電磁場與電磁波 習題答案.doc

第九章 導行電磁波重點和難點本章應以矩形波導為重點，介紹導波系統(tǒng)的傳輸特性。介紹幾種常用導波系統(tǒng)時，應著重介紹傳輸?shù)牟ㄐ徒Y構和使用的頻率范圍。若有實物，可帶入教室向?qū)W生展示。介紹矩形波導中的電磁波時，應著重講解求解方法、傳播特性以及波導中的電磁場分布。傳播特性中的多模特性、截止波長及波導波長等概念應為重點。通過矩形波導中的TE10波的分析進一步說明波導中的場分布，波導壁上的電流分布，波導波長和工作波長之間的關系，以及波導中的相速和能速之間的關系。關于同軸線，著重介紹如何設計尺寸，抑制高次模。對于諧振腔，著重介紹多諧性及其應用。群速及圓波導內(nèi)容可以根據(jù)學時適當從簡。重要公式直角坐標系中橫向場的縱向場表示：式中，。矩形波導中的TM波矩形波導中的TE波矩形波導中電磁波的傳播特性：截止傳播常數(shù)：截止頻率：截止波長：矩形波導的尺寸：；相速：波導波長：TM波的波阻抗：TE波的波阻抗：矩形波導中的TE10波：場方程：截止波長：相速：波導波長：能速：群速：色散媒質(zhì)中窄帶信號的群速：矩形波導中的群速：圓柱坐標系中橫向場的縱向場表示：圓波導中的TM波：圓波導中的TM波：圓波導中電磁波的傳播特性：TM波的截止傳播常數(shù)：TE波的截止傳播常數(shù)：圓波導的尺寸：矩形波導的最大傳輸功率：諧振腔：矩形諧振腔的諧振波長：矩形諧振腔的諧振頻率：同軸線的尺寸：題 解9-1 推導式（9-1-4）。解 已知在理想介質(zhì)中，無源區(qū)內(nèi)的麥克斯韋旋度方程為， 令 ， 則將上式代入旋度方程并考慮到，可得 整理上述方程，即可獲得式（9-1-4）。9-2 推導式（9-2-17）。解 對于波，。應用分離變量法，令由于滿足標量亥姆霍茲方程，得此式要成立，左端每項必須等于常數(shù)，令；顯然，。由上兩式可得原式通解為根據(jù)橫向場與縱向場的關系式可得因為管壁處電場的切向分量應為零，那么，TE波應該滿足下述邊界條件：；將邊界條件代入上兩式，得 故的通解為其余各分量分別為9-3 試證波導中的工作波長、波導波長與截止波長之間滿足下列關系解 已知波導中電磁波的波長為則 即9-4 已知空氣填充的矩形波導尺寸為，若工作頻率，給出可能傳輸?shù)哪Ｊ?。若填充介質(zhì)以后，傳輸模式有無變化？為什么？解 當內(nèi)部為空氣時，工作波長為，則截止波長為那么，能夠傳輸?shù)碾姶挪úㄩL應滿足，若令，則k應滿足。滿足此不等式的m，n數(shù)值列表如下：0.2512.25411.2523.2544.25由此可見，能夠傳輸?shù)哪Ｊ綖樘畛浣橘|(zhì)以后，已知介質(zhì)中的波長為，可見工作波長縮短，傳輸模式增多，因此除了上述傳輸模式外，還可能傳輸其它高次模式。9-5 已知矩形波導的尺寸為，若在區(qū)域中填充相對介電常數(shù)為的理想介質(zhì)，在區(qū)域中為真空。當TE10波自真空向介質(zhì)表面投射時，試求邊界上的反射波與透射波。解 已知波導中沿軸傳輸?shù)牟ǖ碾妶鰪姸葹槟敲?，反射波和透射波的電場強度可分別表示為；式中；考慮到邊界上電場強度與磁場強度的切向分量必須連續(xù)的邊界條件，因而在處，獲知根據(jù)波阻抗公式，獲知z < 0和z > 0區(qū)域中的波阻抗分別為將場強公式代入，得，；，根據(jù)上述邊界條件，得那么，處的反射系數(shù)及透射系數(shù)分別為;反射波與透射波的電場強度分別為;根據(jù)，可得反射波的磁場強度為根據(jù)，可得透射波的磁場強度9-6 試證波導中時均電能密度等于時均磁能密度，再根據(jù)能速定義，導出式（9-4-9）。解 在波導中任取一段，其內(nèi)復能量定理式（7-11-14）成立。考慮到波導為理想導電體，內(nèi)部為真空，因此內(nèi)部沒有能量損耗。因此式（7-11-14）變?yōu)橐驗榱鬟M左端面的能量應該等于流出右端面的能量，故上式左端面積分為零，因而右端體積分為零。但是右端被積函數(shù)代表能量，只可能大于或等于零，因此獲知已知能速的定義為，對于TE波，波導中平均能量密度為波導中能流密度平均值僅與場強的橫向分量有關。