大學(xué)物理學(xué)第三版主編趙近芳北京郵電大學(xué)出版社上冊(cè)答案.doc

習(xí)題解答習(xí)題一1-1 與 有無不同?和有無不同? 和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；（2）是速度的模，即.只是速度在徑向上的分量.有（式中叫做單位矢），則式中就是速度徑向上的分量，不同如題1-1圖所示. 題1-1圖 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.有表軌道節(jié)線方向單位矢），所以式中就是加速度的切向分量.(的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)1-2 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為=()，=()，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求出r，然后根據(jù) =，及而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 =及= 你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？解：后一種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有，故它們的模即為而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分。或者概括性地說，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對(duì)速度、加速度的貢獻(xiàn)。1-3 一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為=3+5, =2+3-4.式中以 s計(jì)，,以m計(jì)(1)以時(shí)間為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 時(shí)刻和2s 時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；(3)計(jì)算0 s時(shí)刻到4s時(shí)刻內(nèi)的平均速度；(4)求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算4 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；(5)計(jì)算0s 到4s 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；(6)求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算4s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度(請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式)解：（1） (2)將,代入上式即有 (3) (4) 則 (5) (6) 這說明該點(diǎn)只有方向的加速度，且為恒量。1-4 在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示當(dāng)人以(m)的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小 圖1-4解： 設(shè)人到船之間繩的長度為，此時(shí)繩與水面成角，由圖可知 將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 題1-4圖根據(jù)速度的定義，并注意到,是隨減少的， 即 或 將再對(duì)求導(dǎo)，即得船的加速度1-5 質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為 2+6，的單位為，的單位為 m. 質(zhì)點(diǎn)在0處，速度為10,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值解： 分離變量： 兩邊積分得由題知，時(shí)，, 1-6 已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為 4+3 ，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，5 m， =0，求該質(zhì)點(diǎn)在10s 時(shí)的速度和位置 解： 分離變量，得 積分，得 由題知，, ,故 又因?yàn)?分離變量， 積分得 由題知 , ,故 所以時(shí)1-7 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1 m 的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為 =2+3，式中以弧度計(jì)，以秒計(jì)，求：(1) 2 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；(2)當(dāng)加速度的方向和半徑成45角時(shí)，其角位移是多少? 解： (1)時(shí)， (2)當(dāng)加速度方向與半徑成角時(shí)，有即 亦即 則解得 于是角位移為1-8 質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周按的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧長,，都是常量，求：(1)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；(2) 為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于解：（1） 則 加速度與半徑的夾角為(2)由題意應(yīng)有即 當(dāng)時(shí)，1-9 半徑為的輪子，以勻速沿水平線向前滾動(dòng)：(1)證明輪緣上任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，式中/是輪子滾動(dòng)的角速度，當(dāng)與水平線接觸的瞬間開始計(jì)時(shí)此時(shí)所在的位置為原點(diǎn)，輪子前進(jìn)方向?yàn)檩S正方向；(2)求點(diǎn)速度和加速度的分量表示式解：依題意作出下圖，由圖可知題1-9圖(1) (2)1-10 以初速度20拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60的夾角，求：(1)球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑；(2)落地處的曲率半徑(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示題1-10圖(1)在最高點(diǎn)，又 (2)在落地點(diǎn)，,而 1-11 飛輪半徑為0.4 m，自靜止啟動(dòng)，其角加速度為=0.2 rad，求2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：當(dāng)時(shí)， 則1-12 如題1-12圖，物體以相對(duì)的速度沿斜面滑動(dòng)，為縱坐標(biāo)，開始時(shí)在斜面頂端高為處，物體以勻速向右運(yùn)動(dòng)，求物滑到地面時(shí)的速度解：當(dāng)滑至斜面底時(shí)，則,物運(yùn)動(dòng)過程中又受到的牽連運(yùn)動(dòng)影響，因此，對(duì)地的速度為題1-12圖1-13 一船以速率30kmh-1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率40kmh-1沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何? 