(人教A版,理科)高考數(shù)學(xué)一輪細(xì)講精練【選修4-2】矩陣與變換

選修 4－2 矩陣與變換 A [最新考綱] 1．了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系． 2．了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概 念與矩陣表示． 3．理解變換的復(fù)合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡單性質(zhì)． 4．理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣． 5．理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量. (1)行矩陣[a11  a12]與列矩陣êê ú的乘法規(guī)則： 知 識 梳 理 1．矩陣的乘法規(guī)則 éb11ù ú ëb21û ú＝[a  ×b  ＋a  ×b  ]． (2)二階矩陣êê ú與列向量ê   ú的乘法規(guī)則：  [a11 a12]êê                  ê úê   ú＝ê ú.               ê úê ú＝      .ê －c a   ú éb11ù ú 11 11 12 21 ëb21û éa11 a12ù éx0ù ú ê ú ëa21 a22û ëy0û éa11 a12ùéx0ù éa11×x0＋a12×y0ù ê úê ú ê ú ëa21 a22ûëy0û ëa21×x0＋a22×y0û 設(shè) A 是一個二階矩陣，α、β 是平面上的任意兩個向量，λ、λ1、λ2 是任意三個實 數(shù)，則 ①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下： éa11 a12ùéb11 b12ù ê úê ú ëa21 a22ûëb21 b22û éa11×b11＋a12×b21 a11×b12＋a12×b22ù ê ú ê ú ëa21×b11＋a22×b21 a21×b12＋a22×b22û 性質(zhì)：①一般情況下，AB≠BA，即矩陣的乘法不滿足交換律；②矩陣的乘法滿 足結(jié)合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩陣的乘法不滿足消去律． 2．矩陣的逆矩陣 (1)逆矩陣的有關(guān)概念：對于二階矩陣 A，B，若有 AB＝BA＝E，則稱 A 是可逆 的，B 稱為 A 的逆矩陣．若二階矩陣 A 存在逆矩陣 B，則逆矩陣是唯一的，通 常記 A 的逆矩陣為 A－1，A－1＝B. éa bù (2)逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣 A＝ê ú(detA＝ad－bc≠0)，它 ëc dû 的逆矩陣為 é d －b ù êad－bc ad－bc ú A－1＝ ë ad－bc ad－bcû (3) 逆 矩 陣 與 二 元 一 次 方 程 組 ： 如 果 關(guān) 于 變 量 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 組 ìax＋by＝m， éa bù éxù éa bù í 的系數(shù)矩陣 A＝ê ú可逆，那么該方程組有唯一解ê ú＝ê ú－ îcx＋dy＝n ëc dû ëyû ëc dû émù 1ê ú， ën û ê －c    a    ú. 其中 A－ é d －b ù êad－bc ad－bc ú 1＝ ë ad－bc ad－bcû 3．二階矩陣的特征值和特征向量 (1)特征值與特征向量的概念 設(shè) A 是一個二階矩陣，如果對于實數(shù) λ，存在一個非零向量 α，使得 Aα＝λα， 那么 λ 稱為 A 的一個特征值，而 α 稱為 A 的一個屬于特征值 λ 的一個特征向量． (2)特征多項式與特征方程 éa bù éxù éxù 設(shè) λ 是二階矩陣 A＝ê ú的一個特征值，它的一個特征向量為 ξ＝ê ú，則 Aê ú ëc dû ëyû ëyû éxù ＝λê ú， ëyû éxù ìax＋by＝λx， 即ê ú滿足二元一次方程組í ëyû îcx＋dy＝λy， ì(λ－a)x－by＝0 éλ－a －bùéxù é0ù 故í ê úê ú＝ê ú(*) î－cx＋(λ－d)y＝0 ë－c λ－d ûëyû ë0û 則(*)式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式 ïλ－a －bï ïλ－a －bï éa bù ï ï ＝ 0. 