大學(xué)物理習(xí)題及解答第三版北京郵電大學(xué)出版社.doc

大學(xué)物理習(xí)題及解答（第三版 北京郵電大學(xué)出版社）習(xí)題二2-1 一細(xì)繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為的物體，另一邊穿在質(zhì)量為的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對于繩子以勻加速度下滑，求，相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計)解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為，其對于則為牽連加速度，又知對繩子的相對加速度為，故對地加速度，由圖(b)可知，為 又因繩的質(zhì)量不計，所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力，由牛頓定律，有 聯(lián)立、式，得討論 (1)若，則表示柱體與繩之間無相對滑動(2)若，則，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時, 均作自由落體運(yùn)動題2-1圖2-2 一個質(zhì)量為的質(zhì)點，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運(yùn)動，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質(zhì)點的運(yùn)動軌道解: 物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標(biāo)：取方向為軸，平行斜面與軸垂直方向為軸.如圖2-2.題2-2圖方向： 方向： 時 由、式消去，得2-3 質(zhì)量為16 kg 的質(zhì)點在平面內(nèi)運(yùn)動，受一恒力作用，力的分量為6 N，-7 N，當(dāng)0時，0，-2 ms-1，0求當(dāng)2 s時質(zhì)點的 (1)位矢；(2)速度解： (1)于是質(zhì)點在時的速度(2)2-4 質(zhì)點在流體中作直線運(yùn)動，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時質(zhì)點的速度為，證明(1) 時刻的速度為；(2) 由0到的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為()1-；(3)停止運(yùn)動前經(jīng)過的距離為；(4)證明當(dāng)時速度減至的，式中m為質(zhì)點的質(zhì)量答: (1) 分離變量，得即 (2) (3)質(zhì)點停止運(yùn)動時速度為零，即t，故有 (4)當(dāng)t=時，其速度為即速度減至的.2-5 升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為，且2用細(xì)繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計，當(dāng)升降機(jī)以勻加速g上升時，求：(1) 和相對升降機(jī)的加速度(2)在地面上觀察，的加速度各為多少?解: 分別以,為研究對象，其受力圖如圖(b)所示(1)設(shè)相對滑輪(即升降機(jī))的加速度為，則對地加速度；因繩不可伸長，故對滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒有受牽連運(yùn)動的影響，所以在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁?，由牛頓定律，有題2-5圖聯(lián)立，解得方向向下(2) 對地加速度為 方向向上在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即 ，左偏上2-6一質(zhì)量為的質(zhì)點以與地的仰角=30的初速從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點落地時相對拋射時的動量的增量解: 依題意作出示意圖如題2-6圖題2-6圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對軸對稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動量的增量為由矢量圖知，動量增量大小為，方向豎直向下2-7 一質(zhì)量為的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞并在拋出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時相等求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向并回答在碰撞過程中，小球的動量是否守恒?解: 由題知，小球落地時間為因小球為平拋運(yùn)動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為，小球上跳速度的大小亦為設(shè)向上為軸正向，則動量的增量方向豎直向上，大小 碰撞過程中動量不守恒這是因為在碰撞過程中，小球受到地面給予的沖力作用另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒2-8 作用在質(zhì)量為10 kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量(2)為了使這力的沖量為200 Ns，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度ms-1的物體,回答這兩個問題解: (1)若物體原來靜止，則,沿軸正向，若物體原來具有初速，則于是,同理， ,這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理(2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即亦即 解得，(舍去)2-9 