第八章空間解析幾何與向量代數知識點,題庫與答案.doc

第八章：空間解析幾何與向量代數一、重點與難點1、重點向量的基本概念、向量的線性運算、向量的模、方向角；數量積（是個數）、向量積（是個向量）；幾種常見的旋轉曲面、柱面、二次曲面；平面的幾種方程的表示方法（點法式、一般式方程、三點式方程、截距式方程），兩平面的夾角；空間直線的幾種表示方法（參數方程、對稱式方程、一般方程、兩點式方程），兩直線的夾角、直線與平面的夾角；2、難點向量積（方向）、混合積（計算）；掌握幾種常見的旋轉曲面、柱面的方程及二次曲面所對應的圖形；空間曲線在坐標面上的投影；特殊位置的平面方程（過原點、平行于坐標軸、垂直于坐標軸等；）平面方程的幾種表示方式之間的轉化；直線方程的幾種表示方式之間的轉化；二、基本知識1、向量及其線性運算向量的基本概念：向量: 既有大小, 又有方向的量；向量表示方法：用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量. 有向線段的長度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.；向量的符號: 以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書寫體字母表示, 例如, a、r、v、F或、；向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、的模分別記為|a|、. 單位向量: 模等于1的向量叫做單位向量；向量的平行: 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個向量平行. 向量a與b平行, 記作a / b. 零向量認為是與任何向量都平行； 兩向量平行又稱兩向量共線. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或. 零向量的起點與終點重合, 它的方向可以看作是任意的. 共面向量： 設有k(k3)個向量, 當把它們的起點放在同一點時, 如果k個終點和公共起點在一個平面上, 就稱這k個向量共面；兩向量夾角：當把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時, 兩個向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值.； 向量的線性運算向量的加法（三角形法則）：設有兩個向量a與b, 平移向量使b的起點與a的終點重合, 此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . :平行四邊形法則: 向量a與b不平行時, 平移向量使a與b的起點重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b. 向量的加法的運算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結合律(a+b)+c=a+(b+c). 負向量: 設a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量, 記為-a. 向量的減法: 把向量a與b移到同一起點O, 則從a的終點A向b的終點B所引向量便是向量b與a的差b-a .向量與數的乘法： 向量a與實數l的乘積記作規(guī)定la是一個向量, 它的模|la|=|l|a|, 它的方向當l>0時與a相同, 當l<0時與a相反. 當l=0時, |la|=0, 即la為零向量, 這時它的方向可以是任意的.運算規(guī)律: (1)結合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb. 向量的單位化: 設a0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. ，于是a=|a|ea. 定理1 設向量a 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實數l, 使 b = la. 空間直角坐標系 在空間中任意取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O為原點的兩兩垂直的數軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統稱為坐標軸. 它們構成一個空間直角坐標系, 稱為Oxyz坐標系. 