安徽省2019年中考數(shù)學一輪復習 第一講 數(shù)與代數(shù) 第二章 方程（組）與不等式（組）2.3 一元二次方程課件.ppt

2.3一元二次方程,掌握數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的解法( 公式法、配方法、因式分解法 ),會列一元二次方程解簡單的應用題.,考點掃描,考點1,考點2,考點3,一元二次方程的解法( 8年3考 ) 1.配方法 配方法解一元二次方程就是通過配方把一元二次方程變形為( x+k )2=a( a0 )的形式,再用開平方法解答.用配方法解一元二次方程的一般步驟是:移項;化二次項系數(shù)為1;配方;化成( x+k )2=a的形式;開平方求解. 2.公式法 公式法解一元二次方程就是用一元二次方程的求根公式求有實數(shù)根的一元二次方程.一元二次方程ax2+bx+c=0( a0且b2-4ac0 )的求根公式是 ,它是通過用配方法求解一般形式的一元二次方程推導出來的.用公式法解一元二次方程的一般步驟是:化一元二次方程為一般形式;確定各項系數(shù);求出b2-4ac的值;代入求根公式;求出兩根.,考點掃描,考點1,考點2,考點3,3.因式分解法 用因式分解求一元二次方程的解的方法叫做因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是:將方程的一邊化為0;將方程另一邊因式分解;令含有未知數(shù)的每個一次因式等于0;解這兩個一元一次方程.,考點掃描,考點1,考點2,考點3,特別提醒 ( 1 )若方程符合a( x-n )2=m( am0,a0 )的形式,用直接開平方法解方程比較簡單; ( 2 )對于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0( a0 )而言,當b=0時,用直接開平方法求解較好;一般方程ax2+bx+c=0( a0 ),當c=0時,用因式分解法比較簡單;一般方程ax2+bx+c=0( a0 ),當a,b,c不缺項且不易分解因式時,一般采用公式法;配方法也是一種重要的解題方法,當二次項系數(shù)為1,二次項系數(shù)為偶數(shù)時,應用該法比較簡單. 一般來說,在一元二次方程四種解法中,優(yōu)先選取順序依次為直接開平方法因式分解法公式法配方法.,考點掃描,考點1,考點2,考點3,典例1( 1 )根據(jù)要求,解答下列問題: 方程x2-2x+1=0的解為; 方程x2-3x+2=0的解為; 方程x2-4x+3=0的解為; ( 2 )根據(jù)以上方程特征及其解的特征,請猜想: 方程x2-9x+8=0的解為; 關(guān)于x的方程的解為x1=1,x2=n. ( 3 )請用配方法解方程x2-9x+8=0,以驗證猜想結(jié)論的正確性.,考點掃描,考點1,考點2,考點3,【解析】( 1 )( x-1 )2=0,解得x1=x2=1,即方程x2-2x+1=0的解為x1=x2=1;( x-1 )( x-2 )=0,解得x1=1,x2=2,即方程x2-3x+2=0的解為x1=1,x2=2;( x-1 )( x-3 )=0,解得x1=1,x2=3,即方程x2-4x+3=0的解為x1=1,x2=3.( 2 )根據(jù)以上方程特征及其解的特征,可猜想方程x2-9x+8=0的解為x1=1,x2=8;關(guān)于x的方程x2-( 1+n )x+n=0的解為x1=1,x2=n.( 3 )根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟進行求解即可.,考點掃描,考點1,考點2,考點3,【答案】 ( 1 )x1=x2=1.x1=1,x2=2.x1=1,x2=3. ( 2 )x1=1,x2=8.x2-( 1+n )x+n=0. ( 3 )x2-9x=-8,所以x1=1,x2=8. 所以猜想正確.,考點掃描,考點1,考點2,考點3,提分訓練 1.由多項式乘法:( x+a )( x+b )=x2+( a+b )x+ab,將該式從右到左使用,即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式:x2+( a+b )x+ab=( x+a )( x+b ). 示例:分解因式:x2+5x+6=x2+( 2+3 )x+23=( x+2 )( x+3 ). ( 1 )嘗試:分解因式:x2+6x+8=( x+ )( x+ ); ( 2 )應用:請用上述方法解方程:x2-3x-4=0. 【答案】 ( 1 )2;4. ( 2 )x2-3x-4=0, ( x+1 )( x-4 )=0, 則x+1=0或x-4=0, 解得x=-1或4.,考點1,考點2,考點3,考點掃描,一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系( 8年1考 ) 1.根的判別式的定義:關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0( a0 )的根的判別式為 b2-4ac. 2.