高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第七篇 第3講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

第3講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題A級基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2012·山東)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的取值范圍是()A. B.C. D.解析作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，作直線3xy0，并向上、下平移，由圖可得，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z3xy取最大值；當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，z3xy取最小值由解得A(2,0)；由解得B.zmax3×206，zmin3×3.z3xy的取值范圍是.答案A2(2011·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)則z·的最大值為()A4 B3 C4 D3解析如圖作出區(qū)域D，目標(biāo)函數(shù)zxy過點(diǎn)B(，2)時(shí)取最大值，故z的最大值為×24，故選C.答案C3(2013·淮安質(zhì)檢)若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是()A(，5) B7，)C5,7) D(，5)7，)解析畫出可行域，知當(dāng)直線ya在xy50與y軸的交點(diǎn)(0,5)和xy50與x2的交點(diǎn)(2,7)之間移動(dòng)時(shí)平面區(qū)域是三角形故5a<7.答案C4(2013·洛陽一模)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤1萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在某個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)甲產(chǎn)品至少要生產(chǎn)1噸，乙產(chǎn)品至少要生產(chǎn)2噸，消耗A原料不超過13噸，消耗B原料不超過18噸，那么該企業(yè)在這個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)獲得最大利潤時(shí)甲產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)是()A1噸 B2噸 C3噸 D.噸解析設(shè)該企業(yè)在這個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)x噸甲產(chǎn)品，生產(chǎn)y噸乙產(chǎn)品，x、y滿足的條件為所獲得的利潤zx3y，作出如圖所示的可行域作直線l0：x3y0，平移直線l0，顯然，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)所獲利潤最大，此時(shí)甲產(chǎn)品的產(chǎn)量為1噸答案A二、填空題(每小題5分，共10分)5(2012·大綱全國)若x，y滿足約束條件則z3xy的最小值為_解析畫出可行域，如圖所示，將直線y3xz移至點(diǎn)A(0,1)處直線在y軸上截距最大，zmin3×011.答案16(2012·安徽)若x，y滿足約束條件則xy的取值范圍是_解析記zxy，則yxz，所以z為直線yxz在y軸上的截距的相反數(shù)，畫出不等式組表示的可行域如圖中ABC區(qū)域所示結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)時(shí)，xy取得最大值0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C(0,3)時(shí)，xy取得最小值3.答案3,0三、解答題(共25分)7(12分)(2013·合肥模擬)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問題：(1)指出x、y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)？解(1)不等式xy50表示直線xy50上及其右下方的點(diǎn)的集合，xy0表示直線xy0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x3表示直線x3上及其左方的點(diǎn)的集合所以，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示結(jié)合圖中可行域得x，y3,8(2)由圖形及不等式組知當(dāng)x3時(shí)，3y8，有12個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x2時(shí)，2y7，有10個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)，1y6，有8個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，0y5，有6個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)，1y4，有4個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x2時(shí)，2y3，有2個(gè)整點(diǎn)；平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2468101242(個(gè))8(13分)制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？解設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知目標(biāo)函數(shù)zx0.5y.上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域?qū)x0.5y變形為y2x2z，這是斜率為2、隨z變化的一組平行線，當(dāng)直線y2x2z經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)M時(shí)，直線y2x2z在y軸上的截距2z最大，z也最大這里M點(diǎn)是直線xy10和0.3x0.1y1.8的交點(diǎn)解方程組得x4，y6，此時(shí)z40.5×67(萬元)當(dāng)x4，y6時(shí)，z取得最大值，所以投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目、6萬元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大B級能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1(2013·臨沂一模)實(shí)數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)zxy取得最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為 ()A4 B3 C2 D.解析作出可行域，由題意可知可行域?yàn)锳BC內(nèi)部及邊界，yxz，則z的幾何意義為直線在y軸上的截距，將目標(biāo)函數(shù)平移可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值4，此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，a)，代入得4aa2a，所以a2.答案C2(2012·四川)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是 ()A1 800元 B2 400元 C2 800元 D3 100元解析設(shè)某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶，獲利為z元，則x，y滿足的線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)z300x400y.作出可行域，如圖中四邊形OABC的邊界及其內(nèi)部整點(diǎn)作直線l0：3x4y0，平移直線l0經(jīng)可行域內(nèi)點(diǎn)B時(shí)，z取最大值，由得B(4,4)，滿足題意，所以zmax4×3004×4002 800.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3(2013·咸陽一模)設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足則的最大值是_解析不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分設(shè)t，則ytx，求的最大值，即求ytx的斜率的最大值顯然ytx過A點(diǎn)時(shí)，t最大由解得A.代入ytx，得t.所以的最大值為.答案4(2011·湖南)設(shè)m>1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)zxmy的最大值小于2，則m的取值范圍為_解析目標(biāo)函數(shù)zxmy可變?yōu)閥x，m>1，1<<0，z與同時(shí)取到相應(yīng)的最大值，如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，取最大值，<2，又m>1，得1<m<1.答案(1,1)三、解答題(共25分)5(12分)(2013·黃山模擬)若x，y滿足約束條件(1)求目標(biāo)函數(shù)zxy的最值(2)若目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍解(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直線xy0，過A(3,4)取最小值2，過C(1,0)取最大值1.z的最大值為1，最小值為2.(2)直線ax2yz僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，由圖象可知1<<2，解得4<a<2.故所求a的取值范圍是(4,2)6(13分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲產(chǎn)品為一等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率多0.25，甲產(chǎn)品為二等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率少0.05.(1)分別求甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要用的工人數(shù)和資金數(shù)如表所示，且該廠有工人32名，可用資金55萬元設(shè)x，y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(1)的條件下，求x，y為何值時(shí)，zxP甲yP乙最大，最大值是多少？ 項(xiàng)目用量產(chǎn)品工人(名)資金(萬元)甲420乙85解(1)依題意得解得故甲產(chǎn)品為一等品的概率P甲0.65，乙產(chǎn)品為一等品的概率P乙0.4.(2)依題意得x、y應(yīng)滿足的約束條件為且z0.65x0.4y.作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，即可行域作直線l0：0.65x0.4y0即13x8y0，把直線l向上方平移到l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)M，此時(shí)z取得最大值解方程組得x2，y3.故M的坐標(biāo)為(2,3)，所以z的最大值為zmax0.65×20.4×32.5.所以，當(dāng)x2，y3時(shí)，z取最大值為2.5.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容.