記 f(λ) ＝ï ï 為矩陣 A ＝ê ú 的特征多項式；方程 ï－c λ－dï ï－c λ－dï ëc dû ïλ－a －bï éa bù ï ï＝0，即 f(λ)＝0 稱為矩陣 A＝ê ú的特征方程． ï－c λ－dï ëc dû (3)特征值與特征向量的計算 ïλ－a －bï 如果 λ 是二階矩陣 A 的特征值，則 λ 是特征方程 f(λ)＝ ï ï＝λ2－(a＋d)λ ï－c λ－dï ＋ad－bc＝0 的一個根． 解這個關(guān)于 λ 的二元一次方程，得 λ＝λ1、λ2，將 λ＝λ1、λ2 分別代入方程組(*)， 分別求出它們的一個非零解 í         í         記 ξ1＝ê   ú，ξ2＝ê   ú. 則 Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此 λ1、λ2 是矩陣 A＝ê ú的特征值，ξ1＝ê   ú，ξ2 ëy1û ＝ê  2ú為矩陣 A 的分別屬于特征值 λ1、λ2 的一個特征向量． ìx＝x1， ìx＝x2， éx1ù éx2ù îy＝y(tǒng)1， îy＝y(tǒng)2， ëy1û ëy2û éa bù éx1ù ëc dû éx ù ëy2û 診 斷 自 測 é1 0 ù é5ù 1. ê ú ê ú＝________. ë0 －1û ë7û é1  0 ùé5ù  é úê  ú＝êê ë0×5＋(－1)×7 ë －7û 解析 ê ë0 －1ûë7û é 5 ù 答案 ê ú ë －7û 1×5＋0×7 ù é  5ù ú＝ê  ú. ú û ë12 ë－12 －2ùú 1  ú û é1 ê2 2．若 A＝ê 1ù   é 1 2ú ê 2 1ú，B＝ê 2 û  2 1  ，則 AB＝________. ë12 1úê－1 é1 ê2 解析 AB＝ê 1ùé 1 －1ù 2úê 2  2ú 1 ú 2ûë 2 2 û é1×1＋1×æç－1ö÷ ê1 1＋1 æ－1ö ×2ùú 1   æ－1ö＋1  1 2×ç è   2ø 2 1   æ－1ö＋1  1ú 2×è  2÷ø 2×2û ＝éê ê2 2 2 è 2ø ＝ è ë2×2 2×ç 2÷ø 0 0ù ú. ë0 0û  ç ÷ é0 答案 ê ë0 é－1 3．設(shè) A＝ê ë 0 0ù ú 0û 0ù    é0 －1ù ú，B＝ê     ú，則 AB 的逆矩陣為________． 1û     ë1   0û ë   0  1û       ë－1  0û é－1 0ù é 0 1ù 解析 ∵A－1＝ê ú，B－1＝ê ú ë－1 0û  ë  0  1û ＝éê   ú. é 0 1ù é－1 0ù ∴(AB)－1＝B－1A－1＝ê ú ê ú 0  1ù ë1 0û é0 答案 ê ë1 1ù ú 0û 1ú變換作用下的結(jié)果為________． é1 4．函數(shù) y＝x2 在矩陣 M＝êê0 ë 0ù ú 4û ú＝éêx′ùú éxù＝ê 解析 êê 1ú ê1y  ú  ëy′û ê ú ë            ë4 û 4û ú  0 ëyû é1 0ù é  xù  x＝x′，y＝4y′， 代入 y＝x2，得 y′＝1x′2，即 y＝1x2. 解析 A 的特征多項式 f(λ)＝ïï ï －6  λ－2ï 4 4 1 答案 y＝4x2 é1 5ù 5．若 A＝ê ú，則 A 的特征值為________． ë6 2û ïλ－1 －5ï ï ï ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值為 λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7 和－4 考點一 矩陣與變換 é2 aù 【例 1】 (2014· 蘇州市自主學(xué)習(xí)調(diào)查)已知 a，b 是實數(shù)，如果矩陣 M＝ê ú所 ëb 1û 對應(yīng)的變換將直線 x－y＝1 變換成 x＋2y＝1，求 a，b 的值． y y 解 設(shè)點(x，)是直線 x－y＝1 上任意一點，在矩陣 M 的作用下變成點(x′，′)， é2 aù éxù éx′ù 則ê ú ê ú＝ê ú， ëb 1û ëyû ëy′û ìx′＝2x＋ay， 所以í îy′＝bx＋y. 