注: (1)通常三個數軸應具有相同的長度單位; (2)通常把x 軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線; (3)數軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標面: 在空間直角坐標系中, 任意兩個坐標軸可以確定一個平面, 這種平面稱為坐標面. x軸及y軸所確定的坐標面叫做xOy面, 另兩個坐標面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個坐標面把空間分成八個部分, 每一部分叫做卦限, 含有三個正半軸的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 與第一卦限對應的是第五卦限, 按逆時針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八個卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標分解式: 任給向量r, 對應有點M, 使. 以OM為對角線、三條坐標軸為棱作長方體, 有 , 設 , , , 則 . 上式稱為向量r的坐標分解式, xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量. 點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應的關系 . 有序數x、y、z稱為向量r(在坐標系Oxyz)中的坐標, 記作r=(x, y, z); 向量稱為點M關于原點O的向徑.利用坐標作向量的線性運算 設a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz).a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz). la=(lax, lay, laz). 利用向量的坐標判斷兩個向量的平行: 設a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 向量b/ab=la , 即b/a(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 向量的模、方向角、投影設向量r=(x, y, z), 作, 則 向量的模長公式 . 設有點A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), A、 B兩點間的距離公式為：. 方向角：非零向量r與三條坐標軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 設r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . cos2a+cos2b+cos2g=1.投影的性質: 性質1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j為向量與u軸的夾角; 性質2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub); 性質3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua);2、數量積、向量積、混合積兩向量的數量積數量積: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數量積, 記作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 數量積的性質: (1) aa = |a| 2. (2) 對于兩個非零向量 a、b, 如果 ab =0, 則 ab; 反之, 如果ab, 則ab =0. 如果認為零向量與任何向量都垂直, 則ab ab =0. 兩向量夾角的余弦的坐標表示: 設q=(a, b), 則當a0、b0時, 有 . 數量積的坐標表示: 設a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 則 ab=axbx+ayby+azbz .數量積的運算律: (1)交換律: ab = ba; (2)分配律: (a+b)c=ac+bc . (3) (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m為數. 兩向量的向量積 向量積: 設向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作ab, 即c = ab. 向量積的性質: (1) aa = 0 ; (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果ab = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則ab = 0. 如果認為零向量與任何向量都平行, 則a/b ab = 0. 數量積的運算律: (1) 交換律ab = -ba; (2) 分配律: (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l為數). 