《算法設(shè)計(jì)與分析》歷年期末試題整理含答案.docx

算法設(shè)計(jì)與分析歷年期末試題整理(含答案) （1）用計(jì)算機(jī)求解問(wèn)題的步驟： 1、問(wèn)題分析 2、數(shù)學(xué)模型建立 3、算法設(shè)計(jì)與選擇 4、算法指標(biāo) 5、算法分析 6、算法實(shí)現(xiàn) 7、程序調(diào)試 8、結(jié)果整理文檔編制 （2） 算法定義：算法是指在解決問(wèn)題時(shí)，按照某種機(jī)械步驟一定可以得到問(wèn)題結(jié)果的處理過(guò)程 （3） 算法的三要素 1、操作 2、控制結(jié)構(gòu) 3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法具有以下 5 個(gè)屬性： 有窮性：一個(gè)算法必須總是在執(zhí)行有窮步之后結(jié)束，且每一步都在有窮時(shí)間內(nèi)完成。 確定性：算法中每一條指令必須有確切的含義。不存在二義性。只有一個(gè)入口和一個(gè)出口 可行性：一個(gè)算法是可行的就是算法描述的操作是可以通過(guò)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算執(zhí)行有限次來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 輸入：一個(gè)算法有零個(gè)或多個(gè)輸入，這些輸入取自于某個(gè)特定對(duì)象的集合。 輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，這些輸出同輸入有著某些特定關(guān)系的量。 算法設(shè)計(jì)的質(zhì)量指標(biāo)： 正確性：算法應(yīng)滿足具體問(wèn)題的需求； 可讀性：算法應(yīng)該好讀，以有利于讀者對(duì)程序的理解； 健壯性：算法應(yīng)具有容錯(cuò)處理，當(dāng)輸入為非法數(shù)據(jù)時(shí)，算法應(yīng)對(duì)其作出反應(yīng)，而不是產(chǎn)生莫名其妙的輸出結(jié)果。 效率與存儲(chǔ)量需求：效率指的是算法執(zhí)行的時(shí)間；存儲(chǔ)量需求指算法執(zhí)行過(guò)程中所需要的最大存儲(chǔ)空間。一般這兩者與問(wèn)題的規(guī)模有關(guān)。 經(jīng)常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、貪婪法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法、分支限界法 迭代法 也稱“輾轉(zhuǎn)法”，是一種不斷用變量的舊值遞推出新值的解決問(wèn)題的方法。 利用迭代算法解決問(wèn)題，需要做好以下三個(gè)方面的工作： 一、確定迭代模型。在可以用迭代算法解決的問(wèn)題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。 二、 建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式（或關(guān)系）。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問(wèn)題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來(lái)完成。 三、 對(duì)迭代過(guò)程進(jìn)行控制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過(guò)程？這是編寫迭代程序必須考慮的問(wèn)題。不能讓迭代過(guò)程無(wú)休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過(guò)程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來(lái)；另一種是所需的迭代次數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制；對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件。 編寫計(jì)算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第 n 項(xiàng)函數(shù) fib（n）。 斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即： fib(0)=0; fib(1)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當(dāng)n>1時(shí)）。 寫成遞歸函數(shù)有： int fib(int n) if (n=0) return 0; if (n=1) return 1; if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); 一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問(wèn)到第 12 個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場(chǎng)共有兔子多少只？ 分析： 這是一個(gè)典型的遞推問(wèn)題。我們不妨假設(shè)第 1 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 1 ，第 2 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 2 ，第 3 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 3 ， 根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子”，則有 u 1 1 ， u 2 u 1 u 1 1 2 ， u 3 u 2 u 2 1 4 ， 根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式： u n u n 1 2 (n 2) 對(duì)應(yīng) u n 和 u n 1 ，定義兩個(gè)迭代變量 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系： y=x*2 x=y 讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行 11 次，就可以算出第 12 個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)。