解：(1)大船看小艇，則有，依題意作速度矢量圖如題1-13圖(a)題1-13圖由圖可知 方向北偏西 (2)小船看大船，則有，依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b)，同上法，得方向南偏東1-14 當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3 m ，如雨滴的速度大小為8 ms-1，求輪船的速率解： 依題意作出矢量圖如題1-14所示題1-14圖 由圖中比例關(guān)系可知習(xí)題二2-1 一細(xì)繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為的物體，另一邊穿在質(zhì)量為的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng)今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度下滑，求，相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì))解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為，其對(duì)于則為牽連加速度，又知對(duì)繩子的相對(duì)加速度為，故對(duì)地加速度，由圖(b)可知，為 又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力，由牛頓定律，有 聯(lián)立、式，得討論 (1)若，則表示柱體與繩之間無相對(duì)滑動(dòng)(2)若，則，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時(shí), 均作自由落體運(yùn)動(dòng)題2-1圖2-2 一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運(yùn)動(dòng)，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道解: 物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標(biāo)：取方向?yàn)檩S，平行斜面與軸垂直方向?yàn)檩S.如圖2-2.題2-2圖方向： 方向： 時(shí) 由、式消去，得2-3 質(zhì)量為16 kg 的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為6 N，-7 N，當(dāng)0時(shí)，0，-2 ms-1，0求當(dāng)2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的 (1)位矢；(2)速度解： (1)于是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度(2)2-4 質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為，證明(1) 時(shí)刻的速度為；(2) 由0到的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為()1-；(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為；(4)證明當(dāng)時(shí)速度減至的，式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量答: (1) 分離變量，得即 (2) (3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t，故有 (4)當(dāng)t=時(shí)，其速度為即速度減至的.2-5 升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為，且2用細(xì)繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計(jì)，當(dāng)升降機(jī)以勻加速g上升時(shí)，求：(1) 和相對(duì)升降機(jī)的加速度(2)在地面上觀察，的加速度各為多少?解: 分別以,為研究對(duì)象，其受力圖如圖(b)所示(1)設(shè)相對(duì)滑輪(即升降機(jī))的加速度為，則對(duì)地加速度；因繩不可伸長，故對(duì)滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒有受牽連運(yùn)動(dòng)的影響，所以在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁?，由牛頓定律，有題2-5圖聯(lián)立，解得方向向下(2) 對(duì)地加速度為 方向向上在水面方向有相對(duì)加速度，豎直方向有牽連加速度，即 ，左偏上2-6一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角=30的初速從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量解: 依題意作出示意圖如題2-6圖題2-6圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對(duì)軸對(duì)稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動(dòng)量的增量為由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為，方向豎直向下2-7 一質(zhì)量為的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞并在拋出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向并回答在碰撞過程中，小球的動(dòng)量是否守恒?