數量積的坐標表示: 設a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)ab = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成 =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 三向量的混合積 混合積：先作兩向量a和b的向量積,把所得到的向量與第三個向量c再作數量積，這樣得到的數量叫做三個向量a、b、c的混合積，記作abcabc= =混合積的幾何意義：混合積abc是這樣一個數，它的絕對值表示以向量a、b、c 為棱的平行六面體的體積，如果向量a、b、c組成右手系，那么混合積的符號是正的，如果a、b、c組成左手系，那么混合積的符號是負的。三個向量a、b、c共面的充分必要條件事他們的混合積abc=0即=03、曲面及其方程曲面方程的概念如果曲面S與三元方程 F(x, y, z)=0有下述關系: (1) 曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x, y, z)=0; (2) 不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x, y, z)=0, 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)=0的圖形. 例如：方程 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 表示球心在點M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面旋轉曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面, 這條定直線叫做旋轉曲面的軸. 設在yO z 坐標面上有一已知曲線C, 它的方程為f (y, z) =0, 把這曲線繞z軸旋轉一周, 就得到一個以z軸為軸的旋轉曲面. 它的方程為 , 這就是所求旋轉曲面的方程. 在曲線C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線C繞z 軸旋轉所成的旋轉曲面的方程. 同理, 曲線C繞y 軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為. 柱面柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準線, 動直線L叫做柱面的母線. 例如方程x2+y2=R2在空間直角坐標系中表示圓柱面, 它的母線平行于z軸, 它的準線是xOy 面上的圓x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標系中表示母線平行于z 軸的柱面, 其準線是xOy 面上的曲線C: F(x, y)=0. 類似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面.二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面. (1)橢圓錐面 由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面. (2)橢球面 由方程所表示的曲面稱為橢球面. (3)單葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面.(5)橢圓拋物面由方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面.(6)雙曲拋物面. 由方程所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面又稱馬鞍面. 方程 , , , 依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面. 4 空間曲線及其方程空間曲線的一般方程 設F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是兩個曲面方程, 它們的交線為C所以C應滿足方程組上述方程組叫做空間曲線C的一般方程. 空間曲線的參數方程空間曲線C上動點的坐標x、y、z表示為參數t的函數: .(2)當給定t=t1時, 就得到C上的一個點(x1, y1, z1); 隨著t的變動便得曲線C上的全部點. 方程組(2)叫做空間曲線的參數方程.空間曲線在坐標面上的投影 以曲線C為準線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關于xOy面的投影柱面, 投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy 面上的投影曲線, 或簡稱投影(類似地可以定義曲線C在其它坐標面上的投影). 設空間曲線C的一般方程為. 設方程組消去變量z后所得的方程 H(x, y)=0 , 這就是曲線C關于xOy面的投影柱面. 曲線C在xOy 面上的投影曲線的方程為: 5 平面及其方程平面的點法式方程 法線向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法線向量.