【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻(xiàn)綜述 開題報告】高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo)作用研究

【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報告】高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo)作用研究 （20_ _屆）本科畢業(yè)論文高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo)作用研究摘要：高等代數(shù)在知識上是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高,在思想方法上是中學(xué)代數(shù)的因襲和擴(kuò)張,在觀念上是中學(xué)代數(shù)的深化和發(fā)展.高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在思想方法方面的聯(lián)系主要體現(xiàn)在抽象化思想、分類思想、結(jié)構(gòu)思想、類比推理思想、公理化方法等方面.注意與中學(xué)代數(shù)的聯(lián)系對比，不但可以降低高等代數(shù)課的學(xué)習(xí)難度,而且增強(qiáng)了高等代數(shù)課對培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)作用。關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；中學(xué)代數(shù)；指導(dǎo)作用；思想方法Higher Algebra for high school algebra study guideAbstract: Algebra Mathematics in knowledge is the continuation and improvement of methods of thought, is the iconic high school algebra and expansion, the concept is the deepening and development of high school algebra. Higher and Middle School Mathematics in the way of thinking ties mainly in Abstract thinking, classification ideology, structure, thinking, analogical reasoning thought, axiomatic method and so on. Note the number of high school algebra with links contrast, not only can reduce the difficulty of learning advanced algebra class, but also enhance the training course on Advanced Algebra Mathematics Teacher's guide.Key words: advanced algebra; middle school algebra; guide; Thinking method 目錄 引言 ?11 高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo)作用的意義 ?2 1.1 代數(shù)的發(fā)展史 ?2 1.2 高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)教育的教育目標(biāo) ?4 1.3 數(shù)學(xué)教育教學(xué)的新革 ?62 高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)的關(guān)系 ?6 2.1高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)的統(tǒng)一性 ?7 2.2高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)的連貫性 ?7 2.3從中學(xué)代數(shù)到高等代數(shù)研究對象與方法的發(fā)展 ?9 2.4從中學(xué)代數(shù)到高等代數(shù)數(shù)學(xué)觀的發(fā)展 ?10 2.5高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)之間的區(qū)別?103 高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo) ?11 3.1向量線性關(guān)系的幾何意義 ?12 3.2多項式理論的應(yīng)用 ?13 3.3 Cauchy不等式的應(yīng)用?14 3.4行列式方程的應(yīng)用 ?15?17 3.6歐式空間的中學(xué)模型 ?18布涅柯夫斯基不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用?18 3.8 矩陣與幾何變換 ?19“關(guān)系”題 ?204 結(jié)束語 ?21致謝 ?21參考文獻(xiàn) ?22引言 在我國高等師范院校中，多數(shù)專業(yè)所開設(shè)的專業(yè)課程，都是中學(xué)相應(yīng)課程內(nèi)容的加深和拓廣，惟數(shù)學(xué)專業(yè)例外。在數(shù)學(xué)專業(yè)課程里，除微積分外，多數(shù)課程與中學(xué)數(shù)學(xué)在研究對象和研究方法兩方面都有著本質(zhì)的不同。以高等代數(shù)為例，高等代數(shù)抽象化、形式化的思想和符號化的表述使其對于中學(xué)數(shù)學(xué)，不是一種螺旋式的深入，而是一種階梯式的跨越這就使得高等代數(shù)在表面上與中學(xué)數(shù)學(xué)嚴(yán)重脫節(jié)，學(xué)生面對高等代數(shù)時，已有的知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)幾乎無法得以正向遷移，學(xué)生必須從兩個相對斷裂的側(cè)面去體會、去領(lǐng)悟、去學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)壓力之大可想而知。