高等代數(shù)與解析幾何第七章13習(xí)題線性變換與相似矩陣答案.doc

第七章 線性變換與相似矩陣習(xí)題7.1習(xí)題7.1.1判別下列變換是否線性變換？（1）設(shè)是線性空間中的一個(gè)固定向量，（），解：當(dāng)時(shí)，顯然是的線性變換；當(dāng)時(shí)，有，則，即此時(shí)不是的線性變換。（），；解：當(dāng)時(shí)，顯然是的線性變換；當(dāng)時(shí)，有，則，即此時(shí)不是的線性變換。（2）在中，（）， 解：不是的線性變換。因?qū)τ?，有，所以。（）；解：是的線性變換。設(shè)，其中，則有 ， 。（3）在中，（），解：是的線性變換：設(shè)，則，。（），其中是中的固定數(shù)；解：是的線性變換：設(shè)，則，。（4）把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，其中是的共軛復(fù)數(shù)；解：不是線性變換。因?yàn)槿?，時(shí)，有，即。（5）在中，設(shè)與是其中的兩個(gè)固定的矩陣，。解：是的線性變換。對(duì)，有，。習(xí)題7.1.2在中，取直角坐標(biāo)系，以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900的變換，以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900的變換，以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900的變換。證明 （表示恒等變換），；并說(shuō)明是否成立。證明：在中任取一個(gè)向量，則根據(jù)，及的定義可知：，；， ，；，即，故。因?yàn)椋?。因?yàn)?，所以。因?yàn)?，所以。?xí)題7.1.3在中，證明。證明：在中任取一多項(xiàng)式，有。所以。習(xí)題7.1.4設(shè)，是上的線性變換。若，證明。證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時(shí)，有命題成立。假設(shè)等式對(duì)成立，即。下面證明等式對(duì)也成立。因有，即等式對(duì)也成立，從而對(duì)任意自然數(shù)都成立。習(xí)題7.1.5證明（1）若是上的可逆線性變換，則的逆變換唯一；（2）若，是上的可逆線性變換，則也是可逆線性變換，且 。證明：（1）設(shè)都是的逆變換，則有，。進(jìn)而。即的逆變換唯一。（2）因，都是上的可逆線性變換，則有，同理有由定義知是可逆線性變換，為逆變換，有唯一性得。習(xí)題7.1.6設(shè)是上的線性變換，向量，且，都不是零向量，但 。證明，線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次類(lèi)推可得，即得，進(jìn)而得。有定義知，線性無(wú)關(guān)。習(xí)題7.1.7設(shè)是上的線性變換，證明是可逆線性變換的充要條件為既是單射線性變換又是滿(mǎn)射線性變換，即是一一變換。證明：已知是可逆線性變換，即存在。若，則兩端用作用即得，因此是單射線性變換。若任取，則存在，使得，即是滿(mǎn)射線性變換。 已知既是單射線性變換又是滿(mǎn)射線性變換，即雙射。現(xiàn)定義新的變換：，定有，且有，規(guī)定，有，同時(shí)有，即有。由定義知是可逆線性變換。習(xí)題7.1.8設(shè)是上的線性變換，證明（1）是單射線性變換的充要條件為；（2）是單射線性變換的充要條件為把線性無(wú)關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無(wú)關(guān)的向量組。證明：（1）已知是單射線性變換，對(duì)，則有，由單射得，即。已知，若，則有，得，即得，故是單射。（2）已知是單射線性變換。設(shè)線性無(wú)關(guān)，現(xiàn)證也線性無(wú)關(guān)。令，整理有，而是單射，有，已知線性無(wú)關(guān)，所以，故也線性無(wú)關(guān)。已知把線性無(wú)關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無(wú)關(guān)的向量組。若，則有，并一定有。否則若，則說(shuō)明向量線性無(wú)關(guān)，而表示把線性無(wú)關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組，與條件矛盾。而由可得，即是單射線性變換。習(xí)題7.1.9設(shè)是中全體可逆線性變換所成的子集，證明關(guān)于線性變換的乘法構(gòu)成一個(gè)群。（超范圍略）習(xí)題7.1.10設(shè)，是上的線性變換，且證明（1）若，則；（2）若，則。證明：（1）因?yàn)椋Ｋ?，從而或。又因?yàn)?。故。（2）因?yàn)?，所以。?xí)題7.1.11設(shè)與分別是數(shù)域上的維與維線性空間，是的一個(gè)有序基，對(duì)于中任意個(gè)向量，證明存在唯一的線性映射，使，。證明：先證明存在性。