因為點(x′，y′)，在直線 x＋2y＝1 上，所以 ì2＋2b＝1， (2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即í îa＋2＝－1， ìïa＝－3， 所以í 1 î ïb＝－2. 規(guī)律方法 理解變換的意義，掌握矩陣的乘法運算法則是求解的關(guān)鍵，利用待定 系數(shù)法，構(gòu)建方程是解決此類題的關(guān)鍵． B B 【訓(xùn)練 1】已知變換 S 把平面上的點 A(3,0)， (2,1)分別變換為點 A′(0,3)， ′(1， －1)，試求變換 S 對應(yīng)的矩陣 T. éa 解 設(shè) T＝ê ëb cù      é3ù éx′ù éa ú，則 T：ê ú→ê  ú＝ê dû ë0û  ëy′û ëb cù é3ù é3aù é0ù     ìa＝0， ú ê ú＝ê ú＝ê ú，解得í dû ë0û  ë3bû  ë3û     îb＝1； é2ù éx′ù éa T：ê ú→ê ú＝ê ë1û ëy′û ëb cù é2ù é2a＋cù é 1ù ú ê ú＝ê    ú＝ê  ú， dû ë1û  ë2b＋dû ë －1û ìc＝1， é0 1 ù 解得í 綜上可知 T＝ê ú. î d＝－3， ë1 －3û 考點二 二階逆矩陣與二元一次方程組 é2 －3ù y 【例 2】 已知矩陣 M＝ê ú所對應(yīng)的線性變換把點 A(x， )變成點 A′(13,5)， ë1 －1û 試求 M 的逆矩陣及點 A 的坐標(biāo)． é2 －3ù 解 依題意得由 M＝ê ú，得|M|＝1， ë1 －1û é－1 故 M－1＝ê ë－1 3ù ú. 2û é2  －3ù éxù  é13ù éxù ú ê ú ＝ êê úú 得 ê ú ＝ êê ë1 －1û ëyû ëyû ú ê ú ＝ éê－1×13＋3×5ùú ＝ éê 2ù ú ，故 ë －3û 2û ë 5 û   ë－1×13＋2×5û 從而由 ê é－1 ë 5 û       ë－1 3ù é13ù úê ú ìx＝2， í ∴A(2，－3)為所求． î y＝－3， 規(guī)律方法 求逆矩陣時，可用定義法解方程處理，也可以用公式法直接代入求 解．在求逆矩陣時要重視(AB)－1＝B－1A－1 性質(zhì)的應(yīng)用． ú， é2 【訓(xùn)練 2】 已知矩陣 A＝êê ë1 3ù ú 2û (1)求矩陣 A 的逆矩陣； ì2x＋3y－1＝0， (2)利用逆矩陣知識解方程組í îx＋2y－3＝0. ú， 解 (1)法一 éa 設(shè)逆矩陣為 A－1＝êê ëc bù ú dû ú＝ê ú，得í2b＋3d＝0， îab＋＋22cd＝＝01，， é2 則由êê ë1  3ùéa úê úê 2ûëc  bù é1 ú  ê dû ë0  0ù ú 1û ì2a＋3c＝1， ú. ìa＝2， 解得íb＝－3， c 2 1 îd＝－，，  é 2 A－1＝ê ë－1  －3ù ú 2 û ú＝ê ú， éa 法二 由公式知若 A＝êê ëc bù é2 ú  ê dû ë1 3ù ú 2û ì2x＋3y－1＝0， (2)已知方程組í îx＋2y－3＝0， ì2x＋3y＝1， 可轉(zhuǎn)化為í îx＋2y＝3， ú，X＝ê ú，B＝ê  ú，且由(1)， é2 即 AX＝B，其中 A＝êê ë1 3ù    éxù    é1ù ú     ê ú     ê ú 2û     ëyû     ë3û 得 A－1＝êê ú. é 2 －3ù ú ë－1 2 û 因此，由 AX＝B，同時左乘 A－1，有 úê  ú＝ê   ú. é 2 A－1AX＝A－1B＝êê ë－1 －3ùé1ù é－7ù úê ú  ê   ú 2 ûë3û ë 5 û ìx＝－7， 即原方程組的解為í îy＝5. 