2019高考數(shù)學二輪復習 專題四 概率與統(tǒng)計 第2講 概率、隨機變量及其分布列課件.ppt

第2講概率、隨機變量及其分布列,高考定位1.計數(shù)原理、古典概型、幾何概型的考查多以選擇或填空的形式命題，中低檔難度；2.概率模型多考查獨立重復試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等；對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”，多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn)，?？疾楠毩⑹录母怕?，超幾何分布和二項分布的期望等.,1.(2018全國卷)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30723.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(),答案C,真題感悟,2.(2018全國卷)如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則()A.p1p2B.p1p3C.p2p3D.p1p2p3,答案A,3.(2018全國卷)某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；(2)現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.()若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)；()以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？,令f(p)0，得p0.1.當p(0，0.1)時，f(p)0，f(p)單調遞增；當p(0.1，1)時，f(p)400，故應該對余下的產品作檢驗.,1.概率模型公式及相關結論,考點整合,3.超幾何分布,4.離散型隨機變量的均值、方差(1)離散型隨機變量的分布列為,離散型隨機變量的分布列具有兩個性質：pi0；p1p2pipn1(i1，2，3，n).,(2)E()x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量的數(shù)學期望或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做隨機變量的方差.(3)數(shù)學期望、方差的性質.E(ab)aE()b，D(ab)a2D().XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p).,熱點一古典概型與幾何概型【例1】(1)(2018太原二模)某商場舉行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：箱子中有編號為1，2，3，4，5的五個形狀、大小完全相同的小球，從中任取兩球，若摸出的兩球號碼的乘積為奇數(shù)，則中獎；否則不中獎.則中獎的概率為(),探究提高1.求古典概型的概率，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到排列、組合的有關知識，計數(shù)時要正確分類，做到不重不漏.2.計算幾何概型的概率，構成試驗的全部結果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找是關鍵，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域.,解析(1)如圖所示，畫出時間軸：,答案(1)B(2)C,熱點二互斥事件、相互獨立事件的概率考法1互斥條件、條件概率【例21】(2016全國卷選編)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：,設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下：,(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率.解(1)設A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1，故P(A)0.200.200.100.050.55.(2)設B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于3，故P(B)0.100.050.15.,考法2相互獨立事件與獨立重復試驗的概率【例22】(2018衡水中學調研)多家央企為了配合國家戰(zhàn)略支持雄安新區(qū)建設，紛紛申請在新區(qū)建立分公司.若規(guī)定每家央企只能在雄縣、容城、安新3個片區(qū)中的一個片區(qū)設立分公司，且申請其中任一個片區(qū)設立分公司都是等可能的，每家央企選擇哪個片區(qū)相互之間互不影響且必須在其中一個片區(qū)建立分公司.向雄安新區(qū)申請建立分公司的任意4家央企中，(1)求恰有2家央企申請在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率；(2)用X表示這4家央企中在“雄縣”片區(qū)建立分公司的個數(shù)，用Y表示在“容城”或“安新”片區(qū)建立分公司的個數(shù)，記|XY|，求的分布列.,隨機變量的所有可能取值為0，2，4.,所以隨機變量的分布列為,【訓練2】(2018天津卷)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.,解(1)由題意得，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.(2)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3.,所以，隨機變量X的分布列為,設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則ABC，且B與C互斥.由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，,熱點三隨機變量的分布列、均值與方差考法1超幾何分布【例31】(2018西安調研)4月23日是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個小組中隨機抽取10名學生參加問卷調查.