一質(zhì)量為的質(zhì)點在平面上運(yùn)動，其位置矢量為求質(zhì)點的動量及0 到時間內(nèi)質(zhì)點所受的合力的沖量和質(zhì)點動量的改變量解: 質(zhì)點的動量為將和分別代入上式，得,則動量的增量亦即質(zhì)點所受外力的沖量為2-10 一顆子彈由槍口射出時速率為，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力為 F =()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量(3)求子彈的質(zhì)量解: (1)由題意，子彈到槍口時，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量2-11 一炮彈質(zhì)量為，以速率飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為+, -證明: 設(shè)一塊為，則另一塊為，及于是得 又設(shè)的速度為, 的速度為，則有 聯(lián)立、解得 將代入，并整理得于是有 將其代入式，有又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取證畢2-12 設(shè)(1) 當(dāng)一質(zhì)點從原點運(yùn)動到時，求所作的功(2)如果質(zhì)點到處時需0.6s，試求平均功率(3)如果質(zhì)點的質(zhì)量為1kg，試求動能的變化解: (1)由題知，為恒力， (2) (3)由動能定理，2-13 以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內(nèi)1 cm，問擊第二次時能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同解: 以木板上界面為坐標(biāo)原點，向內(nèi)為坐標(biāo)正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為題2-13圖第一錘外力的功為 式中是鐵錘作用于釘上的力，是木板作用于釘上的力，在時，設(shè)第二錘外力的功為，則同理，有 由題意，有 即 所以， 于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為2-14 設(shè)已知一質(zhì)點(質(zhì)量為)在其保守力場中位矢為點的勢能為, 試求質(zhì)點所受保守力的大小和方向解: 方向與位矢的方向相反，即指向力心2-15 一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，的下端一重物，的質(zhì)量為，如題2-15圖求這一系統(tǒng)靜止時兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比解: 彈簧及重物受力如題2-15圖所示平衡時，有題2-15圖又 所以靜止時兩彈簧伸長量之比為彈性勢能之比為2-16 (1)試計算月球和地球?qū)ξ矬w的引力相抵消的一點，距月球表面的距離是多少?地球質(zhì)量5.981024kg，地球中心到月球中心的距離3.84108m，月球質(zhì)量7.351022kg，月球半徑1.74106m(2)如果一個1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢能為零，那么它在點的勢能為多少? 解: (1)設(shè)在距月球中心為處，由萬有引力定律，有經(jīng)整理，得= 則點處至月球表面的距離為 (2)質(zhì)量為的物體在點的引力勢能為2-17 由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為和的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為，自然長度等于水平距離，與桌面間的摩擦系數(shù)為，最初靜止于點，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下,求它下落到處時的速率解: 取點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則由功能原理，有式中為彈簧在點時比原長的伸長量，則聯(lián)立上述兩式，得題2-17圖2-18 如題2-18圖所示，一物體質(zhì)量為2kg，以初速度3ms-1從斜面點處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達(dá)點后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有式中，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得題2-18圖再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 ,則木塊彈回高度 題2-19圖2-19 質(zhì)量為的大木塊具有半徑為的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示質(zhì)量為的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時的速度解: 從上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以，地球為系統(tǒng)，以最低點為重力勢能零點，則有又下滑過程，動量守恒，以,為系統(tǒng)則在脫離瞬間，水平方向有聯(lián)立，以上兩式，得2-20 一個小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動方向互相垂直證: 兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有即 題2-20圖(a) 題2-20圖(b)又碰撞過程中，動量守恒，即有亦即 由可作出矢量三角形如圖(b)，又由式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以為斜邊，故知與是互相垂直的2-21 一質(zhì)量為的質(zhì)點位于()處，速度為, 質(zhì)點受到一個沿負(fù)方向的力的作用，求相對于坐標(biāo)原點的角動量以及作用于質(zhì)點上的力的力矩解: 由題知，質(zhì)點的位矢為作用在質(zhì)點上的力為所以，質(zhì)點對原點的角動量為作用在質(zhì)點上的力的力矩為2-22 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動的軌道是一個橢圓它離太陽最近距離為8.751010m 時的速率是5.46104ms-1，它離太陽最遠(yuǎn)時的速率是9.08102ms-1這時它離太陽的距離多少?