高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：3-3-1 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一、選擇題1直線xy0與xy0的位置關(guān)系是()A相交 B平行C重合 D垂直答案A解析A1B2A2B1×11×(1)10，又A1A2B1B2×1(1)×110，則這兩條直線相交，但不垂直2直線2x3y80和直線xy10的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A(2，1) B(1，2)C(1,2) D(2,1)答案B解析解方程組得即交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，2)3直線ax3y50經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，則a的值等于()A2 B1C0 D1答案B解析由題意得2a350，解得a1.4若三條直線2x3y80，xy1，和xky0相交于一點(diǎn)，則k的值等于()A2 BC2 D.答案B解析由得交點(diǎn)(1，2)，代入xky0得k，故選B.5直線kxy13k，當(dāng)k變動時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)()A(0,0) B(0,1)C(3,1) D(2,1)答案C解析方程可化為y1k(x3)，即直線都通過定點(diǎn)(3,1)6已知點(diǎn)M(0，1)，點(diǎn)N在直線xy10上，若直線MN垂直于直線x2y30，則N點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(2，3) B(2,1)C(2,3) D(2，1)答案C解析將A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)代入xy10否定A、B，又MN與x2y30垂直，否定D，故選C.7過兩直線3xy10與x2y70的交點(diǎn)，并且與第一條直線垂直的直線方程是()Ax3y70 Bx3y130C2xy70 D3xy50答案B解析由得交點(diǎn)(1,4)所求直線與3xy10垂直，所求直線斜率k，y4(x1)，即x3y130.8已知直線mx4y20與2x5yn0互相垂直，垂足為(1，p)，則mnp為()A24 B20C0 D4答案B解析兩直線互相垂直，k1·k21，·1，m10.又垂足為(1，p)，代入直線10x4y20得p2，將(1，2)代入直線2x5yn0得n12，mnp20.二、填空題9過原點(diǎn)和直線l1：x3y40與l2：2xy50的交點(diǎn)的直線的方程為_答案3x19y0解析由得交點(diǎn)坐標(biāo)(，)，所求方程為yx，即3x19y0.10在ABC中，高線AD與BE的方程分別是x5y30和xy10，AB邊所在直線的方程是x3y10，則ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A_；B_；C_.答案(2,1)(1,0)(2,5)解析高線AD與邊AB的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)A，高線BE與邊AB的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)B，頂點(diǎn)C通過垂直關(guān)系進(jìn)行求解11兩條直線xmy120,2x3ym0的交點(diǎn)在y軸上，則m的值是_答案±6解析設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b)，則有解得m±6.12已知直線l1：a1xb1y1和直線l2：a2xb2y1相交于點(diǎn)P(2,3)，則經(jīng)過點(diǎn)P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直線方程是_答案2x3y1解析由題意得P(2,3)在直線l1和l2上，所以有則點(diǎn)P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐標(biāo)是方程2x3y1的解，所以經(jīng)過點(diǎn)P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直線方程是2x3y1.三、解答題13判斷下列各對直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：3x4y20，l2：6x8y30；(3)l1：xy10，l2：2x2y20.解析(1)解方程組得所以直線l1與l2相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)(2)解方程組×2得10，矛盾，方程組無解所以直線l1與l2無公共點(diǎn)，即l1l2.(3)解方程組×2得2x2y20.因此，和可以化為同一個(gè)方程，即和表示同一條直線，所以直線l1與l2重合14已知直線xy3m0和2xy2m10的交點(diǎn)M在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍分析解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)M在第四象限列出不等式組，解得m的取值范圍解析由得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)交點(diǎn)M在第四象限，解得1<m<.m的取值范圍是(1，)15直線l過定點(diǎn)P(0,1)，且與直線l1：x3y100，l2：2xy80分別交于A、B兩點(diǎn)若線段AB的中點(diǎn)為P，求直線l的方程解析解法1：設(shè)A(x0，y0)，由中點(diǎn)公式，有B(x0，2y0)，A在l1上，B在l2上，kAP，故所求直線l的方程為：yx1，即x4y40.解法2：設(shè)所求直線l方程為：ykx1，l與l1、l2分別交于M、N.解方程組N(，)解方程組M(，)M、N的中點(diǎn)為P(0,1)則有：()0k.故所求直線l的方程為x4y40.解法3：設(shè)所求直線l與l1、l2分別交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)為MN的中點(diǎn)，則有：代入l2的方程，得：2(x1)2y180即2x1y160.解方程組M(4,2)由兩點(diǎn)式：所求直線l的方程為x4y40.解法4：同解法1，設(shè)A(x0，y0)，兩式相減得x04y040，(1)考察直線x4y40，一方面由(1)知A(x0，y0)在該直線上；另一方面，P(0,1)也在該直線上，從而直線x4y40過點(diǎn)P、A.根據(jù)兩點(diǎn)決定一條直線知，所求直線l的方程為：x4y40.16求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m1)x(m3)y(m11)0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)分析題目所給的直線方程的系數(shù)中含有字母m，給定m一個(gè)實(shí)數(shù)值，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程，要證明這個(gè)直線系中的直線都過一定點(diǎn)，就是證明它是一個(gè)共點(diǎn)的直線系，我們可以給出m的兩個(gè)特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點(diǎn)即是直線系中任何直線都過的定點(diǎn)另一思路是：由于方程對任意的m都成立，那么就以m為未知數(shù)，整理為關(guān)于m的一元一次方程，再由一元一次方程有無數(shù)個(gè)解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo)解析證法一：對于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程組得兩直線的交點(diǎn)為(2，3)將點(diǎn)(2，3)代入已知直線方程左邊，得(2m1)×2(m3)×(3)(m11)4m23m9m110.這表明不論m取什么實(shí)數(shù)，所給直線都經(jīng)過定點(diǎn)(2，3)證法二：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為(2xy1)m(x3y11)0.因?yàn)閙可以取任意實(shí)數(shù)，所以有解得所以不論m取什么實(shí)數(shù)所給的直線都經(jīng)過定點(diǎn)(2，3)規(guī)律總結(jié)：(1)分別令參數(shù)取兩個(gè)特殊值得方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入原方程滿足，則此點(diǎn)為定點(diǎn)(2)直線過定點(diǎn)，即與參數(shù)無關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點(diǎn)