2013屆高三數學二輪復習 必考問題專項突破21 數學思想在解題中的應用(1) 理

問題21數學思想在解題中的應用(一)1(2012·重慶)設平面點集A(x，y)|(yx)0，B(x，y)|(x1)2(y1)21，則AB所表示的平面圖形的面積為()A. B. C. D.答案： D數形結合，畫出圖象，可知集合B表示的是一個圓面，集合A表示的圖形在圓(x1)2(y1)21內的部分正好是圓面積的一半，因此AB所表示的平面圖形的面積是，選D.2(2012·新課標全國)設F1，F2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，P為直線x上一點，F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()A. B. C. D.答案：C由題意可得|PF2|F1F2|，22c，3a4c，e.3(2012·遼寧)設變量x，y滿足則2x3y的最大值為()A20 B35 C45 D55答案：D根據不等式組確定平面區(qū)域，再平移目標函數求最大值作出不等式組對應的平面區(qū)域(如圖所示)，平移直線yx，易知直線經過可行域上的點A(5,15)時，2x3y取得最大值55，故選擇D.4(2012·重慶)過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|，|AF|BF|，則|AF|_.解析設過拋物線焦點的直線為yk，聯立得整理得k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224代入k2x2(k22)xk20得12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|BF|，故|AF|x1.答案1函數的主干知識、函數的綜合應用以及函數與方程思想的考查一直是高考的重點內容之一高考試題中，既有靈活多變的客觀性小題，又有一定能力要求的主觀性大題，難度有易有難，可以說是貫穿了數學高考整份試卷，高考中所占比重比較大2數形結合思想的考查常以數學概念、數學式的幾何意義、函數圖象、解析幾何等為載體，多數以選擇題、填空題出現，難度中等(1)對于函數與方程思想，在解題中要善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數與方程的相互轉化的關系是應用函數與方程思想解題的關鍵(2)在運用數形結合思想分析問題時，要注意三點：理解一些概念與運算法則的幾何意義以及曲線的代數特征，對題目中的條件和結論既分析其幾何意義，又分析其代數意義；恰當設參、合理用參，建立關系，由形思數，以數想形，做好數形轉化；確定參數的取值范圍，參數的范圍決定圖形的范圍.必備知識函數與方程思想(1)函數思想就是用運動和變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，并通過函數形式建立函數關系，然后利用函數有關的知識(定義域、值域、最值、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、圖象、導數)使問題得以解決函數思想貫穿于高中數學教學的始終，不僅在函數各章的學習，而且在研究方程、不等式、數列、解析幾何等其他內容時也起著十分重要的作用(2)方程的思想，是分析數學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決在實際問題的解決過程中，函數、方程、不等式等常?；ハ噢D化因此，函數與方程的思想是高考考查的重點知識數形結合思想(1)數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學規(guī)律性與靈活性的有機結合(2)數形結合的思想方法應用廣泛，如解方程、不等式問題，求函數的值域、最值問題、三角函數問題，運用數形結合思想，不僅直觀易發(fā)現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程必備方法1在高中數學的各個部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是方程，如等差數列的通項公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當試題與這些問題有關時，就需要根據這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量2函數與不等式也可以相互轉化，對于函數yf(x)，當y0時，就轉化為不等式f(x)0，借助于函數圖象與性質解決有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式3在數學中函數的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數的幾何意義等都實現以形助數的途徑，當試題中涉及這些問題的數量關系時，我們可以通過形分析這些數量關系，達到解題的目的 關問題函數思想，不僅是利用函數的方法來研究解決有關函數問題，更重要的是運用函數的觀點去分析、解決問題，它的精髓是通過建立函數關系或構造函數，再運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決【例1】 (2012·遼寧)設f(x)ln(x1) axb(a，bR，a，b為常數)，曲線yf(x)與直線yx在(0,0)點相切(1)求a，b的值；(2)證明：當0x2時，f(x).