(太陽位于橢圓的一個焦點。)解: 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動時受到太陽的引力即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠(yuǎn)日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有 2-23 物體質(zhì)量為3kg，=0時位于, ，如一恒力作用在物體上,求3秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對軸角動量的變化 解: (1) (2)解(一) 即 ,即 , 解(二) 題2-24圖2-24 平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物小球作勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)半徑為時重物達(dá)到平衡今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體，如題2-24圖試問這時小球作勻速圓周運(yùn)動的角速度和半徑為多少?解: 在只掛重物時，小球作圓周運(yùn)動的向心力為，即 掛上后，則有 重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒即 聯(lián)立、得2-25 飛輪的質(zhì)量60kg，半徑0.25m，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為900revmin-1現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力，可使飛輪減速已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計算試求：(1)設(shè)100 N，問可使飛輪在多長時間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動?在這段時間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)?(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力?解: (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點轉(zhuǎn)軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力題2-25圖（a）題2-25圖(b)桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對點的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計，則有對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有，式中負(fù)號表示與角速度方向相反 又 以等代入上式，得由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動的時間為這段時間內(nèi)飛輪的角位移為可知在這段時間里，飛輪轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)(2)，要求飛輪轉(zhuǎn)速在內(nèi)減少一半，可知用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動力為2-26 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸轉(zhuǎn)動設(shè)大小圓柱體的半徑分別為和，質(zhì)量分別為和繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體和相連，和則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題2-26圖所示設(shè)0.20m, 0.10m，4 kg，10 kg，2 kg，且開始時，離地均為2m求：(1)柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力解: 設(shè),和分別為,和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b)題2-26(a)圖 題2-26(b)圖(1) ,和柱體的運(yùn)動方程如下： 式中 而 由上式求得 (2)由式由式2-27 計算題2-27圖所示系統(tǒng)中物體的加速度設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為，半徑為，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)50kg，200 kg,M15 kg, 0.1 m解: 分別以,滑輪為研究對象，受力圖如圖(b)所示對,運(yùn)用牛頓定律，有 對滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律，有 又， 聯(lián)立以上4個方程，得題2-27(a)圖 題2-27(b)圖題2-28圖2-28 如題2-28圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為，長為，可繞過一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動，桿于水平位置由靜止開始擺下求：(1)初始時刻的角加速度；(2)桿轉(zhuǎn)過角時的角速度.