解: 由題知，小球落地時(shí)間為因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為，小球上跳速度的大小亦為設(shè)向上為軸正向，則動(dòng)量的增量方向豎直向上，大小 碰撞過程中動(dòng)量不守恒這是因?yàn)樵谂鲎策^程中，小球受到地面給予的沖力作用另外，碰撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說明動(dòng)量不守恒2-8 作用在質(zhì)量為10 kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s后，這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量(2)為了使這力的沖量為200 Ns，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度ms-1的物體,回答這兩個(gè)問題解: (1)若物體原來靜止，則,沿軸正向，若物體原來具有初速，則于是,同理， ,這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大，那么物體獲得的動(dòng)量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動(dòng)量定理(2)同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即亦即 解得，(舍去)2-9 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及0 到時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量解: 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為將和分別代入上式，得, ,則動(dòng)量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為2-10 一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為 F =()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長所需時(shí)間；(2)求子彈所受的沖量(3)求子彈的質(zhì)量解: (1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量2-11 一炮彈質(zhì)量為，以速率飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動(dòng)能為，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為+, -證明: 設(shè)一塊為，則另一塊為，及于是得 又設(shè)的速度為, 的速度為，則有 聯(lián)立、解得 將代入，并整理得于是有 將其代入式，有又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取證畢2-12 設(shè)(1) 當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，求所作的功(2)如果質(zhì)點(diǎn)到處時(shí)需0.6s，試求平均功率(3)如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg，試求動(dòng)能的變化解: (1)由題知，為恒力， (2) (3)由動(dòng)能定理，2-13 以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1 cm，問擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速度相同解: 以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為坐標(biāo)正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為題2-13圖第一錘外力的功為 式中是鐵錘作用于釘上的力，是木板作用于釘上的力，在時(shí)，設(shè)第二錘外力的功為，則同理，有 由題意，有 即 所以， 于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為2-14 設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為)在其保守力場(chǎng)中位矢為點(diǎn)的勢(shì)能為, 試求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向解: 方向與位矢的方向相反，即指向力心2-15 一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，的下端一重物，的質(zhì)量為，如題2-15圖求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長量之比和彈性勢(shì)能之比解: 彈簧及重物受力如題2-15圖所示平衡時(shí)，有題2-15圖又 所以靜止時(shí)兩彈簧伸長量之比為彈性勢(shì)能之比為2-16 (1)試計(jì)算月球和地球?qū)ξ矬w的引力相抵消的一點(diǎn)，距月球表面的距離是多少?地球質(zhì)量5.981024kg，地球中心到月球中心的距離3.84108m，月球質(zhì)量7.351022kg，月球半徑1.74106m(2)如果一個(gè)1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，那么它在點(diǎn)的勢(shì)能為多少? 解: (1)設(shè)在距月球中心為處，由萬有引力定律，有經(jīng)整理，得= 則點(diǎn)處至月球表面的距離為 (2)質(zhì)量為的物體在點(diǎn)的引力勢(shì)能為2-17 由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為和的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為，自然長度等于水平距離，與桌面間的摩擦系數(shù)為，最初靜止于點(diǎn)，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下,求它下落到處時(shí)的速率解: 取點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則由功能原理，有式中為彈簧在點(diǎn)時(shí)比原長的伸長量，則聯(lián)立上述兩式，得題2-17圖2-18 