參考程序如下： cls 分而治之法 1、分治法的基本思想 x=1 for i=2 to 12 y=x*2 x=y next i print y end 任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模 N 有關(guān)。問(wèn)題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于 n 個(gè)元素的排序問(wèn)題，當(dāng) n=1 時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2 時(shí)，只要作一次比較即可排好序；n=3 時(shí)只要作 3 次比較即可，。而當(dāng) n 較大時(shí)，問(wèn)題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問(wèn)題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。 分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分而治之。 分治法所能解決的問(wèn)題一般具有以下幾個(gè)特征： （1）該問(wèn)題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決； （2）該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題，即該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)； （3） 利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解可以合并為該問(wèn)題的解； （4） 該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的，即子問(wèn)題之間不包含公共的子子問(wèn)題。 3、分治法的基本步驟 分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟： （1） 分解：將原問(wèn)題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問(wèn)題形式相同的子問(wèn)題； （2） 解決：若子問(wèn)題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題； （3） 合并：將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解。 快速排序 在這種方法中， n 個(gè)元素被分成三段（組）：左段 l e f t，右段 r i g h t 和中段 m i d d l e。中段僅包含一個(gè)元素。左段中各元素都小于等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元素。因此 l e f t 和 r i g h t 中的元素可以獨(dú)立排序，并且不必對(duì) l e f t 和 r i g h t 的排序結(jié)果進(jìn)行合并。m i d d l e 中的元素被稱為支點(diǎn)( p i v o t )。圖 1 4 - 9 中給出了快速排序的偽代碼。 / /使用快速排序方法對(duì) a 0 :n- 1 排序 從 a 0 :n- 1 中選擇一個(gè)元素作為 m i d d l e，該元素為支點(diǎn) 把余下的元素分割為兩段 left 和 r i g h t，使得 l e f t 中的元素都小于等于支點(diǎn)，而 right 中的元素都大于等于支點(diǎn) 遞歸地使用快速排序方法對(duì) left 進(jìn)行排序 遞歸地使用快速排序方法對(duì) right 進(jìn)行排序 所得結(jié)果為 l e f t + m i d d l e + r i g h t 考察元素序列 4 , 8 , 3 , 7 , 1 , 5 , 6 , 2 。假設(shè)選擇元素 6 作為支點(diǎn)，則 6 位于 m i d d l e； 4，3，1，5，2 位于 l e f t；8，7 位于 r i g h t。當(dāng) left 排好序后，所得結(jié)果為 1，2，3，4， 5；當(dāng) r i g h t 排好序后，所得結(jié)果為 7，8。把 right 中的元素放在支點(diǎn)元素之后， l e f t 中的元素放在支點(diǎn)元素之前，即可得到最終的結(jié)果 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 。 把元素序列劃分為 l e f t、m i d d l e 和 r i g h t 可以就地進(jìn)行（見(jiàn)程序 1 4 - 6）。在程序 1 4 - 6 中，支點(diǎn)總是取位置 1 中的元素。也可以采用其他選擇方式來(lái)提高排序性能，本章稍 13 后部分將給出這樣一種選擇。 程序 14-6 快速排序 template<class T> void QuickSort(T*a, int n) / 對(duì) a0:n-1 進(jìn)行快速排序 / 要求 an 必需有最大關(guān)鍵值 quickSort(a, 0, n-1); template<class T> void quickSort(T a, int l, int r) / 排序 a l : r ， ar+1 有大值 if (l >= r) return; int i = l, / 從左至右的游標(biāo) j = r + 1; / 從右到左的游標(biāo) T pivot = al; / 把左側(cè)>= pivot 的元素與右側(cè)<= pivot 的元素進(jìn)行交換 while (true) do / 在左側(cè)尋找>= pivot 的元素 i = i + 1; while (a < pivot); do / 在右側(cè)尋找<= pivot 的元素 j = j - 1; while (aj > pivot); if (i >= j) break; / 未發(fā)現(xiàn)交換對(duì)象 Swap(a, aj); / 設(shè)置 p i v o t al = aj; 貪婪法 aj = pivot; quickSort(a, l, j-1); / 對(duì)左段排序 quickSort(a, j+1, r); / 對(duì)右段排序 它采用逐步構(gòu)造最優(yōu)解的思想，在問(wèn)題求解的每一個(gè)階段，都作出一個(gè)在一 定標(biāo)準(zhǔn)下看上去最優(yōu)的決策；決策一旦作出，就不可再更改。制定決策的依據(jù)稱為貪婪準(zhǔn)則。 貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。 【問(wèn)題】 背包問(wèn)題 問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品 n 件，求從這 n 件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。 #include<stdio.h> void main() int m,n,i,j,w50,p50,pl50,b50,s=0,max; printf("輸入背包容量 m,物品種類 n :"); scanf("%d %d",&m,&n); for(i=1;i<=n;i=i+1) printf("輸入物品的重量 W 和價(jià)值P :"); scanf("%d %d",&wi,&pi); pli=pi; s=s+wi; if(s<=m) printf("whole choosen"); /return; for(i=1;i<=n;i=i+1) max=1; for(j=2;j<=n;j=j+1) if(plj/wj>plmax/wmax) max=j; plmax=0; bi=max; for(i=1,s=0;s<m && i<=n;i=i+1) s=s+wbi; if(s!=m) wbi-1=m-wbi-1; for(j=1;j<=i-1;j=j+1) printf("choose weight %dn",wbj); 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想 前文主要介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)，我們將前文所說(shuō)的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動(dòng)態(tài)規(guī)劃稱為標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問(wèn)題時(shí)推導(dǎo)出來(lái)的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，適合用于理論上的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，許多問(wèn)題的階段劃分并不明顯，這時(shí)如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來(lái)說(shuō)，只要該問(wèn)題可以劃分成規(guī)模更小的子問(wèn)題，并且原問(wèn)題的最優(yōu)解中包含了子問(wèn)題的最優(yōu)解（即滿足最優(yōu)子化原理），則可以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將問(wèn)題實(shí)例分解為更小的、相似的子問(wèn)題，并存儲(chǔ)子問(wèn)題的解而避免計(jì)算重復(fù)的子問(wèn)題，以解決最優(yōu)化問(wèn)題的算法策略。由此可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似，它們都是將問(wèn)題實(shí)例歸納為更小的、相似的子問(wèn)題，并通過(guò)求解子問(wèn)題產(chǎn)生一個(gè)全局最優(yōu)解。 貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴于有待于做出的選擇和子問(wèn)題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個(gè)子問(wèn)題是獨(dú)立的（即不包含公共的子問(wèn)題），因此一旦遞歸地求出各子問(wèn)題的解后，便可自下而上地將子問(wèn)題的解合并成問(wèn)題的解。 不足之處：如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問(wèn)題的解時(shí)，則難以通過(guò)局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題。解決上述問(wèn)題的辦法是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題會(huì)有多種可能的解，每個(gè)解都有一個(gè)值，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)（最大或最?。┲档慕?。若存在若干個(gè)取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個(gè)。在求解過(guò)程中，該方法也是通過(guò)求解局部子問(wèn)題的解達(dá)到全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動(dòng)態(tài)規(guī)劃允許這些子問(wèn)題不獨(dú)立，（亦即各子問(wèn)題可包含公共的子問(wèn)題）也允許其通過(guò)自身子問(wèn)題的解作出選擇，該方法對(duì)每一個(gè)子問(wèn)題只解一次，并將結(jié)果保存起來(lái)，避免每次碰到時(shí)都要重復(fù)計(jì)算。 因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所針對(duì)的問(wèn)題有一個(gè)顯著的特征，即它所對(duì)應(yīng)的子問(wèn)題樹(shù)中的子問(wèn)題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)的子問(wèn)題，只在第一次遇到時(shí)加以求解，并把答案保存起來(lái)，讓以后再遇到時(shí)直接引用，不必重新求解。 3、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通?？砂匆韵聨讉€(gè)步驟進(jìn)行： （1） 劃分階段：按照問(wèn)題的時(shí)間或空間特征，把問(wèn)題分為若干個(gè)階段。注意這若干個(gè)階段一定要是有序的或者是可排序的（即無(wú)后向性），否則問(wèn)題就無(wú)法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。 （2） 選擇狀態(tài)：將問(wèn)題發(fā)展到各個(gè)階段時(shí)所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來(lái)。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿足無(wú)后效性。 （3） 確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來(lái)導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來(lái)了。但事實(shí)上，我們常常是反過(guò)來(lái)做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來(lái)確定決策。 （4） 寫出規(guī)劃方程（包括邊界條件）：動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。一般說(shuō)來(lái)，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比較簡(jiǎn)單的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的設(shè)計(jì)，一旦設(shè)計(jì)完成，實(shí)現(xiàn)部分就會(huì)非常簡(jiǎn)單。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計(jì)算最優(yōu)值，但是一般將其改為遞推計(jì)算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下：標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本框架 1. 對(duì)fn+1(xn+1)初始化; 邊界條件 for k:=n downto 1 do for 每一個(gè)xkXk do for 每一個(gè)ukUk(xk) do begin fk(xk):=一個(gè)極值; 或 xk+1:=Tk(xk,uk); 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 t:=(fk+1(xk+1),vk(xk,uk); 基本方程(9)式 if t比f(wàn)k(xk)更優(yōu) then fk(xk):=t; 計(jì)算fk(xk)的最優(yōu)值 end; t:=一個(gè)極值; 或 for 每一個(gè)x1X1 do if f1(x1)比t更優(yōu) then t:=f1(x1); 按照 10 式求出最優(yōu)指標(biāo) 輸出 t; 但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行： （1） 分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。 （2） 遞歸地定義最優(yōu)值。 （3） 以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法（備忘錄法）計(jì)算出最優(yōu)值。 （4） 根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。 步驟（1）（3）是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步驟（4）可以省略，若需要求出問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟（4）。此時(shí)，在步驟（3）中計(jì)算最優(yōu)值時(shí)，通常需記錄更多的信息，以便在步驟（4）中，根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個(gè)最優(yōu)解。 總結(jié)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)際上就是最優(yōu)化的問(wèn)題，是指將原問(wèn)題的大實(shí)例等價(jià)于同一最優(yōu)化問(wèn)題的較小實(shí)例，自底向上的求解最小實(shí)例，并將所求解存放起來(lái)，存放的結(jié)果就是為了準(zhǔn)備數(shù)據(jù)。與遞歸相比，遞歸是不斷的調(diào)用子程序求解，是自頂向下的調(diào)用和求解。 回溯法 回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問(wèn)題規(guī)模大小的限制，并將問(wèn)題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問(wèn)題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問(wèn)題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問(wèn)題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過(guò)程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過(guò)程稱為向前試探。 1、回溯法的一般描述 可用回溯法求解的問(wèn)題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間E=（x1，x2，xn）xiSi ，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且 |Si| 有限，i=1，2，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問(wèn)題P 的一個(gè)解。 解問(wèn)題 P 的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì) E 中的所有 n 元組逐一地檢測(cè)其是否滿足 D 的全部約束，若滿足，則為問(wèn)題 P 的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。 我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問(wèn)題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，xi）滿足 D中僅涉及到x1，x2，xi的所有約束意味著j（j<i）元組（x1，x2，xj）一定也滿足D中僅涉及到x1，x2，xj的所有約束，i=1，2，n。換句話說(shuō)，只要存在 0jn-1，使得（x1，x2，xj）違反D中僅涉及到x1，x2，xj的約束之一，則以（x1，x2， xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）一定也違反D中僅涉及到x1，x2， xi的一個(gè)約束，ni>j。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問(wèn)題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1， x2，xj）違反D中僅涉及x1，x2，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不會(huì)是問(wèn)題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問(wèn)題，利用這類問(wèn)題的上述性質(zhì)而提出來(lái)的比枚舉法效率更高的算法。 