解: (1)由轉(zhuǎn)動定律，有 (2)由機(jī)械能守恒定律，有 題2-29圖2-29 如題2-29圖所示，質(zhì)量為，長為的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，它原來靜止在平衡位置上現(xiàn)有一質(zhì)量為的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞相撞后，使棒從平衡位置處擺動到最大角度30處(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計算小球初速的值；(2)相撞時小球受到多大的沖量?解: (1)設(shè)小球的初速度為，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)?，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時遵從角動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式： 上兩式中，碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度，按機(jī)械能守恒定律可列式： 由式得由式 由式 所以求得(2)相碰時小球受到的沖量為由式求得負(fù)號說明所受沖量的方向與初速度方向相反題2-30圖2-30 一個質(zhì)量為M、半徑為并以角速度轉(zhuǎn)動著的飛輪(可看作勻質(zhì)圓盤)，在某一瞬時突然有一片質(zhì)量為的碎片從輪的邊緣上飛出，見題2-30圖假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動量和轉(zhuǎn)動動能解: (1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度設(shè)碎片上升高度時的速度為，則有令，可求出上升最大高度為(2)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，碎片脫離前，盤的角動量為，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱?，但?nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動量，碎片與破盤的總角動量應(yīng)守恒，即式中為破盤的角速度于是得(角速度不變)圓盤余下部分的角動量為轉(zhuǎn)動動能為題2-31圖2-31 一質(zhì)量為、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動另一質(zhì)量為的子彈以速度射入輪緣(如題2-31圖所示方向)(1)開始時輪是靜止的，在質(zhì)點打入后的角速度為何值?(2)用,和表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點)最后動能和初始動能之比 解: (1)射入的過程對軸的角動量守恒 (2) 2-32 彈簧、定滑輪和物體的連接如題2-32圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0 Nm-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kgm2，半徑為0.30m ，問當(dāng)6.0 kg質(zhì)量的物體落下0.40m 時，它的速率為多大? 假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長解: 以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)，重物下落的過程中，機(jī)械能守恒，以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則有又 故有 題2-32圖 題2-33圖2-33 空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動，如題2-33圖所示，其轉(zhuǎn)動慣量為，環(huán)半徑為，初始角速度為質(zhì)量為的小球，原來靜置于點，由于微小的干擾，小球向下滑動設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的，問小球滑到點與點時，小球相對于環(huán)的速率各為多少?解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當(dāng)小球滑至點時，有 該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對于圓環(huán)的速率為，以點為重力勢能零點，則有 聯(lián)立、兩式，得(2)當(dāng)小球滑至點時， 故由機(jī)械能守恒，有 請讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣攘?xí)題八8-1 電量都是 的三個點電荷，分別放在正三角形的三個頂點試問：(1)在這三角形的中心放一個什么樣的電荷，就可以使這四個電荷都達(dá)到平衡(即每個電荷受其他三個電荷的庫侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長有無關(guān)系?解: 如題8-1圖示(1) 以 處點電荷為研究對象，由力平衡知： 為負(fù)電荷 解得 (2)與三角形邊長無關(guān)題8-1圖 題8-2圖8-2 兩小球的質(zhì)量都是 ，都用長為 的細(xì)繩掛在同一點，它們帶有相同電量，靜止時兩線夾角為2 ,如題8-2圖所示設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽略不計，求每個小球所帶的電量解: 如題8-2圖示 解得 8-3 根據(jù)點電荷場強(qiáng)公式 ，當(dāng)被考察的場點距源點電荷很近(r0)時，則場強(qiáng)，這是沒有物理意義的，對此應(yīng)如何理解?