更重要的是，由于高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在學(xué)生眼里成了兩個相互斷裂的層面，部分學(xué)生認(rèn)為，高等代數(shù)與其日后的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系不上，即使現(xiàn)在“居高”，將來也不能“臨下”，因而學(xué)習(xí)的積極性、主動性就明顯不高如此，“學(xué)”慢而“忘”快現(xiàn)象普遍存在于高等代數(shù)課程的學(xué)習(xí)之中也就不足為奇了1。 同時，中學(xué)數(shù)學(xué)的不少知識在高等代數(shù)得到了進(jìn)一步的加深和拓展，或者成為了高等代數(shù)的例子，或者為高等代數(shù)提供了模型。中學(xué)數(shù)學(xué)知識在高等代數(shù)中的繼續(xù)和提高，有效地解釋了許多中學(xué)數(shù)學(xué)未能解讀清楚地問題，這對于運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點、原理和方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際具現(xiàn)實意義的。1 高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo)作用的意義 1.1 代數(shù)的發(fā)展史代數(shù)是研究數(shù)字和文字的代數(shù)運(yùn)算理論和方法，更確切的說，是研究實數(shù)和復(fù)數(shù)，以及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。 初等代數(shù)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展。如果我們對代數(shù)符號不是要求像現(xiàn)在這樣簡練，那么，代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生可上溯到更早的年代。西方人將公元前三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖看作是代數(shù)學(xué)的鼻祖，而真正創(chuàng)立代數(shù)的則是古阿拉伯帝國時期的偉大數(shù)學(xué)家默罕默德?伊本?穆薩（我國稱為“花刺子密”，生卒約為公元780-850年）。而在中國，用文字來表達(dá)的代數(shù)問題出現(xiàn)的就更早了。 “代數(shù)”作為一個數(shù)學(xué)專有名詞、代表一門數(shù)學(xué)分支在我國正式使用，最早是在1859年。那年，清代數(shù)學(xué)家李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書，譯本的名稱就叫做代數(shù)學(xué)。當(dāng)然，代數(shù)的內(nèi)容和方法，我國古代早就產(chǎn)生了，比如九章算術(shù)中就有方程問題。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖用文字縮寫來表示未知量，在公元250年前后丟番圖寫了一本數(shù)學(xué)巨著算術(shù)。其中他引入了未知數(shù)的概念，創(chuàng)設(shè)了未知數(shù)的符號，并有建立方程序的思想。故有“代數(shù)學(xué)之父”的稱號。代數(shù)是巴比倫人、希臘人、阿拉伯人、中國人、印度人和西歐人一棒接一棒而完成的偉大數(shù)學(xué)成就。發(fā)展至今，它包含算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、抽象代數(shù)五個部分2 。 1、算術(shù) 算術(shù)給予我們一個用之不竭的、充滿有趣真理的寶庫。 -高斯（Gauss,1777-1855） 算術(shù)是數(shù)學(xué)中最古老、最基礎(chǔ)和最初等的部分。它研究數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算。把數(shù)和數(shù)的性質(zhì)、數(shù)和數(shù)之間的四則運(yùn)算在應(yīng)用過程中的經(jīng)驗累積起來，并加以整理，就形成了最古老的一門數(shù)學(xué)算術(shù)。 現(xiàn)在拉丁文的“算術(shù)”這個詞是由希臘文的“數(shù)和數(shù) 音屬，shû三音 數(shù)的技術(shù)”變化而來的?！八恪弊衷谥袊墓乓庖彩恰皵?shù)”的意思，表示計算用的竹籌。中國古代的復(fù)雜數(shù)字計算都要用算籌。所以“算術(shù)”包含當(dāng)時的全部數(shù)學(xué)知識與計算技能，流傳下來的最古老的九章算術(shù)以及失傳的許商算術(shù)和杜忠算術(shù)，就是討論各種實際的數(shù)學(xué)問題的求解方法。算術(shù)的基本概念和邏輯推論法則，以人類的實踐活動為基礎(chǔ)，深刻地反映了世界的客觀規(guī)律性。盡管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開它。同時，它又構(gòu)成了數(shù)學(xué)其它分支的最堅實的基礎(chǔ)。 2、初等代數(shù) 作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容的初等代數(shù)，其中心內(nèi)容是方程理論。代數(shù)方程理論在初等代數(shù)中是由一元一次方程向兩個方面擴(kuò)展的：其一是增加未知數(shù)的個數(shù)，考察由有幾個未知數(shù)的若干個方程所構(gòu)成的二元或三元方程組（主要是一次方程組）；其二是增高未知量的次數(shù)，考察一元二次方程或準(zhǔn)二次方程。初等代數(shù)的主要內(nèi)容在16世紀(jì)便已基本上發(fā)展完備了。 初等代數(shù)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展。