回溯法首先將問(wèn)題 P 的 n 元組的狀態(tài)空間 E 表示成一棵高為 n 的帶權(quán)有序樹(shù) T，把在 E 中求問(wèn)題 P 的所有解轉(zhuǎn)化為在 T 中搜索問(wèn)題 P 的所有解。樹(shù) T 類似于檢索樹(shù)，它可以這樣構(gòu)造： 設(shè)Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，n。從根開(kāi)始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1) ，xi+1(2) ，xi+1(mi) ，i=0，1，2，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的 0in-1，E中n 元組（x1，x2，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，x2，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)， T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。 因而，在E中尋找問(wèn)題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，xn滿足約束集D的全部約束。在T 中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴 1 元組（x1i）、前綴 2 元組（x1，x2）、，前綴I元組（x1， x2，xi），直到i=n為止。 在回溯法中，上述引入的樹(shù)被稱為問(wèn)題 P 的狀態(tài)空間樹(shù)；樹(shù) T 上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題 P 的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù) T 上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題 P 的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù) T 上滿足約束集 D 的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題 P 的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問(wèn)題 P 的一個(gè)解。 【問(wèn)題】 n 皇后問(wèn)題 問(wèn)題描述：求出在一個(gè) nn 的棋盤上，放置 n 個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象棋“皇后”的所有布局。 這是來(lái)源于國(guó)際象棋的一個(gè)問(wèn)題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線 4 個(gè)方向相互捕捉。如圖所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第 4 行第 3 列位置上，則棋盤上凡打“”的位置上的皇后就能與這個(gè)皇后相互捕捉。 1 2 3 4 5 6 7 8 Q 從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條斜線上也只有一個(gè)皇后。 求解過(guò)程從空配置開(kāi)始。在第 1 列至第 m 列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第 m+1 列，直至第 n 列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第 n 列配置，希望獲得下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有 n 種配置。開(kāi)始時(shí)配置在第 1 行，以后改變時(shí)，順次選擇第 2 行、第 3 行、直到第 n 行。當(dāng)?shù)?n 行配置也找不到一個(gè)合理的配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問(wèn)題的算法如下： 輸入棋盤大小值 n； m=0; good=1; do if (good) if (m=n) 輸出解； 改變之，形成下一個(gè)候選解; else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列； else 改變之，形成下一個(gè)候選解； good=檢查當(dāng)前候選解的合理性； while (m!=0); 在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來(lái)困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個(gè)皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)一維數(shù)組（col ），值 coli表示在棋盤第 i 列、coli行有一個(gè)皇后。例如：col3=4，就表示在棋盤的第 3 列、第 4 行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，設(shè)定 col0的初值為 0 當(dāng)回溯到第 0 列時(shí)，說(shuō)明程序已求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。 為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組： （1） 數(shù)組 a ，ak表示第 k 行上還沒(méi)有皇后； （2） 數(shù)組 b ，bk表示第 k 列右高左低斜線上沒(méi)有皇后； （3） 數(shù)組 c ，ck表示第 k 列左高右低斜線上沒(méi)有皇后； 棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均相同。 初始時(shí)，所有行和斜線上均沒(méi)有皇后，從第 1 列的第 1 行配置第一個(gè)皇后開(kāi)始，在第 m 列 colm行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第 m+1 列時(shí)，在數(shù)組 a 、b 和 c 中為第 m 列，colm行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第 m 列回溯到第 m-1 列，并準(zhǔn)備調(diào)整第 m-1 列的皇后配置時(shí)，清除在數(shù)組 a 、b 和 c 中設(shè)置的關(guān)于第 m-1 列，colm-1行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在 m 列， colm行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組 a 、b 和 c 對(duì)應(yīng)位置的值都為 1 來(lái)確定。