解: 僅對點電荷成立，當(dāng) 時，帶電體不能再視為點電荷，再用上式求場強(qiáng)是錯誤的，實際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場強(qiáng)不會是無限大8-4 在真空中有 ， 兩平行板，相對距離為 ，板面積為 ，其帶電量分別為+ 和- 則這兩板之間有相互作用力 ，有人說 = ,又有人說，因為 = , ，所以 = 試問這兩種說法對嗎?為什么? 到底應(yīng)等于多少?解: 題中的兩種說法均不對第一種說法中把兩帶電板視為點電荷是不對的，第二種說法把合場強(qiáng) 看成是一個帶電板在另一帶電板處的場強(qiáng)也是不對的正確解答應(yīng)為一個板的電場為 ，另一板受它的作用力 ，這是兩板間相互作用的電場力8-5 一電偶極子的電矩為 ，場點到偶極子中心O點的距離為 ,矢量 與 的夾角為 ,(見題8-5圖)，且 試證P點的場強(qiáng) 在 方向上的分量 和垂直于 的分量 分別為 = , = 證: 如題8-5所示，將 分解為與 平行的分量 和垂直于 的分量 場點 在 方向場強(qiáng)分量 垂直于 方向，即 方向場強(qiáng)分量 題8-5圖 題8-6圖8-6 長 =15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度 =5.0x10-9Cm-1的正電荷試求：(1)在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線B端相距 =5.0cm處 點的場強(qiáng)；(2)在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點相距 =5.0cm 處 點的場強(qiáng)解： 如題8-6圖所示(1)在帶電直線上取線元 ，其上電量 在 點產(chǎn)生場強(qiáng)為 用 ， , 代入得 方向水平向右(2)同理 方向如題8-6圖所示由于對稱性 ，即 只有 分量， 以 , , 代入得 ，方向沿 軸正向8-7 一個半徑為 的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為 ,求環(huán)心處 點的場強(qiáng)解: 如8-7圖在圓上取 題8-7圖 ，它在 點產(chǎn)生場強(qiáng)大小為 方向沿半徑向外則 積分 ，方向沿 軸正向8-8 均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長為 ，總電量為 (1)求這正方形軸線上離中心為 處的場強(qiáng) ；(2)證明：在 處，它相當(dāng)于點電荷 產(chǎn)生的場強(qiáng) 解: 如8-8圖示，正方形一條邊上電荷 在 點產(chǎn)生物強(qiáng) 方向如圖，大小為 在垂直于平面上的分量 題8-8圖由于對稱性， 點場強(qiáng)沿 方向，大小為 方向沿 8-9 (1)點電荷 位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點電荷電場中穿過立方體的一個面的電通量；(2)如果該場源點電荷移動到該立方體的一個頂點上，這時穿過立方體各面的電通量是多少?*(3)如題8-9(3)圖所示，在點電荷 的電場中取半徑為R的圓平面 在該平面軸線上的 點處，求：通過圓平面的電通量( ) 解: (1)由高斯定理 立方體六個面，當(dāng) 在立方體中心時，每個面上電通量相等 各面電通量 (2)電荷在頂點時，將立方體延伸為邊長 的立方體，使 處于邊長 的立方體中心，則邊長 的正方形上電通量 對于邊長 的正方形，如果它不包含 所在的頂點，則 ，如果它包含 所在頂點則 如題8-9(a)圖所示題8-9(3)圖 題8-9(a)圖 題8-9(b)圖 題8-9(c)圖(3)通過半徑為 的圓平面的電通量等于通過半徑為 的球冠面的電通量，球冠面積* *關(guān)于球冠面積的計算：見題8-9(c)圖 8-10 均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2 Cm-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各點的場強(qiáng)解: 高斯定理 , 當(dāng) 時， , 時， ， 方向沿半徑向外 cm時, 沿半徑向外.8-11 半徑為 和 ( )的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量 和- ,試求:(1) ；(2) ；(3) 處各點的場強(qiáng)解: 高斯定理 取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積 則 對(1) (2) 沿徑向向外(3) 題8-12圖8-12 兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為 和 ，試求空間各處場強(qiáng)解: 如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為 與 ，兩面間， 面外， 面外， ：垂直于兩平面由 面指為 面8-13 半徑為 的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為 ,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為 的小球體，如題8-13圖所示試求：兩球心 與 點的場強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場是均勻的解: 將此帶電體看作帶正電 的均勻球與帶電 的均勻小球的組合，見題8-13圖(a)(1) 球在 點產(chǎn)生電場 ， 球在 點產(chǎn)生電場 點電場 ；(2) 在 產(chǎn)生電場 球在 產(chǎn)生電場 點電場 題8-13圖(a) 題8-13圖(b)(3)設(shè)空腔任一點 相對 的位矢為 ，相對 點位矢為 (如題8-13(b)圖)則 ， , 腔內(nèi)場強(qiáng)是均勻的8-14 一電偶極子由 =1.010-6C的兩個異號點電荷組成，兩電荷距離d=0.2cm，把這電偶極子放在1.0105NC-1的外電場中，求外電場作用于電偶極子上的最大力矩解: 電偶極子 在外場 中受力矩 代入數(shù)字 8-15 兩點電荷 =1.510-8C， =3.010-8C，相距 =42cm，要把它們之間的距離變?yōu)?