審題視點 聽課記錄審題視點 (1)應用導數研究函數性質；(2)應用導數研究函數性質，并且結合放縮法的應用(1)解由yf(x)過(0,0)點，得b1.由yf(x)在(0,0)點的切線斜率為，又y|x0|x0a，得a0.(2)證明由均值不等式，當x0時，2 x11x2，故1.記h(x)f(x)，則h(x).令g(x)(x6)3216(x1)，則當0x2時，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)內是遞減函數，又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)內是遞減函數，又h(0)0，得h(x)0.于是當0x2時，f(x). 根據所證不等式的結構特征構造相應的函數，研究該函數的單調性是解決這一類問題的關鍵，本題并沒有千篇一律的將不等式右邊也納入到所構造函數中，而是具體問題具體分析，使問題得解，體現了導數的工具性以及函數、方程的數學思想【突破訓練1】 證明：對任意的正整數n，不等式ln都成立證明令f(x)x3x2ln(x1)，則f(x)在(0,1上恒正f(x)在(0,1上單調遞增，當x(0,1時，有x3x2ln(x1)0，即ln(x1)x2x3，對任意正整數n，取x(0,1，得ln. 關問題解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，用到最多的是方程思想，即列方程組，通過判別式、根與系數的關系來研究方程解的情況進一步研究直線與圓錐曲線的關系，同時處理范圍與最值問題時也要用到函數思想【例2】 (2012·湖南)在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C：x2y24x20的圓心(1)求橢圓E的方程；(2)設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當直線l1，l2都與圓C相切時，求P的坐標審題視點 聽課記錄審題視點 (1)將圓的一般方程化為標準方程，然后根據條件列出關于a，b，c，e的方程，解方程(組)即可；(2)設出點P的坐標及直線方程，根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，構造一元二次方程，利用根與系數的關系及P在橢圓上列出方程組，求解得P點的坐標解(1)由x2y24x20得(x2)2y22，故圓C的圓心為點(2,0)從而可設橢圓E的方程為1(ab0)，其焦距為2c.由題設知c2，e.所以a2c4，b2a2c212.故橢圓E的方程為1.(2)設點P的坐標為(x0，y0)，l1，l2的斜率分別為k1，k2，則l1，l2的方程分別為l1：yy0k1(xx0)，l2：yy0k2(xx0)，且k1k2，由l1與圓C：(x2)2y22相切得 ，即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.從而k1，k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的兩個實根，于是且k1k2.由得5x8x0360，解得x02，或x0.由x02得y0±3；由x0得y0±，它們均滿足式故點P的坐標為(2,3)，或(2，3)，或，或. 直線與圓錐曲線的位置關系中滲透著函數與方程的思想，在解決解析幾何問題時常常用到函數與方程的思想【突破訓練2】 (2012·安徽)如圖，F1，F2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，F1AF260°.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40 ，求a，b的值解(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)法一a24c2，b23c2，直線AB的方程可為y(xc)將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B.所以|AB|·c.由SAF1B|AF1|·|AB| sinF1ABa·c·a240，解得a10，b5.法二設|AB|t.因為|AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°可得，ta.由SAF1Ba·a·a240知，a10，b5.討論方程的解可構造兩個函數，使求方程的解的問題轉化為討論兩曲線交點的問題，但用圖象法討論方程的解，一定要注意圖象的精確性、全面性【例3】 方程xsin x0在區(qū)間0,2上的實根個數為()A1 B2 C3 D4審題視點 聽課記錄答案： B方程xsin x0在區(qū)間0,2上解的個數，可以轉化為兩函數yx與ysin x交點的個數根據右面圖象可得交點個數為2，即方程解的個數為2.