法的復雜性是 的度量，是評價算法優(yōu)劣的重要依據(jù)。4、 計算機的資源最重要的是 和 資源。因而，算法的復雜性有 和 之分。5、 f(n)= 62n+n2，f(n)的漸進性態(tài)f(n)= O( )6、 貪心算法總是做出在當前看來 的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優(yōu)考慮，它所做出的選擇只是在某種意義上的 。7、 許多可以用貪心算法求解的問題一般具有2個重要的性質(zhì)： 性質(zhì)和 性質(zhì)。二、簡答題（本題25分，每小題5分）1、 簡單描述分治法的基本思想。2、 簡述動態(tài)規(guī)劃方法所運用的最優(yōu)化原理。3、 何謂最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)？4、 簡單描述回溯法基本思想。5、 何謂P、NP、NPC問題三、算法填空（本題20分，每小題5分）1、n后問題回溯算法(1)用二維數(shù)組ANN存儲皇后位置,若第i行第j列放有皇后,則Aij為非0值,否則值為0。(2)分別用一維數(shù)組MN、L2*N-1、R2*N-1表示豎列、左斜線、右斜線是否放有棋子，有則值為1,否則值為0。for(j=0;j<N;j+) if( 1 ) /*安全檢查*/ Aij=i+1; /*放皇后*/ 2 ； if(i=N-1) 輸出結(jié)果； else 3 ；; /*試探下一行*/ 4 ； /*去皇后*/ 5 ；; 2、數(shù)塔問題。有形如下圖所示的數(shù)塔，從頂部出發(fā)，在每一結(jié)點可以選擇向左走或是向右走，一起走到底層，要求找出一條路徑，使路徑上的值最大。for(r=n-2;r>=0;r-) /自底向上遞歸計算for(c=0; 1 ;c+) if( tr+1c>tr+1c+1) 2 ；else 3 ；3、Hanoi算法Hanoi(n,a,b,c)if （n=1） 1 ；else 2 ； 3 ；Hanoi(n-1,b, a, c);4、Dijkstra算法求單源最短路徑du:s到u的距離 pu:記錄前一節(jié)點信息Init-single-source(G,s)for each vertex vVG do dv=; 1 ds=0Relax(u,v,w)if dv>du+w(u,v)then dv=du+wu,v; 2 dijkstra(G,w,s)1. Init-single-source(G,s) 2. S= 3. Q=VG4.while Q<> do u=min(Q) S=Su for each vertex 3 do 4 四、算法理解題（本題10分）根據(jù)優(yōu)先隊列式分支限界法，求下圖中從v1點到v9點的單源最短路徑，請畫出求得最優(yōu)解的解空間樹。要求中間被舍棄的結(jié)點用標記，獲得中間解的結(jié)點用單圓圈框起，最優(yōu)解用雙圓圈框起。五、算法理解題（本題5分）設有n=2k個運動員要進行循環(huán)賽，現(xiàn)設計一個滿足以下要求的比賽日程表：每個選手必須與其他n-1名選手比賽各一次；每個選手一天至多只能賽一次；循環(huán)賽要在最短時間內(nèi)完成。（1）如果n=2k，循環(huán)賽最少需要進行幾天；（2）當n=23=8時，請畫出循環(huán)賽日程表。六、算法設計題（本題15分）分別用貪心算法、動態(tài)規(guī)劃法、回溯法設計0-1背包問題。要求：說明所使用的算法策略；寫出算法實現(xiàn)的主要步驟；分析算法的時間。七、算法設計題（本題10分）通過鍵盤輸入一個高精度的正整數(shù)n(n的有效位數(shù)240)，去掉其中任意s個數(shù)字后，剩下的數(shù)字按原左右次序?qū)⒔M成一個新的正整數(shù)。編程對給定的n 和s，尋找一種方案，使得剩下的數(shù)字組成的新數(shù)最小?！緲永斎搿?78543S=4【樣例輸出】13一、填空題（本題15分，每小題1分）1規(guī)則 一系列運算2. 隨機存取機RAM(Random Access Machine)；隨機存取存儲程序機RASP(Random Access Stored Program Machine)；圖靈機(Turing Machine)3. 算法效率4. 時間、空間、時間復雜度、空間復雜度52n6最好 局部最優(yōu)選擇7. 貪心選擇 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)二、簡答題（本題25分，每小題5分）6、 分治法的基本思想是將一個規(guī)模為n的問題分解為k個規(guī)模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題相同；對這k個子問題分別求解。如果子問題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個子問題，如此遞歸的進行下去，直到問題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止；將求出的小規(guī)模的問題的解合并為一個更大規(guī)模的問題的解，自底向上逐步求出原來問題的解。7、 “最優(yōu)化原理”用數(shù)學化的語言來描述：假設為了解決某一優(yōu)化問題，需要依次作出n個決策D1，D2，Dn，如若這個決策序列是最優(yōu)的，對于任何一個整數(shù)k，1 < k < n，不論前面k個決策是怎樣的，以后的最優(yōu)決策只取決于由前面決策所確定的當前狀態(tài)，即以后的決策Dk+1，Dk+2，Dn也是最優(yōu)的。