各組人數(shù)統(tǒng)計如下：,(1)從參加問卷調查的10名學生中隨機抽取兩名，求這兩名學生來自同一個小組的概率；(2)在參加問卷調查的10名學生中，從來自甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取兩名，用X表示抽得甲組學生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.,解(1)由已知得，問卷調查中，從四個小組中抽取的人數(shù)分別為3，4，2，1，,(2)由(1)知，在參加問卷調查的10名學生中，來自甲、丙兩小組的學生人數(shù)分別為3，2.X的可能取值為0，1，2.,則隨機變量X的分布列為,【訓練3】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).,解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，,(2)由題意知X可取的值為：0，1，2，3，4，則,因此X的分布列為,考法2與獨立重復試驗有關的分布列【例32】(2018濰坊一模)某公司新上一條生產線，為保證新的生產線正常工作，需對該生產線進行檢測.現(xiàn)從該生產線上隨機抽取100件產品，測量產品數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù)14，標準差2，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.以頻率值作為概率估計值.,(1)從該生產線加工的產品中任意抽取一件，記其數(shù)據(jù)為X，依據(jù)以下不等式評判(P表示對應事件的概率)：P(<X<)0.6826；P(2<X<2)0.9544；P(3<X<3)0.9974.評判規(guī)則為：若至少滿足以上兩個不等式，則生產狀況為優(yōu)，無需檢修；否則需檢修生產線，試判斷該生產線是否需要檢修；(2)將數(shù)據(jù)不在(2，2)內的產品視為次品，從該生產線加工的產品中任意抽取2件，次品數(shù)記為Y，求Y的分布列與數(shù)學期望E(Y).,解(1)由題意知，14，2，由頻率分布直方圖得P(0.6826，P(2<X<2)P(10<X<18)0.8(0.040.03)20.94<0.9544，P(3<X<3)P(8<X<20)0.94(0.0150.005)20.98<0.9974，所以不滿足至少兩個不等式成立，故該生產線需檢修.,Y的分布列為,【訓練4】(2018湖南六校聯(lián)考)為響應國家“精準扶貧，產業(yè)扶貧”戰(zhàn)略的號召，進一步優(yōu)化能源消費結構，某市決定在地處山區(qū)的A縣推進光伏發(fā)電項目.在該縣山區(qū)居民中隨機抽取50戶，統(tǒng)計其年用電量得以下統(tǒng)計表.以樣本的頻率作為概率.,(1)在該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X，求X的數(shù)學期望；(2)已知該縣某山區(qū)自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組，該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國家電網以0.8元/度的價格進行收購.經測算每千瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度，試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元.,則該自然村年均用電約150000度.又該村所裝發(fā)電機組年預計發(fā)電量為300000度，故該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約150000度，能為該村創(chuàng)造直接收益120000元.,22列聯(lián)表：,(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機支付”和“不使用手機支付”抽取一個容量為10的樣本，再從中隨機抽取3人，求這三人中“使用手機支付”的人數(shù)的分布列及期望.,則使用手機支付的人群中的中老年的人數(shù)為1208436人，所以22列聯(lián)表為,17.7347.879，P(K27.879)0.005，故有99.5%的把握認為“市場購物用手機支付與年齡有關”.(2)根據(jù)分層抽樣原理，從這200名顧客中抽取10人，,“不使用手機支付”的人數(shù)為4.設隨機抽取的3人中“使用手機支付”的人數(shù)為隨機變量X.則X0，1，2，3.,所求隨機變量X的概率分布為,探究提高1.本題考查統(tǒng)計與概率的綜合應用，意在考查考生的識圖能力和數(shù)據(jù)處理能力.此類問題多涉及相互獨立事件、互斥事件的概率，在求解時，要明確基本事件的構成.2.聯(lián)系高中生使用手機這一生活現(xiàn)象，利用數(shù)學中列聯(lián)表、獨立性檢驗，予以研究二者的相關性，考查了相互獨立事件同時發(fā)生、分布列.題目主旨，引導學生正確對待使用手機，切勿玩物喪志，并倡導互幫互助的學習風氣.,【訓練5】(2018哈爾濱二模)某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1，2，8，其中X5為標準A，X3為標準B.已知甲廠執(zhí)行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執(zhí)行標準.(1)已知甲廠產品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：,且X1的數(shù)學期望E(X1)6，求a，b的值；,(2)為分析乙廠產品的等級系數(shù)X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望；(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由.,解(1)因為E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2，又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5，,(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：,用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：,所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙廠產品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.(3)乙廠的產品更具可購買性，理由如下：,所以乙廠的產品更具可購買性.,2.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算公式為P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(AB)P(A)P(B).,