如題2-18圖所示，一物體質(zhì)量為2kg，以初速度3ms-1從斜面點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達(dá)點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由功能原理，有式中，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得題2-18圖再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 ,則木塊彈回高度 題2-19圖2-19 質(zhì)量為的大木塊具有半徑為的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示質(zhì)量為的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度解: 從上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有又下滑過程，動(dòng)量守恒，以,為系統(tǒng)則在脫離瞬間，水平方向有聯(lián)立，以上兩式，得2-20 一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向互相垂直證: 兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有即 題2-20圖(a) 題2-20圖(b)又碰撞過程中，動(dòng)量守恒，即有亦即 由可作出矢量三角形如圖(b)，又由式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以為斜邊，故知與是互相垂直的2-21 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于()處，速度為, 質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿負(fù)方向的力的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩解: 由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為2-22 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓它離太陽最近距離為8.751010m 時(shí)的速率是5.46104ms-1，它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是9.08102ms-1這時(shí)它離太陽的距離多少?(太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。)解: 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽的引力即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有 2-23 物體質(zhì)量為3kg，=0時(shí)位于, ，如一恒力作用在物體上,求3秒后，(1)物體動(dòng)量的變化；(2)相對(duì)軸角動(dòng)量的變化 解: (1) (2)解(一) 即 ,即 , 解(二) 題2-24圖2-24 平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為時(shí)重物達(dá)到平衡今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體，如題2-24圖試問這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和半徑為多少?解: 在只掛重物時(shí)，小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為，即 掛上后，則有 重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒即 聯(lián)立、得2-25 飛輪的質(zhì)量60kg，半徑0.25m，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900revmin-1現(xiàn)利用一制動(dòng)的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力，可使飛輪減速已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算試求：(1)設(shè)100 N，問可使飛輪在多長時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)?在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)?(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力?解: (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力題2-25圖（a）題2-25圖(b)桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對(duì)點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有對(duì)飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有，式中負(fù)號(hào)表示與角速度方向相反 又 以等代入上式，得由此可算出自施加制動(dòng)閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)(2)，要求飛輪轉(zhuǎn)速在內(nèi)減少一半，可知用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為2-26 固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)大小圓柱體的半徑分別為和，質(zhì)量分別為和繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體和相連，和則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題2-26圖所示設(shè)0.20m, 0.10m，4 kg，10 kg，2 kg，且開始時(shí)，離地均為2m求：(1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力解: 設(shè),和分別為,和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b)題2-26(a)圖 題2-26(b)圖(1) ,和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下： 式中 而 由上式求得 (2)由式由式2-27 計(jì)算題2-27圖所示系統(tǒng)中物體的加速度設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為，半徑為，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)50kg，200 kg,M15 kg, 0.1 m解: 分別以,滑輪為研究對(duì)象，受力圖如圖(b)所示對(duì),運(yùn)用牛頓定律，有 對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有 又， 聯(lián)立以上4個(gè)方程，得題2-27(a)圖 題2-27(b)圖題2-28圖2-28 如題2-28圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為，長為，可繞過一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿于水平位置由靜止開始擺下求：(1)初始時(shí)刻的角加速度；(2)桿轉(zhuǎn)過角時(shí)的角速度.