判別式與根的關(guān)系: ( 1 )b2-4ac0一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根; ( 2 )b2-4ac=0一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根; ( 3 )b2-4ac<0一元二次方程沒有實數(shù)根. 3.根與系數(shù)的關(guān)系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0( a0 )的兩根分別是x1,x2,則,考點1,考點2,考點3,考點掃描,易錯警示 1.使用一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系時,必須將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般式ax2+bx+c=0,以便確定a,b,c的值. 2.正確理解“方程有實根”的含義.若有一個實數(shù)根,則原方程為一元一次方程;若有兩個實數(shù)根,則原方程為一元二次方程.在解題時,要特別注意“方程有實數(shù)根”“有兩個實數(shù)根”等關(guān)鍵文字,挖掘出它們的隱含條件,以免陷入關(guān)鍵字的“陷阱”.,考點1,考點2,考點3,考點掃描,典例2( 2018江蘇泰州 )已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2-ax-2=0的兩根,下列結(jié)論一定正確的是 ( ) A.x1x2B.x1+x20 C.x1x20D.x10,x1x2,結(jié)論A正確; x1,x2是關(guān)于x的方程x2-ax-2=0的兩根,x1+x2=a,a的值不確定, B結(jié)論不一定正確;x1,x2是關(guān)于x的方程x2-ax-2=0的兩根, x1x2=-2,結(jié)論C錯誤;x1x2=-2,x1,x2異號,結(jié)論D錯誤. 【答案】 A,考點1,考點2,考點3,考點掃描,4,考點1,考點2,考點3,考點掃描,初高中銜接 用換元法解一元高次方程 在數(shù)學中常常會出現(xiàn)一些高次方程求解問題,解這類問題的核心思想是降次,而換元法是最主要的方法.所謂換元法,是指把方程中某些代數(shù)式用新的變量代替,使方程的次數(shù)降低,從而化難為易,使問題得以解決.,考點1,考點2,考點3,考點掃描,提分訓練 3.為解方程x4-5x2+4=0,我們可以將x2視為一個整體,然后設(shè)x2=y,則x4=y2, 原方程化為y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4. 當y=1時,x2=1,x=1; 當y=4時,x2=4,x=2. 原方程的解為x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2. 解答問題: ( 1 )填空:在由原方程得到方程的過程中,利用法達到了降次的目的,體現(xiàn)了的數(shù)學思想. ( 2 )解方程:( x2-2x )2+x2-2x-6=0.,考點1,考點2,考點3,考點掃描,【答案】 ( 1 )換元;轉(zhuǎn)化. ( 2 )設(shè)x2-2x=t, 原方程化為t2+t-6=0,解得t1=-3,t2=2. 當t=-3時,x2-2x=-3,即x2-2x+3=0,此方程無實數(shù)解;,考點1,考點2,考點3,考點掃描,一元二次方程的應用( 8年4考 ) 列一元二次方程解應用題中,經(jīng)濟類和面積類問題是?？碱愋?解決這些問題應掌握以下內(nèi)容: 1.增長率問題 設(shè)a是基礎(chǔ)量,x為平均增長率,連續(xù)增長2次,b為增長后的量,則a( 1+x )2=b;當x為平均下降率,連續(xù)下降2次,b為下降后的量,則a( 1-x )2=b. 2.面積問題 ( 1 )如圖1,設(shè)空白部分的寬為x,則S陰影=( a-2x )( b-2x ).,考點1,考點2,考點3,考點掃描,( 2 )如圖2、圖3、圖4,設(shè)陰影道路的寬為x,則S空白=( a-x )( b-x ).,( 3 )如圖5,欄桿總長為a,BC的長為b,則S陰影=.,考點1,考點2,考點3,考點掃描,3.行程問題 時間速度=路程. 4.握手、單循環(huán)賽與送禮物問題 握手、單循環(huán)賽總次數(shù)為 ( n為人數(shù) );送禮物總份數(shù)為n( n-1 )( n為人數(shù) ).,考點1,考點2,考點3,考點掃描,典例3( 2018江蘇鹽城 )一商店銷售某種商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利,該店采取了降價措施,在每件盈利不少于25元的前提下,經(jīng)過一段時間銷售,發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元,平均每天可多售出2件. ( 1 )若降價3元,則平均每天銷售數(shù)量為件; ( 2 )當每件商品降價多少元時,該商店每天銷售利潤為1200元? 