已知平面P上的一點M0(x0, y0, z0)及它的一個法線向量n =(A, B, C)，平面的點法式方程.為：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0平面的一般方程平面的一般方程為：Ax+By+Cz+D=0， 其中x, y, z的系數就是該平面的一個法線向量n的坐標, 即 n=(A, B, C). 特殊位置的平面方程：D=0, 平面過原點. n=(0, B, C), 法線向量垂直于x軸, 平面平行于x軸. n=(A, 0, C), 法線向量垂直于y軸, 平面平行于y軸.n=(A, B, 0), 法線向量垂直于z軸, 平面平行于z軸.n=(0, 0, C), 法線向量垂直于x軸和y軸, 平面平行于xOy平面.n=(A, 0, 0), 法線向量垂直于y軸和z軸, 平面平行于yOz平面.n=(0, B, 0), 法線向量垂直于x軸和z軸, 平面平行于zOx平面.求這平面的方程平面的截距式方程為： .(其中a0, b0, c0).該平面與x、y、z軸的交點依次為P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三點, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距. 平面的三點式方程為：=0其中M()，N()P()是平面上的三點。兩平面的夾角 兩平面的夾角: 兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角. 設平面P1和P2的法線向量分別為n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夾角q 應是和兩者中的銳角, 平面P1和P2垂直相當于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0; 也即 平面P 1和P 2平行或重合相當于.也即設P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點, P0到這平面的距離公式為.d 6 空間直線及其方程空間直線的一般方程 空間直線L可以看作是兩個平面P1和P2的交線.如果兩個相交平面P1和P2的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直線L滿足方程組. (1)上述方程組叫做空間直線的一般方程. 空間直線的對稱式方程與參數方程 方向向量: 如果一個非零向量平行于一條已知直線, 這個向量就叫做這條直線的方向向量. 容易知道, 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 已知直線L通過點M0(x0, y0, x0), 且直線的方向向量為s = (m, n, p), 則直線L的方程為： 叫做直線的對稱式方程或點向式方程. 注: 當m, n, p中有一個為零, 例如m=0, 而n, p0時, 這方程組應理解為 ; 當m, n, p中有兩個為零, 例如m=n=0, 而p0時, 這方程組應理解為 . 設, 得方程組 . 此方程組就是直線L的參數方程. 兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)叫做兩直線的夾角. 設直線L1和L2的方向向量分別為s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夾角j就是和兩者中的銳角, 因此 設有兩直線L1:, L2:, 則 L 1L 2m1m2+n1n2+p1p2=0; l/ IIL2直線與平面的夾角 當直線與平面不垂直時, 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當直線與平面垂直時, 規(guī)定直線與平面的夾角為.設直線的方向向量s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(A, B, C), 直線與平面的夾角為j , 那么, 因此. 因為直線與平面垂直相當于直線的方向向量與平面的法線向量平行, 所以, 直線與平面垂直相當于 . 因為直線與平面平行或直線在平面上相當于直線的方向向量與平面的法線向量垂直, 所以, 直線與平面平行或直線在平面上相當于 Am+Bn+Cp=0. 設直線L的方向向量為(m, n, p), 平面P的法線向量為(A, B, C) , 則 LP ; L/ / P Am+Bn+Cp=0. 三、疑難點解析（1）數量積、向量積、混合積易混怎么辦？答：數量積是一個數量無方向、向量積是個向量有方向，算出來的向量垂直于兩向量構成的平面，且滿足右手法則。混合積也是個常數。數量積：ab=|a| |b| cosq . =axbx+ayby+azbz .向量積c = ab. ， |c|=|a|b|sin q , =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi混合積： abc= =（2）已知平面圖形的方程如何求出該圖形繞坐標軸旋轉后所得旋轉體的方程？