8、 某個問題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。9、 回溯法的基本思想是在一棵含有問題全部可能解的狀態(tài)空間樹上進行深度優(yōu)先搜索，解為葉子結(jié)點。搜索過程中，每到達一個結(jié)點時，則判斷該結(jié)點為根的子樹是否含有問題的解，如果可以確定該子樹中不含有問題的解，則放棄對該子樹的搜索，退回到上層父結(jié)點，繼續(xù)下一步深度優(yōu)先搜索過程。在回溯法中，并不是先構(gòu)造出整棵狀態(tài)空間樹，再進行搜索，而是在搜索過程，逐步構(gòu)造出狀態(tài)空間樹，即邊搜索，邊構(gòu)造。10、 P(Polynomial問題)：也即是多項式復雜程度的問題。NP就是Non-deterministicPolynomial的問題，也即是多項式復雜程度的非確定性問題。NPC(NP Complete)問題，這種問題只有把解域里面的所有可能都窮舉了之后才能得出答案，這樣的問題是NP里面最難的問題，這種問題就是NPC問題。三、算法填空（本題20分，每小題5分）1、n后問題回溯算法(1) !Mj&&!Li+j&&!Ri-j+N(2) Mj=Li+j=Ri-j+N=1;(3) try(i+1,M,L,R,A) (4) Aij=0 (5) Mj=Li+j=Ri-j+N=02、數(shù)塔問題。（1）c<=r(2)trc+=tr+1c（3）trc+=tr+1c+13、Hanoi算法（1）move(a,c)（2）Hanoi(n-1, a, c , b)（3）Move(a,c)4、（1）pv=NIL（2）pv=u(3) vadju（4）Relax(u,v,w)四、算法理解題（本題10分）1 2 3 4 5 6 7 82 1 4 3 6 5 8 73 4 1 2 7 8 5 64 3 2 1 8 7 6 55 6 7 8 1 2 3 46 5 8 7 2 1 4 37 8 5 6 3 4 1 28 7 6 5 4 3 2 1五、（1）8天（2分）；（2）當n=23=8時，循環(huán)賽日程表（3分）。六、算法設計題（本題15分）（1）貪心算法 O（nlog（n） 首先計算每種物品單位重量的價值Vi/Wi，然后，依貪心選擇策略，將盡可能多的單位重量價值最高的物品裝入背包。若將這種物品全部裝入背包后，背包內(nèi)的物品總重量未超過C，則選擇單位重量價值次高的物品并盡可能多地裝入背包。依此策略一直地進行下去，直到背包裝滿為止。 具體算法可描述如下：void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x)Sort(n,v,w);int i;for (i=1;i<=n;i+) xi=0;float c=M;for (i=1;i<=n;i+) if (wi>c) break;xi=1;c-=wi;if (i<=n) xi=c/wi;（2）動態(tài)規(guī)劃法 O(nc)m(i，j)是背包容量為j，可選擇物品為i，i+1，n時0-1背包問題的最優(yōu)值。由0-1背包問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以建立計算m(i，j)的遞歸式如下。void KnapSack(int v,int w,int c,int n,int m11)int jMax=min(wn-1,c);for (j=0;j<=jMax;j+) /*m(n,j)=0 0=<j<wn*/mnj=0;for (j=wn;j<=c;j+) /*m(n,j)=vn j>=wn*/mnj=vn;for (i=n-1;i>1;i-) int jMax=min(wi-1,c);for (j=0;j<=jMax;j+) /*m(i,j)=m(i+1,j) 0=<j<wi*/ mij=mi+1j;for (j=wi;j<=c;j+)/*m(n,j)=vn j>=wn*/ mij=max(mi+1j,mi+1j-wi+vi);m1c=m2c;if(c>=w1)m1c=max(m1c,m2c-w1+v1);（3）回溯法 O(2n)cw:當前重量 cp:當前價值 bestp：當前最優(yōu)值voidbacktrack(inti) /回溯法 i初值1if(i>n) /到達葉結(jié)點 bestp=cp; return; if(cw+wi<=c) /搜索左子樹 cw+=wi; cp+=pi; backtrack(i+1); cw-=wi; cp-=pi; if(Bound(i+1)>bestp) /搜索右子樹 backtrack(i+1); 七、算法設計題（本題10分）為了盡可能地逼近目標，我們選取的貪心策略為：每一步總是選擇一個使剩下的數(shù)最小的數(shù)字刪去，即按高位到低位的順序搜索，若各位數(shù)字遞增，則刪除最后一個數(shù)字，否則刪除第一個遞減區(qū)間的首字符。然后回到串首，按上述規(guī)則再刪除下一個數(shù)字。重復以上過程s次，剩下的數(shù)字串便是問題的解了。具體算法如下：輸入s, n;while（ s > 0 ） i=1; /從串首開始找while (i < length(n) && (ni<ni+1) i+;delete(n,i,1); /刪除字符串n的第i個字符s-;while (length(n)>1)&& (n1=0) delete(n,1,1); /刪去串首可能產(chǎn)生的無用零輸出n;