解: (1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有 (2)由機(jī)械能守恒定律，有 題2-29圖2-29 如題2-29圖所示，質(zhì)量為，長為的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平衡位置上現(xiàn)有一質(zhì)量為的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度30處(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速的值；(2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量?解: (1)設(shè)小球的初速度為，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)椋搭}意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式： 上兩式中，碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度，按機(jī)械能守恒定律可列式： 由式得由式 由式 所以求得(2)相碰時(shí)小球受到的沖量為由式求得負(fù)號(hào)說明所受沖量的方向與初速度方向相反題2-30圖2-30 一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為并以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪(可看作勻質(zhì)圓盤)，在某一瞬時(shí)突然有一片質(zhì)量為的碎片從輪的邊緣上飛出，見題2-30圖假定碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能解: (1)碎片離盤瞬時(shí)的線速度即是它上升的初速度設(shè)碎片上升高度時(shí)的速度為，則有令，可求出上升最大高度為(2)圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，碎片脫離前，盤的角動(dòng)量為，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱悖珒?nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動(dòng)量，碎片與破盤的總角動(dòng)量應(yīng)守恒，即式中為破盤的角速度于是得 (角速度不變)圓盤余下部分的角動(dòng)量為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為題2-31圖2-31 一質(zhì)量為、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)另一質(zhì)量為的子彈以速度射入輪緣(如題2-31圖所示方向)(1)開始時(shí)輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度為何值?(2)用,和表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點(diǎn))最后動(dòng)能和初始動(dòng)能之比 解: (1)射入的過程對(duì)軸的角動(dòng)量守恒 (2) 2-32 彈簧、定滑輪和物體的連接如題2-32圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0 Nm-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.5kgm2，半徑為0.30m ，問當(dāng)6.0 kg質(zhì)量的物體落下0.40m 時(shí)，它的速率為多大? 假設(shè)開始時(shí)物體靜止而彈簧無伸長解: 以重物、滑輪、彈簧、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，重物下落的過程中，機(jī)械能守恒，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則有又 故有 題2-32圖 題2-33圖2-33 空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如題2-33圖所示，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，環(huán)半徑為，初始角速度為質(zhì)量為的小球，原來靜置于點(diǎn)，由于微小的干擾，小球向下滑動(dòng)設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的，問小球滑到點(diǎn)與點(diǎn)時(shí)，小球相對(duì)于環(huán)的速率各為多少?解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒，當(dāng)小球滑至點(diǎn)時(shí)，有 該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)的速率為，以點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有 聯(lián)立、兩式，得(2)當(dāng)小球滑至點(diǎn)時(shí)， 故由機(jī)械能守恒，有 請(qǐng)讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣攘?xí)題三3-1 慣性系S相對(duì)慣性系以速度運(yùn)動(dòng)當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)與重合時(shí)，=0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測(cè)者觀測(cè)該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標(biāo)系寫出各自觀測(cè)的波陣面的方程解: 由于時(shí)間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變?cè)?