在古代，當(dāng)算術(shù)里積累了大量的，關(guān)于各種數(shù)量問題的解法后，為了尋求有系統(tǒng)的、更普遍的方法，以解決各種數(shù)量關(guān)系的問題，就產(chǎn)生了以解方程的原理為中心問題的初等代數(shù)。初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程，因而長期以來都把代數(shù)學(xué)理解成方程的科學(xué)，數(shù)學(xué)家們也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度計算性的。 要討論方程，首先遇到的一個問題是如何把實際中的數(shù)量關(guān)系組成代數(shù)式，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程。所以初等代數(shù)的一個重要內(nèi)容就是代數(shù)式。 初等代數(shù)是算術(shù)的繼續(xù)和推廣，初等代數(shù)研究的對象是代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解。代數(shù)運(yùn)算的特點是只進(jìn)行有限次的運(yùn)算。全部初等代數(shù)總起來有十條規(guī)則。這是學(xué)習(xí)初等代數(shù)需要理解并掌握的要點。 3、高等代數(shù) 在高等代數(shù)中，一次方程組（即線性方程組）發(fā)展成為線性代數(shù)理論；而二次以上方程發(fā)展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數(shù)等內(nèi)容的一門近世代數(shù)分支學(xué)科，而后者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數(shù)分支學(xué)科。作為大學(xué)課程的高等代數(shù)，只研究它們的基礎(chǔ)。 線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運(yùn)算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。向量的概念，從數(shù)學(xué)的觀點來看不過是有序三元數(shù)組的一個集合，然而它以力或速度作為直接的物理意義，并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有說服力。同樣，行列式和矩陣如導(dǎo)數(shù)一樣（雖然在數(shù)學(xué)上不過是一個符號，表示包括的極限的長式子，但導(dǎo)數(shù)本身是一個強(qiáng)有力的概念，能使我們直接而創(chuàng)造性地想象物理上發(fā)生的事情）。因此，雖然表面上看，行列式和矩陣不過是一種語言或速記，但它的大多數(shù)生動的概念能對新的思想領(lǐng)域提供鑰匙。 4、數(shù)論 以正整數(shù)作為研究對象的數(shù)論，可以看作是算術(shù)的一部分，但它不是以運(yùn)算的觀點，而是以數(shù)的結(jié)構(gòu)的觀點，即一個數(shù)可用性質(zhì)較簡單的其它數(shù)來表達(dá)的觀點來研究數(shù)的。因此可以說，數(shù)論是研究由整數(shù)按一定形式構(gòu)成的數(shù)系的科學(xué)。 數(shù)論的古典內(nèi)容基本上不借助于其它數(shù)學(xué)分支的方法，稱為初等數(shù)論。17世紀(jì)中葉以后，曾受數(shù)論影響而發(fā)展起來的代數(shù)、幾何、分析、概率等數(shù)學(xué)分支，又反過來促進(jìn)了數(shù)論的發(fā)展，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論（研究整系數(shù)多項式的根“代數(shù)數(shù)”）、幾何數(shù)論（研究直線坐標(biāo)系中坐標(biāo)均為整數(shù)的全部“整點”“空間格網(wǎng)”）。19世紀(jì)后半期出現(xiàn)了解析數(shù)論，用分析方法研究素數(shù)的分布。二十世紀(jì)出現(xiàn)了完備的數(shù)論理論。5、抽象代數(shù) 抽象代數(shù)又稱近世代數(shù)，它產(chǎn)生于十九世紀(jì)。 抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科。由于代數(shù)可處理實數(shù)與復(fù)數(shù)以外的物集，例如向量、矩陣超數(shù)、變換等，這些物集分別是依它們各有的演算定律而定，而數(shù)學(xué)家將個別的演算經(jīng)由抽象手法把共有的內(nèi)容升華出來，并因此而達(dá)到更高層次，這就誕生了抽象代數(shù)。抽象代數(shù)，包含有群論、環(huán)論、伽羅瓦理論、格論、線性代數(shù)等許多分支，并與數(shù)學(xué)其它分支相結(jié)合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)洹⑼負(fù)淙旱刃碌臄?shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當(dāng)代大部分?jǐn)?shù)學(xué)的通用語言。 到現(xiàn)在為止，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)研究過200多種代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中最主要的若當(dāng)代數(shù)和李代數(shù)是不服從結(jié)合律的代數(shù)的例子。這些工作的絕大部分屬于20世紀(jì)，它們使一般化和抽象化的思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中得到了充分的反映。 現(xiàn)在，可以籠統(tǒng)地把代數(shù)學(xué)解釋為關(guān)于字母計算的學(xué)說，但字母的含義是在不斷地拓廣的。在初等代數(shù)中，字母表示數(shù)；而在高等代數(shù)和抽象代數(shù)中，字母則表示向量（或 n元有序數(shù)組）、矩陣、張量、旋量、超復(fù)數(shù)等各種形式的量?？梢哉f，代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為一門關(guān)于形式運(yùn)算的一般學(xué)說了。