對(duì)任意的，有唯一的線性表達(dá)式我們定義顯然有 ，。現(xiàn)驗(yàn)證為到的一個(gè)線性映射。（1）對(duì)任意的向量，因?yàn)?，由定義得。（2）對(duì)任意的，因?yàn)?，由定義得 。所以為到的一個(gè)線性映射。 再證唯一性：若另有到的一個(gè)線性映射，也使得，。則對(duì)任意向量，一定有。由在中的任意性，可得。習(xí)題7.1.12設(shè)與分別是數(shù)域上的維與維線性空間，是線性映射。證明是的子空間，是的子空間。又若有限，證明。這時(shí)稱(chēng)為的零度，稱(chēng)為的秩。證明：（1）先證與分別為與的子空間，對(duì)，有，所以，故為的子空間；同理，對(duì)，則，使，所以 所以為的子空間. （2）再證 因有限，不妨設(shè)，在中取一個(gè)基，再把它擴(kuò)充為的一個(gè)基，則是像空間的一個(gè)基.事實(shí)上，對(duì)，存在，使得。設(shè)，則有即中的任意向量都可由線性表示?，F(xiàn)證向量組線性無(wú)關(guān)：設(shè) ，有，即，所以向量可由向量組線性表示，進(jìn)而有，整理有，又因線性無(wú)關(guān)，所以必有，因此線性無(wú)關(guān)，即為的一個(gè)基，故。習(xí)題7.1.13證明關(guān)于定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成上的一個(gè)線性空間。證明：現(xiàn)證明定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數(shù)量乘法都是從到的線性映射。事實(shí)上，對(duì)，有故為到的線性映射。同理，對(duì)，有 ，故為到的線性映射。 另外線性映射的加法與數(shù)量乘法顯然滿(mǎn)足： （1） 結(jié)合律：； （2）交換律: ； （3）存在零線性映射，對(duì)，有； （4）對(duì)，有負(fù)線性映射，使得； （5）； （6）； （7）；（8）。其中，所以關(guān)于定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成上的一個(gè)線性空間。習(xí)題7.1.14證明：。證明：設(shè)為維線性空間，為維線性空間，即，。取定的一組基和的一組基。令為到的如下映射：，其中為在基與基下的矩陣。這樣定義的是到的同構(gòu)映射。事實(shí)上，（1）若，且，則有，。由于，對(duì)每一個(gè)都有，故有，即是單射。（2），令。則存在唯一的線性映射使得，并且由此可見(jiàn)，是滿(mǎn)射。（3）對(duì)，有，其中即有，所以，故有，所以是到的同構(gòu)映射。進(jìn)而有。習(xí)題7.2習(xí)題7.2.1求下列線性變換在所指定的一個(gè)基下的矩陣：（1）的線性變換，其中為固定矩陣。求，在這個(gè)基下的矩陣；（2）設(shè)是線性空間的線性變換，求在基下的矩陣；（3）6個(gè)函數(shù)：，的所有實(shí)系數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)6維線性空間。求微分變換在基下的矩陣。解：（1）由，的定義直接可得： ，。所以在這個(gè)基下的矩陣為 。，。所以在這個(gè)基下的矩陣為 。（2）由直接可得： ， ， ， ，。所以在基下的矩陣為：。（3）由微分運(yùn)算性質(zhì)直接可得：，。所以微分變換在基下的矩陣為：。習(xí)題7.2.2設(shè)是的一個(gè)基，。已知線性無(wú)關(guān)。證明：（1） 存在唯一的線性變換，使，；（2）（1）中的在基下的矩陣為；（3）（1）中的在基下的矩陣為。證明：（1）因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以也是的一個(gè)基。故對(duì)的一個(gè)基及個(gè)向量，定存在唯一的線性變換，使，。（2） 由已知條件有，其中與都是的基，所以可逆，且有，進(jìn)而有。再由（1）得，所以在基下的矩陣為。（3） 類(lèi)似有，所以在基下的矩陣為。習(xí)題7.2.3在中，定義線性變換為，其中 ，。（1）求在基下的矩陣；（2）求在基下的矩陣。解：（1）由定義知，所以有。故在基下的矩陣為：。（2）類(lèi)似有。故在基下的矩陣為：。習(xí)題7.2.4在中，線性變換在基，下的矩陣是。求在基下的矩陣。解：已知，則有。即在基下的矩陣為：。習(xí)題7.2.5設(shè)數(shù)域上3維線性空間的線性變換在基下的矩陣為 （1）求在基下的矩陣；（2）求在基下的矩陣；（3）求在基下的矩陣。解：（1）由已知可得，。所以在基下的矩陣為：。（2）由已知可得，。所以在基下的矩陣為：。（3）由已知可得 ，。所以在基下的矩陣為：。習(xí)題7.2.6在維線性空間中，設(shè)有線性變換與向量使，但。證明：在中存在一個(gè)基，使在該基下的矩陣為 。證明：由習(xí)題7.1.6知：維線性空間的向量組，線性無(wú)關(guān)，且有個(gè)向量，即構(gòu)成的一組基，而線性變換作用此基有：，。故在基，下的矩陣為： 。習(xí)題7.2.7設(shè)是數(shù)域上維線性空間的全體線性變換組成的數(shù)域上的線性空間，試求，并找出中的一個(gè)基。