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下程序： 【程序】 # include # include # define MAXN 20 int n,m,good; int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1; void main() int j; char awn; printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n); for (j=0;j<=n;j+) aj=1; for (j=0;j<=2*n;j+) cbj=cj=1; m=1; col1=1; good=1; col0=0; do if (good) if (m=n) printf(“列t 行”); for (j=1;j<=n;j+) printf(“%3dt%dn”,j,colj); printf(“Enter a character (Q/q for exit)!n”); scanf(“%c”,&awn); if (awn=Q|awn=q) exit(0); while (colm=n) m-; acolm=bm+colm=cn+m-colm=1; colm+; else acolm=bm+colm=cn+m-colm=0; col+m=1; else while (colm=n) m-; acolm=bm+colm=cn+m-colm=1; colm+; good=acolm&&bm+colm&&cn+m-colm; while (m!=0); 試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù) queen_all()和函數(shù) queen_one()能分別用來(lái)解皇后問(wèn)題的全部解和一個(gè)解。 【程序】 # include # include # define MAXN 20 int n; int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1; void main() int j; printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n); for (j=0;j<=n;j+) aj=1; for (j=0;j<=2*n;j+) cbj=cj=1; queen_all(1,n); void queen_all(int k,int n) int i,j; char awn; for (i=1;i<=n;i+) if (ai&&bk+i&&cn+k-i) colk=i; ai=bk+i=cn+k-i=0; if (k=n) printf(“列t 行”); for (j=1;j<=n;j+) printf(“%3dt%dn”,j,colj); printf(“Enter a character (Q/q for exit)!n”); scanf(“%c”,&awn); if (awn=Q|awn=q) exit(0); queen_all(k+1,n); ai=bk+i=cn+k-i; 采用遞歸方法找一個(gè)解與找全部解稍有不同，在找一個(gè)解的算法中，遞歸算法要對(duì)當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最終解時(shí)，遞歸函數(shù)就不再遞歸試探，立即返回；若不能成為解，就得繼續(xù)試探。設(shè)函數(shù) queen_one()返回 1 表示找到解，返回 0 表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下函數(shù)。 【程序】 # define MAXN 20 int n; int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1; int queen_one(int k,int n) int i,found; i=found=0; While (!found&&i i+; if (ai&&bk+i&&cn+k-i) colk=i; ai=bk+i=cn+k-i=0; if (k=n) return 1; else found=queen_one(k+1,n); ai=bk+i=cn+k-i=1; return found; 分支定界法： 分支限界法： 這是一種用于求解組合優(yōu)化問(wèn)題的排除非解的搜索算法。類似于回溯法，分枝定界法在搜索解空間時(shí)，也經(jīng)常使用樹(shù)形結(jié)構(gòu)來(lái)組織解空間。然而與回溯法不同的是，回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索樹(shù)結(jié)構(gòu)，而分枝定界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費(fèi)方法來(lái)搜索這些樹(shù)。因此，可以很容易比較回溯法與分枝定界法的異同。相對(duì)而言，分枝定界算法的解空間比回溯法大得多，因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時(shí)，回溯法成功的可能性更大。 算法思想：分枝定界（branch and bound）是另一種系統(tǒng)地搜索解空間的方法，它與回溯法的主要區(qū)別在于對(duì) E-節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式。每個(gè)活節(jié)點(diǎn)有且僅有一次機(jī)會(huì)變成 E-節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)變?yōu)?E-節(jié)點(diǎn)時(shí)，則生成從該節(jié)點(diǎn)移動(dòng)一步即可到達(dá)的所有新節(jié)點(diǎn)。在生成的節(jié)點(diǎn)中，拋棄那些不可能導(dǎo)出（最優(yōu)）可行解的節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)加入活節(jié)點(diǎn)表，然后從表中選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)。從活節(jié)點(diǎn)表中取出所選擇的節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行擴(kuò)充，直到找到解或活動(dòng)表為空，擴(kuò)充過(guò)程才結(jié)束。 