考點三 求矩陣的特征值與特征向量 ú對應(yīng)的線性變換把點 P(1,1)變成點 P′(3,3)， é1 【例 3】 已知 a∈R ，矩陣 A＝êê ëa 2ù ú 1û 求矩陣 A 的特征值以及每個特征值的一個特征向量． ú   ê  ú＝ê    ú＝ê  ú， 1û   ë1û  ëa＋1û  ë3û é1 解 由題意êê ëa 2ù é1ù é 3 ù é3ù ú ê ú  ê    ú  ê ú f(λ)＝ïï ï＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， λ－1ï 得 a＋1＝3，即 a＝2，矩陣 A 的特征多項式為 ïλ－1 －2 ï ï ï －2 令 f(λ)＝0，所以矩陣 A 的特征值為 λ1＝－1，λ2＝3. ①對于特征值 λ1＝－1， ìx＋y＝0， ìx＝1， 解相應(yīng)的線性方程組 í 得一個非零解í î2x＋2y＝0 îy＝－1. 因此，α＝êê ú是矩陣 A 的屬于特征值 λ ＝－1 的一個特征向量； ë－1û ②對于特征值 λ2＝3，解相應(yīng)的線性方程組í 規(guī)律方法  已知 A＝êê é 1 ù ú 1 ì2x－2y＝0， î－2x＋2y＝0 ìx＝1， 得一個非零解í îy＝1. é1ù 因此，β＝ê ú是矩陣 A 的屬于特征值 λ2＝3 的一個特征向量． ë1û éa bù ú，求特征值和特征向量，其步驟為： ú ëc dû ï(λ－a) (1)令 f(λ)＝ï ï －c －b ï ï＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值 λ； (λ－d)ï ìï(λ－a)x－by＝0， (2)列方程組í ïî－cx＋(λ－d)y＝0； (3)賦值法求特征向量，一般取 x＝1 或者 y＝1，寫出相應(yīng)的向量． ú，求 M 的特征值及屬于各 é 3 【訓(xùn)練 3】 (2014· 揚州質(zhì)檢)已知矩陣 M＝êê ë－1 特征值的一個特征向量． －1ù ú 3 û ï＝ λ－3ï ïλ－3 解 由矩陣 M 的特征多項式 f(λ)＝ïï ï 1 1 ï ï 當(dāng) λ1＝2 時，由 Mê ú＝2ê ú， (λ－3)2－1＝0，解得 λ1＝2，λ2＝4，即為矩陣 M 的特征值． éxù 設(shè)矩陣 M 的特征向量為ê ú， ëyû éxù éxù ëyû ëyû ì－x＋y＝0， 可得í îx－y＝0. 可令 x＝1，得 y＝1， ∴α1＝ê  ú是 M 的屬于 λ1＝2 的特征向量． 當(dāng) λ2＝4 時，由 Mê ú＝4ê ú，   ∴α2＝ê ú是 M 的屬于 λ2＝4 的特征向量． é1ù ë1û éxù éxù ëyû ëyû ìx＋y＝0， 可得í îx＋y＝0， 取 x＝1，得 y＝－1， é 1ù ë－1û éa  bù    éa  bùé 1   ù ú，則ê    úê   ú＝êê ëc dû    ëc dûë－1û ë－1û 用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的思想求曲線在變換作用下的新方程 【典例】 二階矩陣 M 對應(yīng)的變換 T 將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1， －1)與(0，－2)． (1)求矩陣 M； (2)設(shè)直線 l 在變換 T 作用下得到了直線 m：x－y＝4，求 l 的方程． [審題視點] (1)變換前后的坐標(biāo)均已知，因此可以設(shè)出矩陣，用待定系數(shù)法求解． (2)知道直線 l 在變換 T 作用下的直線 m，求原直線，可用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法． é－1ù 解 (1)設(shè) M＝ê ú， ú ê 0úêa búê－2ú é ùé ù＝é ù， ëc dûë 1û ë －2û ï ïîc＝3， 所以 M＝éê ï ï ìa－b＝－1， ì－2a＋b＝0， 所以í 且í î î ïc－d＝－1， ï－2c＋d＝－2， 1 2ù ú. ë3 4û  解得 ìa＝1， íb＝2， d＝4， (2)因為ê   ú ＝éê úê ú＝êê éx′ù 1   2ùéxù  éx＋2y  ù ë y′û  ë3  4ûëyû ë 3x＋4yû ú且 m：x′－y′＝4， ú 所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4， 即 x＋y＋2＝0，∴直線 l 的方程是 x＋y＋2＝0. [反思感悟] (1)本題考查了求變換矩陣和在變換矩陣作用下的曲線方程問題，題 目難度屬中檔題． (2)本題突出體現(xiàn)了待定系數(shù)法的思想方法和坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的思想方法 . (3)本題的易錯點是計算錯誤和第(2)問中坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的方向錯誤． 