故選B. 用函數的圖象討論方程(特別是含參數的指數、對數、根式、三角等復雜方程)的解的個數是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩熟悉的函數)，然后在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，圖象的交點個數即為方程解的個數【突破訓練3】 (2012·山東煙臺模擬)設函數f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則關于x的方程f(x)x的解的個數為()A1 B2 C3 D4【突破訓練3】 Cf(x)x24x2，x0，這個函數的圖象如圖所示：可知直線yx與f(x)的圖象有三個交點，選C. 或求最值在解含有參數的不等式時，由于涉及到參數，往往需要討論，導致演算過程繁瑣冗長如果題設與幾何圖形有聯系，那么利用數形結合的方法，問題將會簡練地得到解決【例4】 (2012·濰坊模擬)不等式|x3|x1|a23a對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為()A(，14，) B(，25，)C1,2 D(，12，)審題視點 聽課記錄審題視點 去掉絕對值化為分段函數，畫出函數圖象找到這個函數的最大值再求解答案：Af(x)|x3|x1|畫出函數f(x)的圖象，如圖，可以看出函數f(x)的最大值為4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.選項為A. 本題的知識背景涉及函數、不等式、絕對值等，“題目中的某些部分都可以使用圖形”表示，在解題時我們就是把這些可以用圖形表示的部分用圖形表示出來，借助于圖形的直觀獲得了解決問題的方法，這就是以形助數，是數形結合中的一個主要方面在解答選擇題的過程中，可以先根據題意，做出草圖，然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質，并綜合圖象的特征得出結論【突破訓練4】 (2010·天津)設函數g(x)x22(xR)f(x)則f(x)的值域是()A.(1，) B0，)C. D.(2，)答案： D由題意知f(x)所以結合圖形，可得當 x(，1)(2，)時，f(x)的值域為(2，)；當x1,2時，f(x)的值域為.故選D.突破數形結合思想缺失的障礙解答函數試題，很多時候函數圖象是隱形的，即在試題中沒有出現函數圖象，在答題中一般也不要畫出函數圖象，但在尋找解題思路時必須借助于函數圖象，這就是數形結合思想的深刻體現，而很多學生常常在解題中對這種隱形的數形結合意識不到，導致解題錯誤【示例】 (2012·德州模擬)已知函數f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍滿分解答(1)f(x)3x23a3(x2a)，當a0時，對任意的xR，有f(x)0，此時，f(x)的單調增區(qū)間為(，)；當a0時，由f(x)0解得x或x，由f(x)0解得x，故當a0時，f(x)的單調增區(qū)間為(，)，(，)；f(x)的單調減區(qū)間為(，)(4分)(2)因為f(x)在x1處取得極值，所以f(1)3×(1)23a0，a1.(6分)所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的單調性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3.因為直線ym與函數yf(x)的圖象有三個不同的交點，結合f(x)的單調性畫出圖象(如圖所示)可知，m的取值范圍是(3,1)(12分)老師叮嚀：解答本題的關鍵是數形結合，但前提必須是利用導數把函數的性質研究透徹，根據函數的性質把函數圖象的大致形態(tài)勾畫出來，根據數形結合思想找到實數m所滿足的條件，再進行嚴格的推理論證.【試一試】 (2012·廣東模擬)設函數f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它們在x1處的切線互相平行(1)求b的值；(2)若函數F(x)且方程F(x)a2有且僅有四個解，求實數a的取值范圍解函數g(x)bx2ln x的定義域為(0，)(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依題意2b10，所以b.(2)x(0,1)時，g(x)x0，x(1，)時，g(x)x0，所以當x1時，g(x)取極小值g(1)；當a0時，方程F(x)a2不可能有四個解；當a0時，x(，1)時，f(x)0，x(1,0)時，f(x)0，所以x1時，f(x)取得極小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的圖象如下：從圖象可以看出F(x)a2不可能有四個解當a0時，x(，1)時，f(x)0，x(1,0)時，f(x)0，所以x1時，f(x)取得極大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的圖象如下：從圖象看出方程F(x)a2有四個解，則a22a，所以實數a的取值范圍是.12