高一數(shù)學(xué)(人教A版)必修2能力強(qiáng)化提升:3-3-2 兩點(diǎn)間的距離公式
一、選擇題1已知點(diǎn)A(a,0),B(b,0),則A,B兩點(diǎn)間的距離為()Aab BbaC. D|ab|答案D解析代入兩點(diǎn)間距離公式2一條平行于x軸的線段長(zhǎng)是5個(gè)單位,它的一個(gè)端點(diǎn)是A(2,1),則它的另一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A(3,1)或(7,1) B(2,3)或(2,7)C(3,1)或(5,1) D(2,3)或(2,5)答案A解析ABx軸,設(shè)B(a,1),又|AB|5,a3或7.3已知A(5,2a1),B(a1,a4),當(dāng)|AB|取最小值時(shí),實(shí)數(shù)a的值是()A BC. D.答案C解析|AB|,當(dāng)a時(shí),|AB|取最小值4設(shè)點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸上,AB的中點(diǎn)是P(2,1),則|AB|等于()A5 B4C2 D2答案C解析設(shè)A(x,0)、B(0,y),由中點(diǎn)公式得x4,y2,則由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|2.5ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,4)、B(2,2)、C(4,2),則三角形AB邊上的中線長(zhǎng)為()A. B.C. D.答案A解析AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(1,1)|CD|;故選A.6已知三點(diǎn)A(3,2),B(0,5),C(4,6),則ABC的形狀是()A直角三角形 B等邊三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析|AB|3,|BC|,|AC|,|AC|BC|AB|,且|AB|2|AC|2|BC|2.ABC是等腰三角形,不是直角三角形,也不是等邊三角形7兩直線3axy20和(2a1)x5ay10分別過定點(diǎn)A、B,則|AB|等于()A. B.C. D.答案C解析易得A(0,2),B(1,)8在直線2x3y50上求點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A(2,3)距離為,則P點(diǎn)坐標(biāo)是()A(5,5) B(1,1)C(5,5)或(1,1) D(5,5)或(1,1)答案C解析設(shè)點(diǎn)P(x,y),則y,由|PA|得(x2)2(3)213,即(x2)29,解得x1或x5,當(dāng)x1時(shí),y1,當(dāng)x5時(shí),y5,P(1,1)或(5,5)二、填空題9已知點(diǎn)M(m,1),N(5,m),且|MN|2,則實(shí)數(shù)m_.答案1或3解析由題意得2,解得m1或m3.10已知A(1,1),B(a,3),C(4,5),且|AB|BC|,則a_.答案解析,解得a.11已知點(diǎn)A(4,12),在x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于13,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案(9,0)或(1,0)解析設(shè)P(a,0),則13,解得a9或a1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,0)或(1,0)12已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(7,8)、B(10,4)、C(2,4),則BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為_答案三、解答題13已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,1),B(3,3),C(1,7),(1)求BC邊上的中線AM的長(zhǎng);(2)證明ABC為等腰直角三角形解析(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn),即M(2,2),由兩點(diǎn)間的距離公式得:|AM|.BC邊上的中線AM長(zhǎng)為.(2)由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|2,|BC|2,|AC|2,|AB|2|AC|2|BC|2,且|AB|AC|,ABC為等腰直角三角形14求證:等腰梯形的對(duì)角線相等證明已知:等腰梯形ABCD.求證:ACBD.證明:以AB所在直線為x軸,以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系設(shè)A(a,0)、D(b,c),由等腰梯形的性質(zhì)知B(a,0),C(b,c)則|AC|,|BD|,|AC|BD|.即:等腰梯形的對(duì)角線相等15已知直線l1:2xy60和A(1,1),過點(diǎn)A作直線l2與已知直線交于點(diǎn)B且|AB|5,求直線l2的方程解析當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí),設(shè)其為k,則(k2)xk7,而k2,故解得x,所以B(,),又由|AB|5,利用兩點(diǎn)間距離公式得5k,此時(shí)l2的方程為3x4y10.而當(dāng)l2的斜率不存在時(shí),l2的方程為x1.此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,4),則|AB|4(1)|5,也滿足條件綜上,l2的方程為3x4y10或x1.16如下圖所示,一個(gè)矩形花園里需要鋪設(shè)兩條筆直的小路,已知矩形花園的長(zhǎng)AD5 m,寬AB3 m,其中一條小路定為AC,另一條小路過點(diǎn)D,問是否在BC上存在一點(diǎn)M,使得兩條小路AC與DM相互垂直?若存在,則求出小路DM的長(zhǎng)分析建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,轉(zhuǎn)幾何問題為代數(shù)運(yùn)算解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC、BA所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系因?yàn)锳D5 m,AB3 m,所以C(5,0),D(5,3),A(0,3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,0),因?yàn)锳CDM,所以kAC·kDM1,即·1.所以x3.2,即BM3.2,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3.2,0)時(shí),兩條小路AC與DM相互垂直故在BC上存在一點(diǎn)M(3.2,0)滿足題意由兩點(diǎn)間距離公式得DM.