答：求旋轉曲面方程的口訣用通俗的語言描述就是：“繞誰（如x）旋轉誰不變，另外一個字母變成”。（3）同一個方程在空間和在平面中表示的圖形為何不一樣？答：例如：，在平面上只有兩個坐標，所以表示的是一個圓，但在空間中是三維坐標的，這個方程表示的就是圓柱了，即當滿足上述方程，則對任意的z, 也滿足這個方程。（4）求平面方程有幾種方法，具體用于求平面方程時要注意哪些關鍵的東西？答：求平面方程時最關鍵的就是要找到平面中的一個點和平面的法向量，求平面的法向量經常會用到兩向量的叉乘的方向的性質來解決法向量，也即找到兩個向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。（5）解與直線和平面相關的題時如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直線的找方向向量。然后在根據具體題來分析該如何使用法向量和方向向量。四、考點分析（一）向量的的基本概念的相關知識例1、平行于向量的單位向量為_.解： 例2、 設已知兩點，計算向量的模，方向余弦和方向角.解、=（-1，-，1）=2, 例3、 設，求向量在x軸上的投影，及在y軸上的分向量.解 ：a=13i+7j+15k, 所以在x軸上的投影為13，在y軸上的分量為7j例4、 在空間直角坐標系O;下，求M(a, b, c)關于 (1) 坐標平面；(2) 坐標軸；(3) 坐標原點的各個對稱點的坐標.解：M (a, b, c)關于xOy平面的對稱點坐標為(a, b, c)，M (a, b, c)關于yOz平面的對稱點坐標為(a, b, c)，M (a, b, c)關于xOz平面的對稱點坐標為(a,b, c)，M (a, b, c)關于x軸平面的對稱點坐標為(a,b,c)，M (a, b, c)關于y軸的對稱點的坐標為(a, b,c)，M (a, b, c)關于z軸的對稱點的坐標為(a,b, c).M (a, b, c)關于原點對稱的對稱點的坐標為(a,b, c).（二）向量的數量積、向量積、混合積的計算例5、設，求(1)(3)a、b的夾角的余弦.解：（1） （2）， （3）例6、知，求與同時垂直的單位向量.解：即為所求單位向量。例7、已知，求的面積解：思路：=答案：其中，|OA|=例8、求單位向量，使且軸，其中.解：取，則。 =8j-6k,| |=10,=,答案：例9、解：=,。tan,答案：例10已知矢量互相垂直，矢量與的夾角都是，且計算： 解：例11、已知平行四邊形以1，2，-1，1，-2，1為兩邊 求它的邊長和內角 求它的兩對角線的長和夾角 解： 或，. 例12、已知,試求: 解: 4.原式= .原式=9例13、已知直角坐標系內矢量的分量,判別這些矢量是否共面?如果不共面,求出以它們?yōu)槿忂呑鞒傻钠叫辛骟w體積. , , . , , . 解: 共面 = 向量共面不共面 = 向量不共面以其為鄰邊作成的平行六面體體積 （三）求平面的曲線與曲面例14.一動點到的距離恒等于它到點的距離一半，求此動點的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？ 解：動點在軌跡上的充要條件是。設的坐標有 化簡得 故此動點的軌跡方程為 此軌跡為橢圓 例15、 把下面的平面曲線的普通方程化為參數方程.; ; .解:令,代入方程得參數方程為.令代入方程得當時,當時,故參數方程為.(四)空間的曲線與曲面方程及投影例15、 一動點移動時，與及平面等距離，求該動點的軌跡方程。解：設在給定的坐標系下，動點，所求的軌跡為，則亦即由于上述變形為同解變形，從而所求的軌跡方程為例16、 求下列各球面的方程：（1）中心，半徑為；（2）中心在原點，且經過點；（3）一條直徑的兩端點是（4）通過原點與（5）求中心在且與平面相切的球面方程。.解：（1）所求的球面方程為：（2）球面半徑所以類似上題，得球面方程為（3）球面的球心坐標，球的半徑，所以球面方程為： （4）設所求的球面方程為：因該球面經過點，所以 （1）解（1）有所求的球面方程為（5）球面的半徑為C到平面：的距離，它為：，所以，要求的球面的方程為：.即：例17、（1)將xOy坐標面上的繞x軸旋轉一周，生成的曲面方程為 _，曲面名稱為_.2)將xOy坐標面上的繞x軸旋轉一周，生成的曲面方程 _，曲面名稱為_.3)將xOy坐標面上的繞x軸及y軸旋轉一周，生成的曲面方程為_，曲面名稱為_. 4）在平面解析幾何中表示_圖形。在空間解析幾何中表示_圖形.解：求旋轉曲面方程的口訣：“繞誰（如x）旋轉誰不變，另外一個字母變成”（1) ,旋轉拋物面 （,球面（3)繞x軸：旋轉雙葉雙曲面繞y軸：旋轉單葉雙曲面（4）、拋物線，拋物柱面 5）畫出下列方程所表示的曲面 (1)解： (2)解 例18、（1）、指出方程組在平面解析幾何中表示_圖形，在空間=析幾何中表示_圖形.（2）、求球面與平面的交線在xOy面上的投影方程.（3）、求上半球與圓柱體的公共部分在xOy面及xOz面上的投影. （4）、求曲線在坐標面上的投影曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線？解：（1）、平面解析幾何表示橢圓與其一切線的交點；空間解析幾何中表示橢圓柱面與其切平面的交線。 （2）、（3）、在xoy面的投影為：，在xOz面的投影為（？）：(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲線在面上的投影曲線方程為。原曲線是由旋轉拋物面被平面所截的拋物線。例19、已知柱面的準線為：母線平行于軸，求該柱面方程；解：從方程中消去，得到：即：此即為要求的柱面方程。例20、已知橢圓拋物面的頂點在原點，對稱面為面與面，且過點和，求這個橢圓拋物面的方程。解：據題意可設，要求的橢圓拋物面的方程為：令確定與和均在該曲面上。有：從而所以要求的橢圓拋物面的方程為：即：（五）求平面方程等相關知識點的各類常見的重要題型（找到平面過的點和平面的法向量）注意利用兩向量的叉乘知識來解決平面的法向量。例21（1）、求過點(3,0,-1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.解：平面過點為（3,0，-1），且與平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量為,再由平面方程的點法式方程知所求方程為： （2）、求過點(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.解：因為所求平面平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根據向量的叉乘知，在由點法式方程知所求平面為：。（3）、求平行于xOz面且過點(2,-5,3)的平面方程.解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y軸，所以可以用z軸上的單位向量（0,1,0）為法向量，再由點法式方程知所求平面為： （4）、求平行于x軸且過兩點(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.解：因為平面過兩點M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以過向量=（1,1，9）,由因為所求平面平行于x軸，所以平面平行于x軸上的單位向量i=（1,0,0），從而,再由點法式方程知所求平面方程為：（5）、求過點(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程. 解：直線的方向向量可以作為所求平面的法向量，所以，在由平面的點法式方程知所求平面為：（6）、求過點(3,1,-2)且通過直線的平面方程.解：因為平面過直線，所以過直線上的點A（4，-3,0），已知過點B(3,1,-2),從而過向量及直線的方向向量因此平面的法向量可求出，再由平面的點法式方程知所求平面為：。（7）、求過點且與直線垂直的平面方程。解：所求平面方程為 即（8）、求過點，且垂直于的平面.解：法一：，所求平面法向量，且取又平面過點，則平面方程為解法2. 在平面上任取一點，則和共面，由三向量共面的充要條件得，整理得所求平面方程（9）、求過直線，且與直線：平行的平面.解：用平面束。設過直線的平面束方程為 因為所求平面與直線：平行，則所求平面的法向量()與直線的方向向量(1,-1,2),從而，因此所求平面方程為。（10）、求通過軸其與點相距8個單位的平面方程。解：設通過軸的平面為它與點相距8個單位，從而因此從而得或于是有或所求平面為或(11)求過A(1,1,-2)，B（-2，-2,2），C（1，-1,2）三點的平面方程（12）、已知直線，直線，求過且平行的平面方程。解： 在上任取一點，故所求平面方程為 即（13）、求過軸，且與平面的夾角為的平面方程.解：平面過軸，不妨設平面方程為，則，且（不全為），已知平面的法向量為，兩平面的夾角為，根據兩法向量與兩平面的關系有,所以所求的平面方程為：或（六）求直線方程等相關知識點的各類常見的重要題型（找出直線所過的點與直線方向向量）例22（1）、求過點(1,2,3)且平行于直線的直線方程.解：因為所求直線平行于直線，所以可取所求直線的方向向量為（2,1,5），又因為過點（1,2,3），由直線的對稱式方程知所求直線方程為：（2）、求過點(0,2,4)且與兩平面,平行的直線方程.解：所求直線與兩平面,平行，所以該直線垂直于這兩平面的法向量，所以也垂直于這兩法向量構成的平面，有兩向量的叉乘知可去所求直線的方向向量為，再由直線的對稱式方程知所求直線方程為： （3）求過且平行于平面又與直線相交的直線方程。解：設所求直線方程為所求直線與已知平面平行，則所求直線的方向向量與已知平面的法向量垂直即有 （1）又所求直線與已知直線（相交）共面，在已知直線上任取一點，則在平面上。三向量(所求直線，已知直線，)共面，得，即 （2）由（1）（2），得 所求直線方程：程.（4）、求在平面:上，且與直線垂直相交的直線方程.解：所求直線與已知直線L的交點，過交點且垂直于已知直線的平面為。答案：（5）通過點和點的直線；解：所求直線的方向向量為（5，-5,0）由直線的對稱式方程知所求直線方程為：，亦即。（6）通過點且與三軸分別成的直線；解：欲求的直線的方向矢量為：，故由直線的對稱式方程知所求直線方程為：。