對于TE波，能流密度的平均值為波導中電場和磁場的橫向分量關系為將上述結果代入，求得TE波的能速為同理對于TM波也可或獲得同樣結果。9-7 試證波導中相速與群速的關系為解 根據(jù)群速的定義，對于波導，。又知波導的相位常數(shù)與相速的關系為，則根據(jù)波導波長與相位常數(shù)的關系，得則 9-8 推導式（9-6-3）解 將麥克斯韋旋度方程，在圓柱坐標系中展開，得將代入上式，并考慮到，得；上式整理后，即可求得橫向分量的表示式為其中 9-9 推導式（9-6-18）解 對于TE波，建立圓柱坐標系，滿足的亥姆霍茲方程為令，代入上式，得令方程兩邊等于，獲得下述兩個常微分方程：其中的通解為由于隨角度的變化周期為2p，因此，必須為整數(shù)。即式中m = 1,2,3。考慮到圓波導具有旋轉對稱性，的坐標軸可以任意確定，總可適當選擇的坐標軸，使上式中的第一項或第二項消失，因此，上式可表示為 的通解為考慮到圓波導中心處的場應為有限，但時，故常數(shù)，即。因此的通解為那么，根據(jù)圓波導的橫向分量的縱向場分量表示式，即可求得各個分量的表示式。9-10 已知空氣填充的圓波導直徑，若工作頻率，給出可能傳輸?shù)哪Ｊ?，若填充相對介質(zhì)常數(shù)的介質(zhì)以后，再求可能傳輸?shù)哪Ｊ?。?當圓波導內(nèi)為空氣時，工作波長為已知TM波的截止波長為，因此能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄牡谝活愔惾麪柕母鵓mn必須滿足下列不等式由教材表9-6-1可見，滿足上述條件的只有P01因此只有波存在。TE波的截止波長為，那么能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄牡谝活愔惾麪柕膶?shù)根必須滿足下列不等式由教材表9-6-2可見，滿足上述條件的只有和，因此只有和波可以傳輸。填充介電常數(shù)為理想介質(zhì)后，工作波長為，則能夠傳輸?shù)腡M模式對應的第一類柱貝塞爾的根Pmn必須滿足下列不等式由教材表9-6-1可見，滿足上述條件的模式為。能夠傳輸?shù)腡E模式對應的第一類柱貝塞爾的導數(shù)根必須滿足下列不等式那么，由原書表9-6-2可見，滿足上述條件的模式為。9-11 當比值為何值時，工作于主模的矩形波導中波導壁產(chǎn)生的損耗最小？（指獲得最小衰減常數(shù)）。解 當矩形波導傳播波時，其衰減常數(shù)為式中A僅與波導的參數(shù)有關。令，則求k的最小值問題轉化為求函數(shù)的最小值問題。由，得，解此方程，得若取，則。由于，則。故 不合理。應取即得9-12 已知空氣填充的銅質(zhì)矩形波導尺寸為，工作于主模，工作頻率。試求： 截止頻率、波導波長及衰減常數(shù)； 當場強振幅衰減一半時的距離。解 當工作于主模波時，則截止頻率為波導波長為因矩形波導為空氣填充，故僅需考慮波導壁產(chǎn)生的衰減，則衰減常數(shù)為對于銅制波導，波導壁表面電阻，則設場強衰減一半時的距離為d，由，求得9-13 已知空氣填充的銅質(zhì)圓波導直徑，工作于主模，工作頻率，試求， 截止頻率、波導波長及衰減常數(shù)； 當場強衰減一半的距離。解 當圓波導工作于主模波時，則截止頻率為波導波長為由于波導是空氣填充,因此只需考慮波導壁的損耗。根據(jù)衰減常數(shù)的定義，求得其中波導壁表面電阻波數(shù)傳播常數(shù)截止傳播常數(shù)，那么，求得設場強衰減一半時的距離為，由，求得d = 163（m）9-14 已知空氣填充的矩形波導尺寸為，工作頻率。若空氣的擊穿場強為，試求該波導能夠傳輸?shù)淖畲蠊β?。?由于波導是空氣填充，故工作波長為已知，為了滿足，該波導只能傳播波，其截止波長為此時，矩形波導能夠傳輸?shù)淖畲蠊β蕿?，式中為波導中空氣的擊穿強度，。又知該矩形波導的波阻抗求得該矩形波導能夠傳輸?shù)淖畲蠊β蕿?-15 若波導中填充介質(zhì)的參數(shù)為，試證由于填充介質(zhì)產(chǎn)生的衰減常數(shù)為解 當波導中填充的媒質(zhì)具有一定的電導率時，可以引入等效介電常數(shù)，即令。因此，波導中的波數(shù)。