=25cm，需作多少功?解: 外力需作的功 題8-16圖8-16 如題8-16圖所示，在 ， 兩點處放有電量分別為+ ,- 的點電荷， 間距離為2 ，現(xiàn)將另一正試驗點電荷 從 點經(jīng)過半圓弧移到 點，求移動過程中電場力作的功解: 如題8-16圖示 8-17 如題8-17圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為 的正電荷,兩直導(dǎo)線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于 試求環(huán)中心 點處的場強(qiáng)和電勢解: (1)由于電荷均勻分布與對稱性， 和 段電荷在 點產(chǎn)生的場強(qiáng)互相抵消，取 則 產(chǎn)生 點 如圖，由于對稱性， 點場強(qiáng)沿 軸負(fù)方向 題8-17圖 (2) 電荷在 點產(chǎn)生電勢，以 同理 產(chǎn)生 半圓環(huán)產(chǎn)生 8-18 一電子繞一帶均勻電荷的長直導(dǎo)線以2104ms-1的勻速率作圓周運(yùn)動求帶電直線上的線電荷密度(電子質(zhì)量 =9.110-31kg，電子電量 =1.6010-19C)解: 設(shè)均勻帶電直線電荷密度為 ，在電子軌道處場強(qiáng) 電子受力大小 得 8-19 空氣可以承受的場強(qiáng)的最大值為 =30kVcm-1，超過這個數(shù)值時空氣要發(fā)生火花放電今有一高壓平行板電容器，極板間距離為 =0.5cm，求此電容器可承受的最高電壓解: 平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場 8-20 根據(jù)場強(qiáng) 與電勢 的關(guān)系 ，求下列電場的場強(qiáng)：(1)點電荷 的電場；(2)總電量為 ，半徑為 的均勻帶電圓環(huán)軸上一點；*(3)偶極子 的 處(見題8-20圖)解: (1)點電荷 題 8-20 圖 為 方向單位矢量(2)總電量 ，半徑為 的均勻帶電圓環(huán)軸上一點電勢 (3)偶極子 在 處的一點電勢 8-21 證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板(題8-21圖)來說，(1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同證: 如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體 、 的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為 ， ， ， 題8-21圖(1)則取與平面垂直且底面分別在 、 內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時，有 說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反；(2)在 內(nèi)部任取一點 ，則其場強(qiáng)為零，并且它是由四個均勻帶電平面產(chǎn)生的場強(qiáng)疊加而成的，即 又 說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號相同8-22 三個平行金屬板 ， 和 的面積都是200cm2， 和 相距4.0mm， 與 相距2.0 mm ， 都接地，如題8-22圖所示如果使 板帶正電3.010-7C，略去邊緣效應(yīng)，問 板和 板上的感應(yīng)電荷各是多少?以地的電勢為零，則 板的電勢是多少?解: 如題8-22圖示，令 板左側(cè)面電荷面密度為 ，右側(cè)面電荷面密度為 題8-22圖(1) ，即 且 + 得 而 (2) 8-23 兩個半徑分別為 和 （ )的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+ ，試計算：(1)外球殼上的電荷分布及電勢大??；(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布及電勢；*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變量 解: (1)內(nèi)球帶電 ；球殼內(nèi)表面帶電則為 ,外表面帶電為 ，且均勻分布，其電勢 題8-23圖 (2)外殼接地時，外表面電荷 入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為 所以球殼電勢由內(nèi)球 與內(nèi)表面 產(chǎn)生： (3)設(shè)此時內(nèi)球殼帶電量為 ；則外殼內(nèi)表面帶電量為 ，外殼外表面帶電量為 (電荷守恒)，此時內(nèi)球殼電勢為零，且 得 外球殼上電勢 8-24 半徑為 的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為 處有一點電荷+ ，試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量解: 如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為 ，則球接地時電勢 8-24圖由電勢疊加原理有： 得 8-25 有三個大小相同的金屬小球，小球1，2帶有等量同號電荷，相距甚遠(yuǎn)，其間的庫侖力為 試求：(1)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1，2后移去，小球1，2之間的庫侖力；(2)小球3依次交替接觸小球1，2很多次后移去，小球1，2之間的庫侖力解: 由題意知 (1)小球 接觸小球 后，小球 和小球 均帶電 ,小球 再與小球 接觸后，小球 與小球 均帶電 此時小球 與小球 間相互作用力 (2)小球 依次交替接觸小球 、 很多次后，每個小球帶電量均為 . 