（7）通過點且與兩直線和垂直的直線；。解：欲求直線的方向矢量為：，所以，直線方程為：。（8）用對稱式方程及參數式方程表示直線解：，取 得 故直線的對稱式方程為 直線參數式方程為 （七）利用平面與直線的位置關系找出法向量與方向向量，求平面與直線的夾角、距離、位置關系、直線與平面的交點計算等相關知識點的各類題型例23、 判別下列各直線之間的位置關系：（1）與解：， 所以 （2）與解：，所以 （）求點到直線的距離例24、求原點到的距離。解：方法（1）化為參數方程 點（0，0，0）到直線上任意點的距離為（參數為的點） 方法（2）過點（0，0，0）與且直線垂直的平面方程為 將直線化為參數式方程為代入直線的垂面方程，得 所以（0，0，0）在直線上的垂足為 所求距離為（）求直線與平面的交點例25、求直線與平面的交點。解：（1）令 代入平面得 ， 所求交點為 （）已知點在已知平面的投影計算。例26 求點在平面上的投影。解：過且與垂直的直線方程為代入得，故在平面上的投影為（）涉及線面關系的綜合計算。例23 (1)、求直線與平面的夾角.解：設平面與直線的夾角為，直線的方向向量為，平面的法向量，=0，所以夾角為0。（2)直線與直線的位置關系;解: 直線的方向向量為直線的方向向量為，所以兩直線垂直。（3)直線和平面x+y+z=3的位置關系解：直線的方向向量（3,1，-4）與平面的法向量（1,1,1）垂直，從而知該直線平行于平面或在平面內，有因為直線上一點（2，-2,3）在平面內，所以知直線在平面x+y+z=3內。（4）、求點A(3,-1,2)到直線的距離.解：直線的方向向量為，求直線上的一點（可令y=0）,所以直線過點B（1，0，2）,點AB之間的距離為,向量的夾角的余弦為，所以A點到直線的距離為 (6)、求兩直線：與直線：的最短距離.解：已知兩直線的方向向量為，故垂直于兩方向向量的向量可取為，又點在直線上過直線且平行于的平面為，即，又點在直線上，該點到平面的距離為所求兩直線間的最短距離。（7）求兩平行平面，間的距離：；解：（1）將所給的方程化為：所以兩平面間的距離為：2-1=1。（8）求兩平面，所成的角；解：（1）設：，： （9）.求下列各對直線間的角解 直線 例24、.分別在下列條件下確定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使與表示兩平行平面；（3）使與表示兩互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的兩方程表示同一平面，則：即：從而：，。（2）欲使所給的兩方程表示兩平行平面，則：所以：，。（3）欲使所給的兩方程表示兩垂直平面，則：所以： 。例25、求關于直線與點對稱的點。解：已知直線的方向矢量為：，或為，求直線上的一點（令z=0, ）,從而直線方程為過垂直于已知直線的平面為：，即代入平面方程解出t=該平面與已知直線的交點為，所以若令為P的對稱點，則：， 即。（八）用平面束求解題；求過直線的平面可設為例26、.求通過平面和的交線且滿足下列條件之一的平面：（1）通過原點； （2）與軸平行；（3）與平面垂直。解：（1）設所求的平面為：欲使平面通過原點，則須：，即，故所求的平面方程為：即：。（2）同（1）中所設，可求出。故所求的平面方程為：即：。（3）如（1）所設，欲使所求平面與平面垂直，則須：從而：，所以所求平面方程為：。五、章節(jié)基礎訓練向量及其線性運算一、選擇題1. 點關于軸的對稱點坐標為-（ ）（A） （B） （C） （D）2. 下列哪組角可以作為某個空間向量的方向角-（ ）（A） （B） （C） （D）3. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空間兩點，向量的模是：（ ）A ） B） C） 6 D）94. 設a=1,-1,3, b=2,-1,2，求c=3a-2b是：（ ）A ）-1,1,5. B） -1,-1,5. C） 1,-1,5. D）-1,-1,6. 5、 已知向量的終點為則起點的坐標為 （ ）；、 、 、 、6、已知向量則垂直與及軸的單位向量 （ ）；、 、 、 、7、零向量的方向（ ）；、是一定的； 、是任意的； 、與坐標軸間的夾角相等； 、以上結論都不對。8、單位向量的方向 （ ）；、必相等； 、不相等； 、不一定相等； 、向量的方向必相同。9、兩個單位向量（ ）；、是一定的； 、是任意的； 、與坐標軸間的夾角相等； 、以上結論都不對。二、填空題1（4）在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？(1) 第_卦限 (2) 第_卦限 (3) 第_卦限 (4) 第_卦限2、 已知兩點與，與向量方向一致的單位向量= 。3、若，則中點坐標為， 4、若為向量的方向角，則 _ _ .5、與的位置關系_ .6、已知，且，則（1）=_；（2）線段的中點坐標為_。7、已知點的向徑為單位向量，且與軸的夾角為，另外兩個方向角相等，則點的坐標為_。三、計算題2、已知，求，和3、 設求5、化簡 6、已知向量與各坐標軸成相等的銳角，若，求的坐標。