已知，那么考慮到通常s << we，上式可簡化為令傳播常數(shù)，那么，衰減常數(shù)為9-16 已知空氣填充的銅質(zhì)矩形波導尺寸為，工作于主模，工作頻率。若該波導傳輸功率為，試求： 波導壁產(chǎn)生的衰減常數(shù)； 波導中電場及磁場強度的最大值； 波導壁上電流密度的最大值； 每米長度內(nèi)的損耗功率。解 已知工作于主模的空氣填充的矩形波導，波導壁產(chǎn)生的衰減常數(shù)為式中波導壁的表面電阻，工作波長，那么衰減常數(shù)為設波導中的復能流密度為，橫截面為，則波導中的傳輸功率為由于波導中填充理想介質(zhì)，波阻抗為實數(shù)，橫向電場與橫向磁場的相位相同，則 。已知矩形波導中波強度的橫向分量為考慮到，則由上述場強公式求得因則 那么，當傳輸功率P = 1000(W)時，則由此求得波導中電場及磁場強度的最大值分別為根據(jù)波導壁上磁場分量，即可求得波導壁上的表面電流。窄壁上表面電流為其最大值為寬壁上表面電流為因此，寬壁上表面電流的振幅為令，則 由，獲知，為極點。又因計算表明，當，；當，；當，。由此可見，當時，即寬邊中部取得最大值，求得表面電流最大值為因，損耗功率，那么，單位長度內(nèi)的損耗功率為9-17 試證式（9-8-8）。解 已知表面電流，式中為導體表面的外法線方向上的單位矢量。那么，表面電流的大小為，式中表示表面磁場的切向分量。因此，損耗功率為此面積分應沿諧振腔的6個內(nèi)壁求積，即已知式中則 代入后，求得9-18 推導式（9-8-10）及式（9-8-12）。解 當圓波導傳播TM波時，則若諧振腔的長度為l，則。那么，又知，則諧振頻率為同理，對于TE波的圓柱諧振腔，可以證明諧振頻率為9-19 已知矩形波導諧振腔的尺寸為，試求發(fā)生諧振的4個最低模式及其諧振頻率。解 已知矩形波導諧振腔的諧振頻率為當腔內(nèi)為真空時，根據(jù)題中給定的尺寸，則諧振頻率為那么，發(fā)生諧振的4個最低模式為TM110，TE101，TE011，TE111和TM111，對應的諧振頻率分別為；9-20 已知空氣填充的圓波導半徑為10mm，若用該波導形成諧振腔，試求為了使30GHz電磁波諧振于TM021模式所需的波導長度。解 已知圓波導諧振腔工作于TM波時，其諧振頻率為若要求，令腔長為半波導波長，即l = 1，那么，諧振腔的最短長度d由下式求得d = 10.5(mm)9-21 已知空氣填充的矩形波諧振腔尺寸為，諧振模式為TE102，在保證尺寸不變條件下，如何使諧振模式變?yōu)門E103。解 已知矩形諧振腔的諧振頻率為由此可見，改變腔內(nèi)介質(zhì)的介電常數(shù)即可變更諧振腔的諧振頻率。當腔內(nèi)充滿空氣時，諧振于模式的諧振頻率為若腔內(nèi)充滿介質(zhì)，諧振于模式的諧振頻率為由f102 = f103，求得填充介質(zhì)的相對介電常數(shù)。9-22 試證波導諧振腔中電場儲能最大值等于磁場儲能最大值。解 波導諧振腔內(nèi)的電磁場應該滿足無源區(qū)中的麥克斯韋方程，即設諧振腔的體積為V，則電場最大儲能為，磁場最大儲能為，那么因故 利用矢量恒等式，則式中第一項積分的被積函數(shù)可改寫為 由于腔壁上電場強度的切向分量為零，即故面積分，則考慮到則 9-23 已知空氣填充的黃銅矩形諧振腔的尺寸為，諧振模式為TE111，黃銅的電導率，試求該諧振腔的品質(zhì)因素。解 矩形波導中波的電場與磁場的各分量為 則在諧振模式下的場分量為其電場最大值為 ；電場儲能密度的時間最大值為，則整個腔內(nèi)的電場儲能的時間最大值為已知表面電流，式中為導體表面的外法線方向上的單位矢量。那么，表面電流的大小為，式中表示表面磁場的切向分量。因此，損耗功率為此面積分應沿諧振腔的6個內(nèi)壁求積，即其中 則損耗功率為諧振腔的品質(zhì)因數(shù)為 因，(m)，求得品質(zhì)因數(shù)。9-24 試證由理想導電體制成的、介質(zhì)填充的波導諧振腔品質(zhì)因素，式中及分別為填充介質(zhì)的介電常數(shù)及電導率。解 由于諧振腔是理想導體，故腔壁的損耗可以不計，僅需考慮填充介質(zhì)的損耗。已知品質(zhì)因數(shù)為式中 又求得29