，光訊?hào)為球面波波陣面方程為：題3-1圖3-2 設(shè)圖3-4中車廂上觀測(cè)者測(cè)得前后門距離為2試用洛侖茲變換計(jì)算地面上的觀測(cè)者測(cè)到同一光信號(hào)到達(dá)前、后門的時(shí)間差解: 設(shè)光訊號(hào)到達(dá)前門為事件，在車廂系時(shí)空坐標(biāo)為，在車站系：光信號(hào)到達(dá)后門為事件，則在車廂系坐標(biāo)為，在車站系：于是 或者 3-3 慣性系S相對(duì)另一慣性系沿軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)在S系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為=6104m,=210-4s，以及=12104m,=110-4s已知在S系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生試問：(1)S系相對(duì)S系的速度是多少? (2) 系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少?解: 設(shè)相對(duì)的速度為，(1) 由題意 則 故 (2)由洛侖茲變換 代入數(shù)值， 3-4 長度=1 m的米尺靜止于S系中，與軸的夾角=30，S系相對(duì)S系沿軸運(yùn)動(dòng)，在S系中觀測(cè)者測(cè)得米尺與軸夾角為45 試求：(1)S系和S系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度.(2)S系中測(cè)得的米尺長度 解: (1)米尺相對(duì)靜止，它在軸上的投影分別為：，米尺相對(duì)沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為，對(duì)系中的觀察者測(cè)得米尺在方向收縮，而方向的長度不變，即故 把及代入則得 故 (2)在系中測(cè)得米尺長度為 3-5 一門寬為，今有一固有長度()的水平細(xì)桿，在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運(yùn)動(dòng)若站在門外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時(shí)被拉進(jìn)此門，則該桿相對(duì)于門的運(yùn)動(dòng)速率至少為多少?解: 門外觀測(cè)者測(cè)得桿長為運(yùn)動(dòng)長度，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為能被拉進(jìn)門，則 解得桿的運(yùn)動(dòng)速率至少為： 題3-6圖3-6兩個(gè)慣性系中的觀察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相對(duì)速度相互接近，如果測(cè)得兩者的初始距離是20m，則測(cè)得兩者經(jīng)過多少時(shí)間相遇?解: 測(cè)得相遇時(shí)間為測(cè)得的是固有時(shí) ， ， ，或者，測(cè)得長度收縮，3-7 觀測(cè)者甲乙分別靜止于兩個(gè)慣性參考系和中，甲測(cè)得在同一地點(diǎn)發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔為 4s，而乙測(cè)得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為 5s求：(1) 相對(duì)于的運(yùn)動(dòng)速度(2)乙測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的地點(diǎn)間的距離解: 甲測(cè)得,乙測(cè)得，坐標(biāo)差為(1) 解出 (2) 負(fù)號(hào)表示3-8 一宇航員要到離地球?yàn)?光年的星球去旅行如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，則他所乘的火箭相對(duì)于地球的速度是多少?解: 3-9 論證以下結(jié)論：在某個(gè)慣性系中有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在不同地點(diǎn)，在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的其他慣性系中，這兩個(gè)事件一定不同時(shí)證: 設(shè)在系事件在處同時(shí)發(fā)生，則，在系中測(cè)得 ，即不同時(shí)發(fā)生3-10 試證明：(1)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性系來說這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔，只有在此慣性系中最短(2)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性關(guān)系來說這兩個(gè)事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短解: (1)如果在系中，兩事件在同一地點(diǎn)發(fā)生，則，在系中，僅當(dāng)時(shí)，等式成立，最短(2)若在系中同時(shí)發(fā)生，即，則在系中，僅當(dāng)時(shí)等式成立，系中最短3-11 根據(jù)天文觀測(cè)和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠(yuǎn)離我們而去假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為 0.50s，且這顆星正沿觀察方向以速度0.8c離我們而去問這顆星的固有周期為多少?解: 以脈沖星為系，固有周期.地球?yàn)橄?，則有運(yùn)動(dòng)時(shí)，這里不是地球上某點(diǎn)觀測(cè)到的周期，而是以地球?yàn)閰⒖枷档膬僧惖冂娮x數(shù)之差還要考慮因飛行遠(yuǎn)離信號(hào)的傳遞時(shí)間， 則 3-12 6000m 的高空大氣層中產(chǎn)生了一個(gè)介子以速度=0.998c飛向地球假定該介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命210-6s試分別從下面兩個(gè)角度，即地球上的觀測(cè)者和介子靜止系中觀測(cè)者來判斷介子能否到達(dá)地球解: 介子在其自身靜止系中的壽命是固有(本征)時(shí)間，對(duì)地球觀測(cè)者，由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，其壽命延長了衰變前經(jīng)歷的時(shí)間為這段時(shí)間飛行距離為 因，故該介子能到達(dá)地球或在介子靜止系中，介子是靜止的地球則以速度接近介子，在時(shí)間內(nèi)，地球接近的距離為經(jīng)洛侖茲收縮后的值為：，故介子能到達(dá)地球3-13 設(shè)物體相對(duì)S系沿軸正向以0.8c運(yùn)動(dòng)，如果S系相對(duì)S系沿x軸正向的速度也是0.8c，問物體相對(duì)S系的速度是多少?