小球 、 間的作用力 *8-26 如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S，相距為 ，分別維持電勢 = ， =0不變現(xiàn)把一塊帶有電量 的導(dǎo)體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面積也是S，片的厚度略去不計求導(dǎo)體薄片的電勢解: 依次設(shè) , , 從上到下的 個表面的面電荷密度分別為 ， ， ， , , 如圖所示由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持 可得以下 個方程 題8-26圖 解得 所以 間電場 注意：因為 片帶電，所以 ，若 片不帶電，顯然 8-27 在半徑為 的金屬球之外包有一層外半徑為 的均勻電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對介電常數(shù)為 ，金屬球帶電 試求：(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場強(qiáng)；(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢；(3)金屬球的電勢解: 利用有介質(zhì)時的高斯定理 (1)介質(zhì)內(nèi) 場強(qiáng) ;介質(zhì)外 場強(qiáng) (2)介質(zhì)外 電勢 介質(zhì)內(nèi) 電勢 (3)金屬球的電勢 8-28 如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電常數(shù)為 的電介質(zhì)試求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值解: 如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場強(qiáng)為 ，真空部分場強(qiáng)為 ，自由電荷面密度分別為 與 由 得 ， 而 , 題8-28圖 題8-29圖8-29 兩個同軸的圓柱面，長度均為 ，半徑分別為 和 ( )，且 >> - ，兩柱面之間充有介電常數(shù) 的均勻電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等量異號電荷 和- 時，求：(1)在半徑 處( ，厚度為dr，長為 的圓柱薄殼中任一點的電場能量密度和整個薄殼中的電場能量；(2)電介質(zhì)中的總電場能量；(3)圓柱形電容器的電容解: 取半徑為 的同軸圓柱面 則 當(dāng) 時， (1)電場能量密度 薄殼中 (2)電介質(zhì)中總電場能量 (3)電容： *8-30 金屬球殼 和 的中心相距為 ， 和 原來都不帶電現(xiàn)在 的中心放一點電荷 ，在 的中心放一點電荷 ，如題8-30圖所示試求：(1) 對 作用的庫侖力， 有無加速度；(2)去掉金屬殼 ，求 作用在 上的庫侖力，此時 有無加速度 解: (1) 作用在 的庫侖力仍滿足庫侖定律，即 但 處于金屬球殼中心，它受合力為零，沒有加速度(2)去掉金屬殼 ， 作用在 上的庫侖力仍是 ，但此時 受合力不為零，有加速度 題8-30圖 題8-31圖8-31 如題8-31圖所示， =0.25 F， =0.15 F， =0.20 F 上電壓為50V求： 解: 電容 上電量 電容 與 并聯(lián) 其上電荷 8-32 和 兩電容器分別標(biāo)明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它們串聯(lián)起來后等值電容是多少?如果兩端加上1000 V的電壓，是否會擊穿?解: (1) 與 串聯(lián)后電容 (2)串聯(lián)后電壓比 ，而 , 即電容 電壓超過耐壓值會擊穿，然后 也擊穿8-33 將兩個電容器 和 充電到相等的電壓 以后切斷電源，再將每一電容器的正極板與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián)試求：(1)每個電容器的最終電荷；(2)電場能量的損失解: 如題8-33圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為 , 題8-33圖則 解得 (1) (2)電場能量損失 8-34 半徑為 =2.0cm 的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為 =4.0cm和 =5.0cm，當(dāng)內(nèi)球帶電荷 =3.010-8C時，求：(1)整個電場儲存的能量；(2)如果將導(dǎo)體殼接地，計算儲存的能量；(3)此電容器的電容值解: 如圖，內(nèi)球帶電 ，外球殼內(nèi)表面帶電 ，外表面帶電 題8-34圖(1)在 和 區(qū)域 在 時 時 在 區(qū)域 在 區(qū)域 總能量 (2)導(dǎo)體殼接地時，只有 時 , (3)電容器電容 習(xí)題九9-1 在同一磁感應(yīng)線上，各點 的數(shù)值是否都相等?為何不把作用于運(yùn)動電荷的磁力方向定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度 的方向?解: 在同一磁感應(yīng)線上，各點 的數(shù)值一般不相等因為磁場作用于運(yùn)動電荷的磁力方向不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度 的方向有關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān)，即磁力方向并不是唯一由磁場決定的，所以不把磁力方向定義為 的方向題9-2圖 9-2 (1)在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度 的大小在沿磁感應(yīng)線和垂直它的方向上是否可能變化(即磁場是否一定是均勻的)?(2)若存在電流，上述結(jié)論是否還對? 解: (1)不可能變化，即磁場一定是均勻的如圖作閉合回路 可證明 (2)若存在電流，上述結(jié)論不對如無限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁力線是平行直線，但 方向相反，即 . 9-3 用安培環(huán)路定理能否求有限長一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場?