7、試證明以三點A（4,1,9）、B（10，-1,6）、C(2,4,3)為頂點的三角形是等腰直角三角形。數量積、向量積、混合積一、選擇題1、 設求是：（ ） A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k2、設的頂點為，求三角形的面積是：A ） B） C） D）33、下列關系式錯誤的是-（ ）(A) (B) (C) (D) 二、填空題1、已知，且，則 2、與的位置關系為_3、設，則 =_=_三、計算題1、設，求 2、試找出一個與同時垂直的向量。3、已知，試在軸上求一點，使的面積最小。4、設。5、設已知向量，計算曲面及其方程一、選擇題1、設球面方程為則下列點在球面內部的是（ ）；、 、 、 、2、列曲面中經過原點的曲面是（ ）；、 、 、3、 曲面的圖形關于（ ）；、平面對稱； 、平面對稱；、平面對稱； 、原點對稱。4、在空間直角坐標系里表示（ ）；、一個點； 、平面； 、橢圓 、橢圓面。5母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是( )(A) (B) (C) (D) 6、將曲線繞軸旋轉一周，所得的曲面為（ ）（A）圓錐面 （B）旋轉拋物面 （C）橢球面 （D）拋物柱面7、在空間直角坐標系中，是（ ）（A）圓 （B）球 （C）一點 （D）圓柱面二、計算題3、設動點與點的距離等于從這點到平面的距離的一半，試求此動點的軌跡。4、坐標面的曲線繞軸旋轉生成的旋轉曲面的方程是： 空間曲線及其方程1、求出平面與橢球面的交線方程。2、指出下列曲面與三個坐標面的交線分別是什么曲線？（1）； （2）；（3）； （4）平面及其方程1、在空間直角坐標系下，方程的圖形表示為（ ）；、通過原點的直線； 、垂直于軸的直線；、垂直于軸的平面； 、通過軸的平面。2、直線與平面的位置關系為-（ ）（A）平行 （B）垂直 （C）斜交 （D）在平面上3. 平面與面夾角為-（ ） （A） （B） （C） （D）4、 通過點且平行與平面的平面方程為（ ）；、 、 、 、5、在軸上的截距分別為（ ）；、 、 、 、6、平面（ ）；、平行于軸； 、平行于軸； 、平行于軸； 、過原點。7. 求兩平面和的夾角是：（ ）A ） B） C） D）8、已知空間三點M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求AMB是（ ）A ） B） C） D）9、平面與平面的位置關系是( )(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合10. 求平行于軸，且過點和的平面方程是（ ）A）2x+3y-5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D）11、設平面方程為，且，則平面( )（A）平行于軸 （B）平行于軸 （C）經過軸 （D）垂直二、填空題1、通過原點且垂直于直線的平面方程為 2、 過點且與坐標面平行的平面方程為_ 3、 點到平面的距離為 _4、判定下列兩平面之間的位置關系：（1）平面與平面 _ （2）平面與平面_5、點到平面的距離d=_6、過點且平行于平面的平面方程為_-7、指出下面各平面的特殊位置：（1）x=0;(2)3y-1=0;(3)2x-3y-6=0;(4)x-3y=0;(5)y+z=1;(6)x-2z=0(7)6x-z+5=0三、計算題1.求下列各平面的坐標式參數方程和一般方程：（1）通過點和點且平行于矢量的平面（2）通過點和且垂直于坐標面的平面；（3）已知四點，。求通過直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過直線AB且與平面垂直的平面。2、求下列各平面的方程：（）通過點，且又通過直線的平面；（）通過直線且與直線平行的平面；（）通過直線且與平面垂直的平面；（4）平行軸，且過點和的平面（5）過點和且垂直于平面3、 求下列平面的一般方程.通過點和且分別平行于三坐標軸的三個平面;過點且在軸和軸上截距分別為和的平面;與平面垂直且分別通過三個坐標軸的三個平面;已知兩點,求通過且垂直于的平面;4、求兩平行平面，間的距離：5、求過三點的平面方程。（）二平面夾角的計算（夾角規(guī)定為0,）。6、求兩平面和的夾角。7、求與之間的距離。9、求過點（1,2,1）而與兩直線和平行的平面的方程。10、求證：直線包含在平面之內。空間直線及其方程一、選擇題1、 設空間直線方程則此直線經過的點是（ ）；、 、 、 、2、在空間直角坐標系里表示（ ）；、一個點； 、兩條直線； 、兩個平面的交線，即直線 、兩個點。3、空間直線 與平面的相互位置關系是（ ）（A）互相平行但不相交 （B）互相垂直（C）不平行也不垂直 （D）直線在平面內4、設直線方程為，且，則直線( )（A）過原點 （B）平行于軸 （C）垂直于軸 （D）平行于軸5、 求點到直線L：的距離是：（ ）A ） B C） D）二、填空題1、過點且垂直于平面的直線方程_；2、過點且平行于直線的直線方程_；3、過點和點的直線方程_;4、直線通過原點的條件是什么？5、.確定的值，使：（1）直線與平面平行則=_；