解: 根據(jù)速度合成定理，, 3-14 飛船以0.8c的速度相對(duì)地球向正東飛行，飛船以0.6c的速度相對(duì)地球向正西方向飛行當(dāng)兩飛船即將相遇時(shí)飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號(hào)彈在飛船的觀測(cè)者測(cè)得兩顆信號(hào)彈相隔的時(shí)間間隔為多少?解: 取為系，地球?yàn)橄担晕飨驏|為()軸正向，則對(duì)系的速度，系對(duì)系的速度為，則對(duì)系(船)的速度為發(fā)射彈是從的同一點(diǎn)發(fā)出，其時(shí)間間隔為固有時(shí)，題3-14圖中測(cè)得的時(shí)間間隔為： 3-15 (1)火箭和分別以0.8c和0.6c的速度相對(duì)地球向+和-方向飛行試求由火箭測(cè)得的速度(2)若火箭相對(duì)地球以0.8c的速度向+方向運(yùn)動(dòng)，火箭的速度不變，求相對(duì)的速度 解: (1)如圖，取地球?yàn)橄?，為系，則相對(duì)的速度，火箭相對(duì)的速度，則相對(duì)()的速度為：或者取為系，則，相對(duì)系的速度，于是相對(duì)的速度為：(2)如圖，取地球?yàn)橄?，火箭為系，系相?duì)系沿方向運(yùn)動(dòng)，速度，對(duì)系的速度為,由洛侖茲變換式相對(duì)的速度為：相對(duì)的速度大小為速度與軸的夾角為題3-15圖3-16 靜止在S系中的觀測(cè)者測(cè)得一光子沿與軸成角的方向飛行另一觀測(cè)者靜止于S系，S系的軸與軸一致，并以0.6c的速度沿方向運(yùn)動(dòng)試問S系中的觀測(cè)者觀測(cè)到的光子運(yùn)動(dòng)方向如何?解: 系中光子運(yùn)動(dòng)速度的分量為由速度變換公式，光子在系中的速度分量為光子運(yùn)動(dòng)方向與軸的夾角滿足在第二象限為在系中，光子的運(yùn)動(dòng)速度為 正是光速不變3-17 (1)如果將電子由靜止加速到速率為0.1c，須對(duì)它作多少功?(2)如果將電子由速率為0.8c加速到0.9c，又須對(duì)它作多少功?解: (1)對(duì)電子作的功，等于電子動(dòng)能的增量，得J= (2) ) 3-18 子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時(shí)的平均壽命=210-6s，若它在實(shí)驗(yàn)室參考系中的平均壽命= 710-6s，試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍?解: 設(shè)子靜止質(zhì)量為，相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系的速度為，相應(yīng)質(zhì)量為，電子靜止質(zhì)量為，因由質(zhì)速關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)室參考系中質(zhì)量為：故 3-19 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%，試問此物體在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了百分之幾?解: 設(shè)靜止質(zhì)量為，運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為，由題設(shè) 由此二式得 在運(yùn)動(dòng)方向上的長度和靜長分別為和，則相對(duì)收縮量為：3-20 一電子在電場(chǎng)中從靜止開始加速，試問它應(yīng)通過多大的電勢(shì)差才能使其質(zhì)量增加0.4%?此時(shí)電子速度是多少?已知電子的靜止質(zhì)量為9.110-31kg解: 由質(zhì)能關(guān)系 所需電勢(shì)差為伏特由質(zhì)速公式有： 故電子速度為 3-21 一正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)可以把電子加速到動(dòng)能2.8109eV這種電子速率比光速差多少? 這樣的一個(gè)電子動(dòng)量是多大?(與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量為0.511106eV)解: 所以 由上式， 由動(dòng)量能量關(guān)系可得3-22 氫原子的同位素氘(H)和氚(H)在高溫條件下發(fā)生聚變反應(yīng)，產(chǎn)生氦(He)原子核和一個(gè)中子(n)，并釋放出大量能量，其反應(yīng)方程為H + HHe + n已知氘核的靜止質(zhì)量為2.0135原子質(zhì)量單位(1原子質(zhì)量單位1.60010-27kg)，氚核和氦核及中子的質(zhì)量分別為3.0155，4.0015，1.00865原子質(zhì)量單位求上述聚變反應(yīng)釋放出來的能量解: 反應(yīng)前總質(zhì)量為反應(yīng)后總質(zhì)量為質(zhì)量虧損 由質(zhì)能關(guān)系得3-23 一靜止質(zhì)量為的粒子，裂變成兩個(gè)粒子，速度分別為0.6c和0.8c求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的動(dòng)能解: 孤立系統(tǒng)在裂變過程中釋放出動(dòng)能，引起靜能減少，相應(yīng)的靜止質(zhì)量減少，即靜質(zhì)量虧損設(shè)裂變產(chǎn)生兩個(gè)粒子的靜質(zhì)量分別為和，其相應(yīng)的速度,由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過程都同時(shí)遵守動(dòng)量守恒定律和能(質(zhì))量守恒定律，所以有注意和必沿相反方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量守恒的矢量方程可以簡化為一維標(biāo)量方程，再以c, c代入，將上二方程化為：，上二式聯(lián)立求解可得：, 故靜質(zhì)量虧損由靜質(zhì)量虧損引起靜能減少，即轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，故放出的動(dòng)能為3-24 有，兩個(gè)靜止質(zhì)量都是的粒子，分別以=,=-的速度相向運(yùn)動(dòng)，在發(fā)生完全非彈性碰撞后合并為一個(gè)粒子求碰撞后粒子的速度和靜止質(zhì)量解: 在實(shí)驗(yàn)室參考系中，設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量分別和，碰撞后粒子的質(zhì)量為、速度為，于是，根據(jù)動(dòng)量守恒和質(zhì)量守恒定律可得： 由于 代入式得 ，即為碰撞后靜止質(zhì)量3-25 試估計(jì)地球、太陽的史瓦西半徑解: 史瓦西半徑 地球： 則： 太陽： 則： 3-26 典型中子星的質(zhì)量與太陽質(zhì)量21030kg同數(shù)量級(jí)，半徑約為10km若進(jìn)一步坍縮為黑洞，其史瓦西半徑為多少?