求證：任取的一組基，令為到的映射：，其中。由引理7.2.6及定理7.2.7知為同構(gòu)映射，即。所以它們的維數(shù)相同，而，故?，F(xiàn)取，使得，即，。已知，是的一組基，故，為的一組基。習(xí)題7.2.8證明：與維線性空間的全體線性變換都可交換的線性變換是數(shù)乘變換。證明：在某組確定的基下，數(shù)域上的維線性空間的線性變換與數(shù)域上的階方陣間建立了一個(gè)雙射，因?yàn)榕c一切階方陣可交換的方陣為數(shù)量矩陣，所以與一切線性變換可交換的線性變換必是數(shù)乘變換。習(xí)題7.2.9設(shè)是維線性空間的一個(gè)線性變換，如果在的任意一個(gè)基下的矩陣都相同，則是數(shù)乘變換。證明：設(shè)在基下的矩陣為，只要證明為數(shù)量矩陣即可。設(shè)為任意可逆矩陣，令，則也是的一組基，且在這組基下的矩陣為，依題意有。特別地，當(dāng)取時(shí)，計(jì)算可得。再取，由可得，即為數(shù)量矩陣，所以是數(shù)乘變換。習(xí)題7.2.10證明：與相似，其中是的一個(gè)排列。證明：用依次表示這兩個(gè)矩陣，取一個(gè)維線性空間及其一組基，對(duì)于矩陣，存在的線性變換，使得，由此可得。因?yàn)榕c是在不同基下的矩陣，所以與相似。習(xí)題7.2.11如果可逆，證明與相似。證明：因?yàn)?，所以與相似。習(xí)題7.2.12如果與相似，與相似，試判斷下列敘述是否正確？如果不正確，請(qǐng)舉反例，否則給出證明。（1）與相似；（2）與相似；（3）與相似。答：（1）正確。證明：由于與相似，與相似，因此存在可逆陣，使得，從而有，其中，所以與相似。（2）不正確。反例：設(shè)，則有，使，即，故與相似；再取，則與顯然相似。但，。設(shè)，且滿(mǎn)足，即，計(jì)算得，即得，故不可逆。所以與不相似。（3）不正確。反例：取同（2），有，兩矩陣秩不同。顯然，與不相似。習(xí)題7.3習(xí)題7.3.1設(shè)是數(shù)域上線性空間，是的線性變換。如果是的特征值，則對(duì)任意多項(xiàng)式，是的特征值，且的屬于的特征向量也是的屬于的特征向量。證明：設(shè)為的屬于的特征向量，即，則對(duì)任意自然數(shù)，有 。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，顯然成立。假設(shè)時(shí)，有成立?，F(xiàn)證時(shí)也成立，即。故由數(shù)學(xué)歸納法得式對(duì)任意自然數(shù)均成立。設(shè)，則有 ，即。習(xí)題7.3.2對(duì)復(fù)數(shù)域上線性空間上的下述線性變換，求出它的特征值與特征向量，判斷是否可以對(duì)角化，在可對(duì)角化時(shí)，求出過(guò)度矩陣，并計(jì)算。已知在的一個(gè)基下的矩陣為（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）設(shè)在基下的矩陣為，矩陣的特征多項(xiàng)式為。所以的特征值為，。先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為；再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為。可以對(duì)角化。取的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即，其中為由基到基的過(guò)渡矩陣。且有。（2）設(shè)在基下的矩陣為，且當(dāng)時(shí)，有，于是矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為。求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，因?yàn)榈膶儆谔卣髦档膬蓚€(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為，所以以中任意非零向量為其特征向量。當(dāng)時(shí)，矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為。先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為；再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為?？梢詫?duì)角化。取的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即，其中為由基到基的過(guò)渡矩陣。且有。（3）設(shè)在基下的矩陣為，矩陣的特征多項(xiàng)式為。所以的特征值為。先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為；再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為。由于找不到的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故不可對(duì)角化。