【解析】( 1 )根據(jù)銷售單價每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降價3元,則平均每天可多售出23=6件,即平均每天銷售數(shù)量為20+6=26件;( 2 )利用商品平均每天售出的件數(shù)每件盈利=每天銷售這種商品利潤列出方程解答即可.,考點1,考點2,考點3,考點掃描,【答案】 ( 1 )26. ( 2 )設(shè)每件商品應降價x元時,該商店每天銷售利潤為1200元. 根據(jù)題意得( 40-x )( 20+2x )=1200, 整理得x2-30 x+200=0, 解得x1=10,x2=20. 要求每件盈利不少于25元, x2=20應舍去, x=10. 答:每件商品應降價10元時,該商店每天銷售利潤為1200元.,考點1,考點2,考點3,考點掃描,提分訓練 4.( 2018貴州遵義 )在水果銷售旺季,某水果店購進一優(yōu)質(zhì)水果,進價為20元/千克,售價不低于20元/千克,且不超過32元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y( 千克 )與該天的售價x( 元/千克 )滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.,( 1 )某天這種水果的售價為23.5元/千克,求當天該水果的銷售量. ( 2 )如果某天銷售這種水果獲利150元,那么該天水果的售價為多少元?,考點1,考點2,考點3,考點掃描,【答案】 ( 1 )設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b, 將( 22.6,34.8 ),( 24,32 )代入y=kx+b,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+80. 當x=23.5時,y=-2x+80=33. 答:當天該水果的銷售量為33千克. ( 2 )根據(jù)題意得( x-20 )( -2x+80 )=150, 解得x1=35,x2=25. 20 x32, x=25. 答:如果某天銷售這種水果獲利150元,那么該天水果的售價為25元.,命題點1解一元二次方程( 常考 ) 1.( 2016安徽第16題 )解方程:x2-2x=4. 解:兩邊都加上1,得 x2-2x+1=5,即( x-1 )2=5,2.解方程:x2-2x=2x+1. 解:原方程x2-2x=2x+1化為x2-4x=1, 配方,得x2-4x+4=1+4, 整理,得( x-2 )2=5,命題點2一元二次方程根的判別式與系數(shù)關(guān)系( 新增 ) 3.( 2018安徽第7題 )若關(guān)于x的一元二次方程x( x+1 )+ax=0有兩個相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的值為 ( ) A.-1B.1 C.-2或2D.-3或1 【解析】原方程整理為x2+( a+1 )x=0,=( a+1 )2-410=( a+1 )2,由一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根得=0,即( a+1 )2=0,解得a=-1.,A,命題點3一元二次方程的應用( ?？?) 4.( 2017安徽第8題 )一種藥品原價每盒25元,經(jīng)過兩次降價后每盒16元.設(shè)兩次降價的百分率都為x,則x滿足 ( ) A.16( 1+2x )=25 B.25( 1-2x )=16 C.16( 1+x )2=25 D.25( 1-x )2=16 【解析】原價為25元,每次降價的百分率為x,兩次降價后的價格為16元,所以x滿足25( 1-x )2=16.,D,5.我省2013年的快遞業(yè)務量為1.4億件,受益于電子商務發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素,快遞業(yè)務迅猛發(fā)展,2014年增速位居全國第一.若2015年的快遞業(yè)務量達到4.5億件,設(shè)2014年與2015年這兩年的年平均增長率為x,則下列方程正確的是 ( ) A.1.4( 1+x )=4.5 B.1.4( 1+2x )=4.5 C.1.4( 1+x )2=4.5 D.1.4( 1+x )+1.4( 1+x )2=4.5 【解析】設(shè)2014年與2015年這兩年的年平均增長率為x,則2014年的業(yè)務量為1.4( 1+x )億件,2015年的業(yè)務量為1.4( 1+x )2億件,又因為2015年的快遞業(yè)務量達到4.5億件,所以可列方程為1.4( 1+x )2=4.5.,C,