高一數(shù)學(xué)(人教A版)必修2能力強(qiáng)化提升:3-1-1 傾斜角與斜率
一、選擇題1如右圖所示,直線l的傾斜角是()A0° B90°CCAB DOAB答案C2斜率不存在的直線一定是()A過原點(diǎn)的直線B垂直于x軸的直線C垂直于y軸的直線D垂直于過原點(diǎn)的直線答案B3直線l的傾斜角135°,則其斜率k等于()A. B.C1 D1答案C解析ktantan135°1.4過兩點(diǎn)A(4,y),B(2,3)的直線的傾斜角是45°,則y等于()A1 B5C1 D5答案A解析直線的傾斜角為45°,則其斜率為ktan45°1.由斜率公式,得1,解得y1.5直線l的傾斜角是,則l的斜率為tan;直線l的斜率為1,則其傾斜角為45°;與坐標(biāo)軸平行的直線沒有傾斜角;任何一條直線都有傾斜角,但不是每一條直線都存在斜率上述命題中,正確的個(gè)數(shù)為()A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)答案B解析由傾斜角和斜率的定義知,當(dāng)傾斜角90°時(shí),則l的斜率不存在,故是錯(cuò)誤的;因?yàn)閠an135°tan(180°45°)tan45°1,所以當(dāng)k1時(shí),135°,故是錯(cuò)誤的;與y軸平行的直線傾斜角為90°,故也是錯(cuò)誤的;因而只有是正確的,即正確的個(gè)數(shù)為1個(gè),故選B.6直線l的傾斜角是斜率為的直線的傾斜角的2倍,則l的斜率為()A1 B.C. D答案B解析tan,0°<180°,30°,260°,ktan2.故選B.7如下圖,已知直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則()Ak1<k2<k3 Bk3<k1<k2Ck3<k2<k1 Dk1<k3<k2答案D解析可由直線的傾斜程度,結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系求解設(shè)直線l1,l2,l3的傾斜角分別是1,2,3,由圖可知1>90°>2>3>0°,所以k1<0<k3<k2.8已知點(diǎn)A(1,3),B(2,1)若過點(diǎn)P(2,1)的直線l與線段AB相交,則直線l的斜率k的取值范圍是()AkBk2Ck或k2D2k答案D解析過點(diǎn)P(2,1)的直線可以看作繞P(2,1)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),通過畫圖可求得k的取值范圍由已知直線l恒過定點(diǎn)P(2,1),如圖若l與線段AB相交,則kPAkkPB,kPA2,kPB,2k.點(diǎn)評確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線位置的幾何要素是:一個(gè)點(diǎn)P和一個(gè)傾斜角,二者缺一不可本題過點(diǎn)P(2,1)的直線的位置是不確定的,用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看問題是數(shù)形結(jié)合的技巧二、填空題9已知兩點(diǎn)P(m,2),Q(1m,2m1)所在直線的傾斜角為45°,則m的值等于_答案2解析由題意知ktan45°1.由斜率公式得1,解得m2.10三點(diǎn)A(0,2),B(2,5),C(3,b)能作為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則實(shí)數(shù)b滿足的條件是_答案b解析由題意得kABkAC,則,整理得b.11設(shè)P為x軸上的一點(diǎn),A(3,8),B(2,14),若PA的斜率是PB的斜率的兩倍,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案(5,0)解析設(shè)P(x,0)為滿足題意的點(diǎn),則kPA,kPB,于是2×,解得x5.12若三點(diǎn)A(3,3),B(a,0),C(0,b)(ab0)共線,則_.答案解析由于點(diǎn)A,B,C共線,則kABkAC,所以.所以ab3a3b.即.三、解答題13已知三點(diǎn)A(1,3),B(5,11),C(3,5),求證:這三點(diǎn)在同一條直線上證明由斜率公式,得kAB2,kAC2,kABkAC,且AB與AC都過點(diǎn)A,直線AB,AC斜率相同,且過同一點(diǎn)A,A,B,C這三點(diǎn)在同一條直線上14求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率,并判斷其傾斜角是銳角、直角還是鈍角(1)A(0,1),B(2,0);(2)P(5,4),Q(2,3);(3)M(3,4),N(3,2)解析(1)kAB,kAB>0,直線AB的傾斜角是銳角(2)kPQ,kPQ<0,直線PQ的傾斜角是鈍角(3)xMxN3,直線MN的斜率不存在,其傾斜角為直角15(1)當(dāng)且僅當(dāng)m為何值時(shí),經(jīng)過兩點(diǎn)A(m,6),B(1,3m)的直線的斜率為12?(2)當(dāng)且僅當(dāng)m為何值時(shí),經(jīng)過兩點(diǎn)A(m,2),B(m,2m1)的直線的傾斜角是60°?分析利用斜率公式列方程求解解析(1)由題意得kAB12,解得m2.故當(dāng)且僅當(dāng)m2時(shí),經(jīng)過兩點(diǎn)A(m,6),B(1,3m)的直線的斜率為12.(2)由題意得kABtan60°,解得m.故當(dāng)且僅當(dāng)m時(shí),經(jīng)過兩點(diǎn)A(m,2),B(m,2m1)的直線的傾斜角是60°.16已知兩點(diǎn)A(3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角的取值范圍分析結(jié)合圖形考慮,l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間,要特別注意,當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí),有kkPB;當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí),則有kkPA.解析如圖,由題意可知,直線PA的斜率kPA1,直線PB的斜率kPB1,(1)要使l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是k1,或k1.(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又直線PB的傾斜角是45°,直線PA的傾斜角是135°,故的取值范圍是45°135°.點(diǎn)評這里要注意斜率k的范圍不是1k1,因?yàn)橹本€l經(jīng)過的區(qū)域包含與x軸垂直的直線本題一般是設(shè)想直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),考查這時(shí)直線l的傾斜角和斜率的變化規(guī)律,通過對l的斜率的變化規(guī)律的分析,不難發(fā)現(xiàn)kPA與kPB是兩個(gè)關(guān)鍵的數(shù)據(jù)