（4）設(shè)在基下的矩陣為，矩陣的特征多項(xiàng)式為。所以的特征值為。先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為；再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為?？梢詫?duì)角化。取的四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即，其中為由基到基的過(guò)渡矩陣。且有。習(xí)題7.3.3證明：是矩陣的特征值的充要條件是矩陣為奇異陣。證明：設(shè)非零向量為矩陣的屬于特征值的特征向量，則有，整理得，因，所以齊次線性方程組有非零解，故系數(shù)行列式。反之亦然。習(xí)題7.3.4設(shè)，求。解：矩陣的特征多項(xiàng)式為。所以的特征值為。對(duì)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系；對(duì)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系；對(duì)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系。令，有，進(jìn)而有，故 。習(xí)題7.3.5設(shè)是4維線性空間的一個(gè)基，線性變換在這個(gè)基下的矩陣為。（1） 求在一個(gè)基下的矩陣，其中（2）求的特征值與特征向量；（3）求一可逆陣，使為對(duì)角陣。解：（1）由條件有，令，則線性變換在基下的矩陣為 。（2）因?yàn)榫€性變換的特征多項(xiàng)式為。所以線性變換的特征值為。先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，。全部特征向量為；再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為。全部特征向量為 。最后求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為。全部特征向量為 。（3）因?yàn)?，所以所求的可逆矩陣為，于是有。?xí)題7.3.6（1）設(shè)是線性變換的兩個(gè)不同特征值，是分別屬于的特征向量。證明：不是的特征向量；（2）證明：如果線性變換以中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，則是數(shù)乘變換。證明：（1）因?yàn)?，所以。假設(shè)是線性變換的屬于特征值的特征向量，即，且有，整理可得。由于線性變換的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)，因此，于是得，這與題設(shè)矛盾，因而不是的特征向量。（2）任取的一個(gè)非零向量，設(shè)。再任取的一個(gè)向量，若或，則顯然有；若，則由假設(shè)也是特征向量，設(shè)。如果，則由（1）知，不是的特征向量，這與題意矛盾。故，即仍有。這就說(shuō)明的任意兩個(gè)特征值都相等，故為數(shù)乘變換。習(xí)題7.3.7設(shè)是的線性變換。證明：（1）的行列式為零的充要條件是至少有一個(gè)特征值為零；（2）如果是可逆線性變換，則其特征值一定不為零；又如果是的特征值，則必是的特征值。證明：（1）設(shè)線性變換在一組基下的矩陣為，是的所有特征值，則有，所以的行列式為零至少有一個(gè)。（2）（反證法）設(shè)可逆線性變換有一個(gè)特征值為，而是它的一個(gè)特征向量，即有。用作用的兩邊得，。這與矛盾，故可逆線性變換的特征值一定不為零。設(shè)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量，即。由于可逆，得，進(jìn)而有，即，也可寫(xiě)成，故必是的一個(gè)特征值。習(xí)題7.3.8設(shè)，是階方陣。證明：（1）；（2）如果，則，即相似的矩陣必有相同的跡；（3）設(shè)，。驗(yàn)證：與有相同的特征多項(xiàng)式，但與不相似。證明：（1）設(shè)，為任意兩個(gè)階方陣，則主對(duì)角線上的元素為 ，。它們的和為。同樣，的主對(duì)角線上的元素的和為。故。（2）根據(jù)（1）可得。即相似的矩陣必有相同的跡。（3）因?yàn)?，所以其特征多?xiàng)式為；又因?yàn)?，所以其特征多?xiàng)式為，故與有相同的特征多項(xiàng)式?，F(xiàn)設(shè)矩陣，使得成立，展開(kāi)有，即得。解得。所以是不可逆的，故與不相似。習(xí)題7.3.9設(shè)的線性變換的互不相同的特征值為。如果在每一個(gè)特征值的特征子空間中取基，恰構(gòu)成全空間的一個(gè)基。證明：必可對(duì)角化。證明：設(shè)特征值的特征子空間的基為，則有，即每一個(gè)，都是的特征向量。又知,恰構(gòu)成空間的一個(gè)基，即得有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以必可對(duì)角化。