【自主體驗】 (2014· 南京金陵中學(xué)月考)求曲線 2x2－2xy＋1＝0 在矩陣 MN 對應(yīng)的 變換作 ú，N＝ ë－1 ú. é1 用下得到的曲線方程，其中 M＝êê ë0 0ù ú 2û é  1 ê ê 0ù ú 1û 2ûë－1 ú＝ê ú. 1û  ë－2 2û é1 解 MN＝êê ë0 0ùé 1 úê úê 0ù é 1 0ù ú  ê ú 設(shè) P(x′，y′)是曲線 2x2－2xy＋1＝0 上任意一點，點 P 在矩陣 MN 對應(yīng)的變換 下變?yōu)辄c P′(x，y)， 0ùéx′ù ú＝éê x′   ù ú， ë－2x′＋2y′û éxù é 1 則êê ú＝ê ëyû ë－2  úê úê   ú 2ûëy′û y 于是 x′＝x，y′＝x＋2， 代入 2x′2－2x′y′＋1＝0，得 xy＝1. 所以曲線 2x2－2xy＋1＝0 在 MN 對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程為 xy＝1. 解析 í               可寫成éê ïîy′＝5x＋6y， 一、填空題 éxù éx′ù é3x＋4yù 1．已知變換 T：ê ú→ê ú＝ê ú，則該變換矩陣為________． ëyû ëy′û ë5x＋6yû ìïx′＝3x＋4y， 3 4ùéxù éx′ù úê ú＝ê ú. ë5 6ûëyû ëy′û é3 4ù 答案 ê ú ë5 6û é3 2．計算ê ë5 7ùé 2 ù úê   ú等于________． 8ûë－1û é3  7ùé 2   ù ú＝éê ë5  8ûë－1û  ê ë5×2－8û ë 2   û é3×2－7ù －1ù 解析 ê úê ú ＝ê ú. ú é－1ù 答案 ê ú ë 2 û é5 3．矩陣ê ë0 0ù ú的逆矩陣為________． 1û 0 ù é5  0ù é1 ＝5，∴éê 5   0ù ú. ú的逆矩陣為ê ê5 解析 ê ú ë0  1û       ë0  1û 0 ú ú ë 0 1û é1 ù 答案 êê5 ú ë 0 1û 則éê ＝éê ùú，éê ＝éê   ú. ï＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. 解析 f(λ)＝ï λ＋3ïï －6 é3 a ù 4．若矩陣 A＝ê ú把直線 l：2x＋y－7＝0 變換成另一直線 l′：9x＋y－91＝ ëb 13û 0，則 a＝________，b＝________. 解析 取 l 上兩點(0,7)和(3.5,0)， 3 a ùé0ù 7a 3 a ùé3.5ù 10.5ù úê ú úê ú ëb 13ûë7û ë91û ëb 13ûë 0 û ë3.5bû 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在 l′上，代入得 a＝0，b＝－1. 答案 0 －1 é6 －3ù 5．矩陣 M＝ê ú的特征值為________． ë6 －3û ïλ－6 3ï ï ï ∴λ＝0 或 λ＝3. 答案 0 或 3 é1 6．已知矩陣 M＝ê ë3 2ù é1ù é  0ù ú，α＝ê ú，β＝ê  ú，則 M(2α＋4β)＝________. ë2û 4û            ë －3û é2ù＋é  0  ù ú ＝ê   ú ，M(2α＋4β)＝éê ú＝êê ë －12û  ë －8û          ë3  4ûë－8û ë4û ë－26û é 2ù 1 2ùé 2ù é－14ù 解析 2α＋4β＝ê ú ê úê ú. ú é－14ù 答案 ê ú ë－26û ú的作用下變換為曲線 C ，則 C  的方 é1 7．曲線 C1：x2＋2y2＝1 在矩陣 M＝êê ë0 2ù ú 2         2 1û 程為________． 