一個(gè)質(zhì)子那么大小的微黑洞(10-15cm)，質(zhì)量是什么數(shù)量級(jí)? 解: (1)史瓦西半徑與太陽的相同， (2) 由 得 3-27 簡述廣義相對(duì)論的基本原理和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證解: 廣義相對(duì)論的基本原理是等效原理和廣義相對(duì)性原理等效原理又分為弱等效原理和強(qiáng)等效原理弱等效原理是：在局部時(shí)空中，不可能通過力學(xué)實(shí)驗(yàn)區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效強(qiáng)等效原理是：在局部時(shí)空中，任何物理實(shí)驗(yàn)都不能區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效廣義相對(duì)性原理是：所有參考系都是平權(quán)的，物理定律的表述相同廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有：光線的引力偏轉(zhuǎn)，引力紅移，水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)，雷達(dá)回波延遲等習(xí)題四4-1 符合什么規(guī)律的運(yùn)動(dòng)才是諧振動(dòng)?分別分析下列運(yùn)動(dòng)是不是諧振動(dòng)：(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)；(2)如題4-1圖所示，一小球在一個(gè)半徑很大的光滑凹球面內(nèi)滾動(dòng)(設(shè)小球所經(jīng)過的弧線很 短)題4-1圖解：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一 ，描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二，系統(tǒng) 是在 自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用 或者說，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)第一，球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置； 第二，球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線 性回復(fù)力(2)小球在題4-1圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng)顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過程中 ，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為，如題4-1圖(b)所示題 中所述，故0，所以回復(fù)力為.式中負(fù)號(hào)，表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反即小球在點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有令，則有4-2 勁度系數(shù)為和的兩根彈簧，與質(zhì)量為的小球按題4-2圖所示的兩種方式連 接，試證明它們的振動(dòng)均為諧振動(dòng)，并分別求出它們的振動(dòng)周期題4-2圖解：(1)圖(a)中為串聯(lián)彈簧，對(duì)于輕彈簧在任一時(shí)刻應(yīng)有，設(shè)串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為等效位移為，則有又有 所以串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為即小球與串聯(lián)彈簧構(gòu)成了一個(gè)等效倔強(qiáng)系數(shù)為的彈簧振子系統(tǒng)，故小球作諧振動(dòng)其振動(dòng)周期為(2)圖(b)中可等效為并聯(lián)彈簧，同上理，應(yīng)有，即，設(shè)并聯(lián)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，則有故 同上理，其振動(dòng)周期為4-3 如題4-3圖所示，物體的質(zhì)量為，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為先把物體托住，使彈簧維持原長，然 后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期 題4-3圖解：分別以物體和滑輪為對(duì)象，其受力如題4-3圖(b)所示，以重物在斜面上靜平衡時(shí)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為軸正向，則當(dāng)重物偏離原點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，有 式中，為靜平衡時(shí)彈簧之伸長量，聯(lián)立以上三式，有令 則有故知該系統(tǒng)是作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為4-4 質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作諧振動(dòng)，求：(1)振動(dòng)的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；(2)最大的回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能，在哪些位置上動(dòng)能與勢(shì)能相等?(3)與兩個(gè)時(shí)刻的位相差；解：(1)設(shè)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則知：又 (2) 當(dāng)時(shí)，有，即 (3) 4-5 一個(gè)沿軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示如果時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：