有兩種常用的方法可用來(lái)選擇下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)（雖然也可能存在其他的方法）： 1) 先進(jìn)先出（F I F O） 即從活節(jié)點(diǎn)表中取出節(jié)點(diǎn)的順序與加入節(jié)點(diǎn)的順序相同，因此活 節(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同。 2) 最小耗費(fèi)或最大收益法在這種模式中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的耗費(fèi)或收益。如果查找 一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，則活節(jié)點(diǎn)表可用最小堆來(lái)建立，下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi) 的活節(jié)點(diǎn)；如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的解，則可用最大堆來(lái)構(gòu)造活節(jié)點(diǎn)表，下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn)裝載問(wèn)題 用一個(gè)隊(duì)列 Q 來(lái)存放活結(jié)點(diǎn)表，Q 中 weight 表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。當(dāng) weight1 時(shí)，表示隊(duì)列已達(dá)到解空間樹(shù)同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。 算法首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2 個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1 時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。 /*該版本只算出最優(yōu)解*/ #include<stdio.h> #include<malloc.h> struct Queue int weight ; struct Queue* next ; ; int bestw = 0 ; / 目前的最優(yōu)值 Queue* Q; / 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 Queue* lq = NULL ; Queue* fq = NULL ; int Add(int w) Queue* q ; q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue) ; if(q =NULL) printf("沒(méi)有足夠的空間分配n") ; return 1 ; q->next = NULL ; q->weight = w ; if(Q->next = NULL) Q->next = q ; fq = lq = Q->next ; /一定要使元素放到鏈中 else lq->next = q ; lq = q ; / lq = q->next ; return 0 ; int IsEmpty() if(Q->next=NULL) return 1 ; return 0 ; int Delete(int&w) Queue* tmp = NULL ; / fq = Q->next ; tmp = fq ; w = fq->weight ; Q->next = fq->next ; /*一定不能丟了鏈表頭 */ fq = fq->next ; free(tmp) ; return 0 ; void EnQueue(int wt, int& bestw, int i, int n) /該函數(shù)負(fù)責(zé)加入活結(jié)點(diǎn) / 如果不是葉結(jié)點(diǎn)，則將結(jié)點(diǎn)權(quán)值 wt 加入隊(duì)列 Q if (i = n) / 葉子 if (wt>bestw) bestw = wt; else Add(wt); / 不是葉子 int MaxLoading(int w, int c, int n) / 返回最優(yōu)裝載值 / 為層次 1 初始化 int err ; /返回值 int i = 1; / 當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的層 int Ew = 0; / 當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的權(quán)值 bestw = 0; / 目前的最優(yōu)值 Q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue) ; Q->next = NULL ; Q->weight = -1 ; err = Add(-1) ; /標(biāo)記本層的尾部 if(err) return 0 ; while (true) / 檢查左孩子結(jié)點(diǎn) if (Ew + wi <= c) / xi = 1 EnQueue(Ew + wi, bestw , i, n); / 右孩子總是可行的 EnQueue(Ew, bestw, i, n); / xi = 0 Delete(Ew); / 取下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) if (Ew = -1) / 到達(dá)層的尾部 if (IsEmpty() return bestw; if(i<n) Add(-1); / 同層結(jié)點(diǎn)的尾部 Delete(Ew); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) i+; / 進(jìn)入下一層 int main() int n =0 ; int c = 0 ; int i = 0 ; int* w ; FILE *in , *out ; in = fopen("input.txt" , "r") ; out = fopen("output.txt" , "w") ; if(in=NULL|out=NULL) printf("沒(méi)有輸入輸出文件n") ; return 1 ; fscanf(in , "%d" , &n) ; fscanf(in , "%d" , &c) ; w = (int*)malloc(sizeof(int)*(n+1) ; for(i =1 ; i<=n ; i+) fscanf(in , "%d" , &wi) ; MaxLoading(w , c , n) ; fprintf(out , "%dn" , bestw) ; return 0 ;