解析 設(shè) P(x，y)為曲線 C2 上任意一點，P′(x′，y′)為曲線 x2＋2y2＝1 上與 P 對應(yīng)的點， ìïx＝x′＋2y′， ïîy＝y(tǒng)′ é1 2ùé x′ ù é x ù 則ê úê ú＝ê ú，即í ê úê ú ê ú ë0 1ûë y′û ë yû ï ìx′＝x－2y， í î ïy′＝y(tǒng). －1  ú ìïa＝2， 解析 設(shè) A＝êê ú，由ê    úê  ú＝ê  ú，得í ïîc＝3. ìïb＝1， úê  ú＝3ê  ú＝ê  ú，得ïí       所以í ïîc＋d＝3. ïîd＝0. 因為 P′是曲線 C1 上的點， 所以 C2 的方程為(x－2y)2＋y2＝1. 答案 (x－2y)2＋y2＝1 é2 －1ù é4 －1ù 8．已知矩陣 A＝ê ú，B＝ê ú，則滿足 AX＝B 的二階矩陣 X 為 ë－4 3û ë－3 1û ________． 解析 由題意，得 A－1＝ AX＝B， ∴X＝A－1B＝. é9 ù 答案 êê2 ú ë 5 －1û é1ù 9．已知矩陣 A 將點(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值 3 的一個特征向量是êê ú，則 ë1û 矩陣 A 為________． éa bù éa bùé1ù é2ù ú ê úê ú ê ú ëc dû ëc dûë0û ë3û éa bùé1ù é1ù é3ù ìa＋b＝3， 由ê ê úê ú ê ú ê ú ëc dûë1û ë1û ë3û é2 1ù 所以 A＝ê ú. ê ú ë3 0û é2 答案 êê ë3 1ù ú ú 0û 二、解答題 10．(2012· 江蘇卷)已知矩陣 A 的逆矩陣 A－1＝錯誤!，求矩陣 A 的特征值． 解 因為 AA－1＝E，所以 A＝(A－1)－1. 因為 A－1＝錯誤!，所以 A＝(A－1)－1＝錯誤!， f(λ)＝ïï ï＝λ2－3λ－4. ï －2   λ－1ï 于是矩陣 A 的特征多項式為 ïλ－2 －3 ï ï 令 f(λ)＝0，解得 A 的特征值 λ1＝－1，λ2＝4. ú，A 的一個特征值 λ＝2，其對應(yīng)的特征向量是 α1＝ê  ú. é 1 11．已知矩陣 A＝ê ë－1 aù                                     é2ù bû ë1û ï＝λ2－5λ＋6＝0，得 λ1＝2，λ2＝3， 當(dāng) λ1＝2 時，α1＝ê  ú，當(dāng) λ2＝3 時，得 α2＝ê  ú. 由 β＝mα1＋nα2，得í         解得 m＝3，n＝1. ∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ25α2＝3×25ê  ú＋35ê  ú＝ê   ú. é7ù (1)求矩陣 A；(2)若向量 β＝ê ú，計算 A5β 的值． ë4û é 1 2ù 解 (1)A＝ê ú. ë－1 4û ïλ－1 －2ï (2)矩陣 A 的特征多項式為 f(λ)＝ï ï 1 λ－4ï é2ù é1ù ë1û ë1û ì2m＋n＝7， î m＋n＝4， é2ù é1ù é435ù ë1û ë1û ë339û éa 12．(2012· 福建卷)設(shè)曲線 2x2＋2xy＋y2＝1 在矩陣 A＝ê ëb 0ù ú(a＞0)對應(yīng)的變換作 1û 用下得到的曲線為 x2＋y2＝1. (1)求實數(shù) a，b 的值； (2)求 A2 的逆矩陣． 解 (1)設(shè)曲線 2x2＋2xy＋y2＝1 上任意點 P(x，y)在矩陣 A 對應(yīng)的變換作用下的 像是 P′(x′，y′)． éx′ù éa 由ê ú＝ê ëy′û ëb 0ùéxù é ax ù   ìx′＝ax， úê ú＝ê    ú，得í 1ûëyû  ëbx＋yû   îy′＝bx＋y. 又點 P′(x′，y′)在 x2＋y2＝1 上，所以 x′2＋y′2＝1， 即 a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1， ìa2＋b2＝2， ìa＝1， ìa＝－1， 依題意得í 解得í 或í î2b＝2， îb＝1 îb＝1. ìa＝1， 因為 a＞0，所以í îb＝1. é1 0ù é1 0ùé1 0ù é1 0ù (2)由(1)知，A＝ê ú，A2＝ê úê ú＝ê ú. ë1 1û ë1 1ûë1 1û ë2 1û é1 1 所以|A2|＝1，(A2)－＝ê ë－2 0ù ú. 1û