高考數(shù)學人教A版（理）一輪復(fù)習：第九篇 第8講 曲線與方程

第8講 曲線與方程A級基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 動點P(x，y)滿足5|3x4y11|，則點P的軌跡是 ()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D直線解析設(shè)定點F(1,2)，定直線l：3x4y110，則|PF|，點P到直線l的距離d.由已知得1，但注意到點F(1,2)恰在直線l上，所以點P的軌跡是直線選D. 答案D2(2013·榆林模擬)若點P到直線x1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析依題意，點P到直線x2的距離等于它到點(2,0)的距離，故點P的軌跡是拋物線答案D3(2013·臨川模擬)設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡為橢圓，a，c1，則b2a2c2，橢圓的標準方程為1.答案D4(2013·煙臺月考)已知點P是直線2xy30上的一個動點，定點M(1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|MQ|，則Q點的軌跡方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解析由題意知，M為PQ中點，設(shè)Q(x，y)，則P為(2x，4y)，代入2xy30，得2xy50.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5(2013·泰州月考)在ABC中，A為動點，B、C為定點，B，C(a>0)，且滿足條件sin Csin Bsin A，則動點A的軌跡方程是_解析由正弦定理，得×，|AB|AC|BC|，且為雙曲線右支答案1(x>0且y0)6. 如圖，點F(a,0)(a>0)，點P在y軸上運動，M在x軸上運動，N為動點，且·0，0，則點N的軌跡方程為_解析由題意，知PMPF且P為線段MN的中點，連接FN，延長FP至點Q使P恰為QF之中點；連接QM，QN，則四邊形FNQM為菱形，且點Q恒在直線l：xa上，故點N的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線，其方程為：y24ax.答案y24ax三、解答題(共25分)7(12分)已知長為1的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且，求點P的軌跡C的方程解設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因為|AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡得y21.點P的軌跡方程為y21.8(13分)設(shè)橢圓方程為x21，過點M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點，O為坐標原點，點P滿足()，點N的坐標為，當直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：(1)動點P的軌跡方程；(2)|的最大值，最小值解(1)直線l過定點M(0,1)，當其斜率存在時設(shè)為k，則l的方程為ykx1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A、B的坐標滿足方程組消去y得(4k2)x22kx30.則4k212(4k2)>0.x1x2，x1x2.P(x，y)是AB的中點，則由消去k得4x2y2y0.當斜率k不存在時，AB的中點是坐標原點，也滿足這個方程，故P點的軌跡方程為4x2y2y0.(2)由(1)知4x22，x而|NP|222232，當x時，|取得最大值，當x時，|取得最小值.B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1(2012·全國)正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AEBF.動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()A16 B14 C12 D10解析當E、F分別為AB、BC中點時，顯然碰撞的結(jié)果為4，當E、F分別為AB的三等分點時，可得結(jié)果為6(如圖1所示)可以猜想本題碰撞的結(jié)果應(yīng)為2×714(如圖2所示)故選B.答案B2(2013·沈陽二模)在平行四邊形ABCD中，BAD60°，AD2AB，若P是平面ABCD內(nèi)一點，且滿足：xy0(x，yR)則當點P在以A為圓心，|為半徑的圓上時，實數(shù)x，y應(yīng)滿足關(guān)系式為()A4x2y22xy1 B4x2y22xy1Cx24y22xy1 Dx24y22xy1解析如圖，以A為原點建立平面直角坐標系，設(shè)AD2.據(jù)題意，得AB1，ABD90°，BD.B、D的坐標分別為(1,0)、(1，)，(1,0)，(1，)設(shè)點P的坐標為(m，n)，即(m，n)，則由xy0，得：xy，據(jù)題意，m2n21，x24y22xy1.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點M在AB上，且AMAB，點P在平面ABCD上，且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1，在平面直角坐標系xAy中，動點P的軌跡方程是_解析過P作PQAD于Q，再過Q作QHA1D1于H，連接PH、PM，可證PHA1D1，設(shè)P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x211，化簡得y2x.答案y2x4(2013·南京模擬)P是橢圓1上的任意一點，F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，則動點Q的軌跡方程是_解析由，又2 2，設(shè)Q(x，y)，則(x，y)，即P點坐標為，.又P在橢圓上，則有1，即1.答案1三、解答題(共25分)5(12分)(2013·鄭州模擬)在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：1(a>0，b>0)經(jīng)過點A，且點F(0，1)為其一個焦點(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)隨圓E與y軸的兩個交點為A1，A2，不在y軸上的動點P在直線yb2上運動，直線PA1，PA2分別與橢圓E交于點M，N，證明：直線MN通過一個定點，且FMN的周長為定值解(1)根據(jù)題意可得可解得橢圓E的方程為1.(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，2)，P(x0，4)為直線y4上一點(x00)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PA1方程為yx2，直線PA2方程為yx2，點M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標滿足方程組可得點N(x2，y2)，A2(0，2)的坐標滿足方程組可得由于橢圓關(guān)于y軸對稱，當動點P在直線y4上運動時，直線MN通過的定點必在y軸上，當x01時，直線MN的方程為y1，令x0，得y1可猜測定點的坐標為(0,1)，并記這個定點為B.則直線BM的斜率kBM，直線BN的斜率kBN，kBMkBN，即M，B，N三點共線，故直線MN通過一個定點B(0，1)，又F(0，1)，B(0,1)是橢圓E的焦點，F(xiàn)MN周長為|FM|MB|BN|NF|4b8，為定值6(13分)(2013·玉林模擬)已知向量a(x，y)，b(1,0)，且(ab)(ab)(1)求點Q(x，y)的軌跡C的方程；(2)設(shè)曲線C與直線ykxm相交于不同的兩點M、N，又點A(0，1)，當|AM|AN|時，求實數(shù)m的取值范圍解(1)由題意得ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)，(ab)·(ab)0，即(x)(x)y·y0.化簡得y21，Q點的軌跡C的方程為y21.(2)由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直線與橢圓有兩個不同的交點，>0，即m2<3k21.(i)當k0時，設(shè)弦MN的中點為P(xP，yP)，xM、xN分別為點M、N的橫坐標，則xP，從而yPkxPm，kAP，又|AM|AN|，APMN.則，即2m3k21，將代入得2m>m2，解得0<m<2，由得k2>0，解得m>，故所求的m的取值范圍是.(ii)當k0時，|AM|AN|，APMN，m2<3k21，解得1<m<1.綜上，當k0時，m的取值范圍是，當k0時，m的取值范圍是(1,1).特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習光盤中內(nèi)容.