答: 不能，因為有限長載流直導(dǎo)線周圍磁場雖然有軸對稱性，但不是穩(wěn)恒電流，安培環(huán)路定理并不適用9-4 在載流長螺線管的情況下，我們導(dǎo)出其內(nèi)部 ，外面 =0，所以在載流螺線管外面環(huán)繞一周(見題9-4圖)的環(huán)路積分 d =0但從安培環(huán)路定理來看，環(huán)路L中有電流I穿過，環(huán)路積分應(yīng)為 d = 這是為什么?解: 我們導(dǎo)出 , 有一個假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于螺線管軸線這時圖中環(huán)路 上就一定沒有電流通過，即也是 ，與 是不矛盾的但這是導(dǎo)線橫截面積為零，螺距為零的理想模型實際上以上假設(shè)并不真實存在，所以使得穿過 的電流為 ，因此實際螺線管若是無限長時，只是 的軸向分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量 , 為管外一點到螺線管軸的距離 題 9 - 4 圖9-5 如果一個電子在通過空間某一區(qū)域時不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個區(qū)域中沒有磁場?如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個區(qū)域中存在著磁場?解：如果一個電子在通過空間某一區(qū)域時不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個區(qū)域中沒有磁場，也可能存在互相垂直的電場和磁場，電子受的電場力與磁場力抵消所致如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)也不能肯定那個區(qū)域存在著磁場，因為僅有電場也可以使電子偏轉(zhuǎn) 9-6 已知磁感應(yīng)強(qiáng)度 Wbm-2的均勻磁場，方向沿 軸正方向，如題9-6圖所示試求：(1)通過圖中 面的磁通量；(2)通過圖中 面的磁通量；(3)通過圖中 面的磁通量解： 如題9-6圖所示 題9-6圖(1)通過 面積 的磁通是 (2)通過 面積 的磁通量 (3)通過 面積 的磁通量 (或曰 )題9-7圖 9-7 如題9-7圖所示， 、 為長直導(dǎo)線， 為圓心在 點的一段圓弧形導(dǎo)線，其半徑為 若通以電流 ，求 點的磁感應(yīng)強(qiáng)度解：如題9-7圖所示， 點磁場由 、 、 三部分電流產(chǎn)生其中 產(chǎn)生 產(chǎn)生 ，方向垂直向里 段產(chǎn)生 ，方向 向里 ，方向 向里9-8 在真空中，有兩根互相平行的無限長直導(dǎo)線 和 ，相距0.1m，通有方向相反的電流， =20A, =10A，如題9-8圖所示 ， 兩點與導(dǎo)線在同一平面內(nèi)這兩點與導(dǎo)線 的距離均為5.0cm試求 ， 兩點處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，以及磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的點的位置 題9-8圖解：如題9-8圖所示, 方向垂直紙面向里 (2)設(shè) 在 外側(cè)距離 為 處則 解得 題9-9圖 9-9 如題9-9圖所示，兩根導(dǎo)線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的 ， 兩點，并在很遠(yuǎn)處與電源相連已知圓環(huán)的粗細(xì)均勻，求環(huán)中心 的磁感應(yīng)強(qiáng)度解： 如題9-9圖所示，圓心 點磁場由直電流 和 及兩段圓弧上電流 與 所產(chǎn)生，但 和 在 點產(chǎn)生的磁場為零。且 . 產(chǎn)生 方向 紙面向外 ， 產(chǎn)生 方向 紙面向里 有 9-10 在一半徑 =1.0cm的無限長半圓柱形金屬薄片中，自上而下地有電流 =5.0 A通過，電流分布均勻.如題9-10圖所示試求圓柱軸線任一點 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 題9-10圖解：因為金屬片無限長，所以圓柱軸線上任一點 的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向都在圓柱截面上，取坐標(biāo)如題9-10圖所示，取寬為 的一無限長直電流 ，在軸上 點產(chǎn)生 與 垂直，大小為 9-11 氫原子處在基態(tài)時，它的電子可看作是在半徑 =0.5210-8cm的軌道上作勻速圓周運(yùn)動，速率 =2.2108cms-1求電子在軌道中心所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度和電子磁矩的值解：電子在軌道中心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 如題9-11圖，方向垂直向里，大小為 電子磁矩 在圖中也是垂直向里，大小為 題9-11圖 題9-12圖9-12 兩平行長直導(dǎo)線相距 =40cm，每根導(dǎo)線載有電流 = =20A，如題9-12圖所示求：(1)兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與該兩導(dǎo)線等距的一點 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；(2)通過圖中斜線所示面積的磁通量( = =10cm, =25cm) 解：(1) T方向 紙面向外(2)取面元 9-13 一根很長的銅導(dǎo)線載有電流10A，設(shè)電流均勻分布.在導(dǎo)線內(nèi)部作一平面 ，如題9-13圖所示試計算通過S平面的磁通量(沿導(dǎo)線長度方向取長為1m的一段作計算)銅的磁導(dǎo)率 .解：由安培環(huán)路定律求距圓導(dǎo)線軸為 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 題 9-13 圖磁通量 9-14 設(shè)題9-14圖中兩導(dǎo)線中的電流均為8A，對圖示的三條閉合曲線 , , ，分別寫出安培環(huán)路定理等式右邊電流的代數(shù)和并討論：(1)在各條閉合曲線上，各點的磁感應(yīng)強(qiáng)度 的大小是否相等?(2)在閉合曲線 上各點的 是否為零?為什么?解：