人教版八下數(shù)學(xué) 期末復(fù)習(xí)（二）勾股定理

人教版八下數(shù)學(xué) 期末復(fù)習(xí)（二）勾股定理 1. 勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖①或圖②擺放時，都可以用“面積法”來證明，請你利用圖①或圖②證明勾股定理（其中 ∠DAB=90°），求證：a2+b2=c2． 2. 小明將 4 個全等的直角三角形拼成如圖所示的五邊形，添加適當(dāng)?shù)妮o助線后，用等面積法建立等式證明勾股定理．小明在證題中用兩種方法表示五邊形的面積，分別是① S= ，② S= ． 3. 如圖是單位長度為 1 的網(wǎng)格圖，A，B，C，D 是 4 個網(wǎng)格線的交點，以其中兩點為端點的線段中，任意取 3 條，能夠組成 個直角三角形． 4. 如圖，在正方形紙片 ABCD 上有一點 P，PA=1，PD=2，PC=3，現(xiàn)將 △PCD 剪下，并將它拼到如圖所示位置（C 與 A 重合，P 與 G 重合，D 與 D 重合）．求： (1) 線段 PG 的長； (2) ∠APD 的度數(shù)． 5. 勘測隊按實際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了 A，B，C 三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）．筆直鐵路經(jīng)過 A，B 兩地． （1）A，B 間的距離為 km； （2）計劃修一條從 C 到鐵路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一個維修站 D，使 D 到 A，C 的距離相等，則 C，D 間的距離為 km． 6. 為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備舉辦新年晚會，大林搬來一架高為 2.5 米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到 2.4 米的墻上，開始梯腳與墻角的距離為 1.5 米，但高度不夠．要想正好掛好拉花，梯腳應(yīng)向前移動（人的高度忽略不計） 米． 7. 已知三角形的三邊長分別為 a，b，c，如果 a-52+∣b-12∣+13-c2=0，那么 △ABC ?? A．是以 a 為斜邊的直角三角形 B．是以 b 為斜邊的直角三角形 C．是以 c 為斜邊的直角三角形 D．不是直角三角形 8. 如圖，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，點 M 為 BC 邊中點，MN⊥AC 于點 N，那么 MN 等于 ?? A． 65 B． 85 C． 125 D． 245 9. 如圖是用 4 個全等的直角三角形與 1 個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．已知大正方形面積為 49，小正方形面積為 4，若用 x，y 表示直角三角形的兩直角邊（x>y），有下列四個說法：① x2+y2=49；② x-y=2；③ x+y=94；④ 2xy+4=49．其中說法正確的是 ?? A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 10. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，△ABC 的周長為 6+2，其中斜邊的長為 2，則這個三角形的面積為 ． 11. 一輪船從海島A出發(fā)，先向北航行 9?km，又往西航行 9?km，由于遇到冰山，只好又向南航行 4?km，再向西航行 6?km，再折向北航行 2?km，最后又向西航行 9?km，到達目的地B，則A，B兩地的直線距離為 km． 12. 如圖，在 △ABC 中，AB=5，AC=13，BC 邊上的中線 AD=6，則 △ABD 的面積是 ． 13. 已知，如圖，△ACB 和 △ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 為 AB 邊上一點． (1) 求證：△ACE≌△BCD； (2) 求證：2CD2=AD2+DB2． 14. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5?cm，AC=3?cm，動點 P 從點 B 出發(fā)沿射線 BC 以 1?cm/s 的速度運動，設(shè)運動時間為 t（s）． (1) 當(dāng) △ABP 為直角三角形時，求 t 的值； (2) 當(dāng) △ABP 為等腰三角形時，求 t 的值． 答案 1. 【答案】利用題圖①進行證明： ∵△ABC 和 △ADE 是全等的直角三角形， ∴∠C=∠E=90°， ∠DAE+∠BAC=90． ∵∠DAB=90°， ∴∠BAC+∠DAB+∠DAE=180°，即點 C，A，E 在一條直線上，則 CE=a+b． 又 ∵∠C=∠E=90°， ∴ 四邊形 BCED 是梯形， ∵S四邊形BCED=S△ABC+S△ABD+S△AED=12ab+12c2+12ab， 又 S四邊形BCED=12a+b2， ∴12ab+12c2+12ab=12a+b2， ∴a2+b2=c2． 利用題圖②進行證明： 連接 DB，過點 D 作 BC 邊上的高 DF，則 DF=EC=b-a， ∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab， 又 S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12ab-a， ∴12b2+12ab=12c2+12ab-a， ∴a2+b2=c2． 2. 【答案】 c2+ab ； a2+b2+ab 3. 【答案】 3 4. 【答案】 (1) 由題意可知，△ADG≌△CDP， ∴PD=CD，∠ADG=∠CDP， ∴∠PDG=∠CDA=90°， ∴PG=PD2+DG2=22+22=22． (2) ∵PD=GD，∠PDG=90°， ∴∠DPG=45°． ∵AG=PC=3，AP=1，AP2+PG2=12+222=9=AG2， ∴ 三角形 APG 是直角三角形，∠APG=90°， ∴∠APD=∠APG+∠DPG=90°+45°=135°． 5. 【答案】 20 ； 13 6. 【答案】 0.8 7. 【答案】C 8. 【答案】C 9. 【答案】D 10. 【答案】 0.5 11. 【答案】 25 12. 【答案】 15 13. 【答案】 (1) ∵△ABC 和 △ECD 都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE． ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD． 在 △ACE 和 △BCD 中， AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD, ∴△ACE≌△BCDSAS． (2) ∵△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45°． ∵△ACE≌△BCD， ∴∠B=∠CAE=45°， ∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°， ∴AD2+AE2=DE2． 由（1）知 AE=DB， ∴AD2+DB2=DE2，即 2CD2=AD2+DB2． 14. 【答案】 (1) ∵∠C=90°，AB=5?cm，AC=3?cm， ∴BC=4?cm． ①當(dāng) ∠APB 為直角時，點 P 與點 C 重合，BP=BC=4?cm， ∴t=4． ②當(dāng) ∠BAP 為直角時，BP=t?cm，CP=t-4cm，AC=3?cm， 在 Rt△ACP 中，AP2=32+t-42， 在 Rt△BAP 中，AB2+AP2=BP2， ∴52+32+t-42=t2， 解得 t=254． 綜上，當(dāng) △ABP 為直角三角形時，t=4或254． (2) ①當(dāng) BP=BA=5?cm 時，t=5． ②當(dāng) AB=AP 時，BP=2BC=8?cm， ∴t=8． ③當(dāng) PB=PA 時，PB=PA=t?cm，CP=4-tcm， 在 Rt△ACP 中，AP2=AC2+CP2， ∴t2=32+4-t2， 解得 t=258． 綜上，當(dāng) △ABP 為等腰三角形時，t=5或8或258．