一個帶有形式運(yùn)算的集合稱為代數(shù)系統(tǒng)，因此，代數(shù)是研究一般代數(shù)系統(tǒng)的一門科學(xué)。 1.2 高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)教育的教育目標(biāo)一、高等代數(shù)： （1）按照循序漸近的原則，在中學(xué)代數(shù)的基礎(chǔ)上的逐漸提高，在完成與中學(xué)代數(shù)教學(xué)銜接工作的同時，做好理論上的提高和深入的工作。（2）掌握行列式、矩陣和多項式等基本知識，能熟練進(jìn)行基本運(yùn)算（求行列式的值，求矩陣的逆，多項式的帶余除法等）。（3）掌握線性空間、線性變換，歐氏空間的理論和思維方法，并能熟練掌握線性變換和化二次型的技巧。（4）通過本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對初等代數(shù)有更加的深入了解，并能更好地處理中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有關(guān)問題。（5）培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維、邏輯推理的能力，特別是使學(xué)生學(xué)會從直觀到抽象的思維方法。二、初中數(shù)學(xué)： 初中代數(shù)是使學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，把數(shù)的范圍從非負(fù)有理數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)、實數(shù)；通過用字母表示數(shù)，學(xué)習(xí)代數(shù)式、方程和不等式、函數(shù)等，學(xué)習(xí)一些常用的數(shù)據(jù)處理方法和科學(xué)計算器或算表的使用方法；發(fā)展對于數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識和抽象概括的思維，提高運(yùn)算能力。 初中代數(shù)的教學(xué)要求是：（1）使學(xué)生了解有理數(shù)、實數(shù)的有關(guān)概念，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算；會用計算器或算表計算平方、立方、平方根與立方根。 （2）使學(xué)生了解有關(guān)代數(shù)式、整式、分式和二次根式的概念，掌握它們的性質(zhì)和運(yùn)算法則，能夠熟練地進(jìn)行整式、分式和二次根式的運(yùn)算以及多項式的因式分解。（3）使學(xué)生了解有關(guān)方程、方程組的概念；靈活運(yùn)用一元一次方程、二元一次方程組和一元二次方程的解法解方程和方程組，掌握分式方程和簡單的二元二次方程組的解法，理解一元二次方程的根的判別式。能夠分析等量關(guān)系列出方程或方程組解應(yīng)用題。使學(xué)生了解一元一次不等式、一元一次不等式組的概念，會解一元一次不等式和一元一次不等式組，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。（4）使學(xué)生理解平面直角坐標(biāo)系的概念，了解函數(shù)的意義，理解正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的概念和性質(zhì)，理解二次函數(shù)的概念，會根據(jù)性質(zhì)畫出正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象，會用描點法畫出反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象。（5）使學(xué)生了解統(tǒng)計的思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計的初步知識解決一些簡單的實際問題。（6）使學(xué)生掌握消元、降次、配方、換元等常用的數(shù)學(xué)方法，解決某些數(shù)學(xué)問題，理解“特殊 一般 特殊”、“未知已知”、用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合和把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題等基本的思想方法。（7）使學(xué)生通過各種運(yùn)算和對代數(shù)式、方程、不等式的變形以及重要公式的推導(dǎo)，通過用概念、法則、性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理，發(fā)展思維能力。（8）使學(xué)生了解已知與未知、特殊與一般、正與負(fù)、等與不等、常量與變量等辯證關(guān)系，以及反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動變化觀點。了解反映在數(shù)與式的運(yùn)算和求方程解的過程中的矛盾轉(zhuǎn)化的觀點。同時，利用有關(guān)的代數(shù)史料和社會主義建設(shè)成就，對學(xué)生進(jìn)行思想教育。三、高中數(shù)學(xué)： 高中數(shù)學(xué)是義務(wù)教育后普通高級中學(xué)的一門主要課程。它是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)、計算機(jī)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)，也是參加社會生產(chǎn)、日常生活的基礎(chǔ)，對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)和文化價值，形成理性思維有積極作用。因此，使學(xué)生在高中階段繼續(xù)受到數(shù)學(xué)教育，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對于提高全民族素質(zhì)，為培養(yǎng)社會主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的人才打好基礎(chǔ)是十分必要的。 高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的: 1）使學(xué)生學(xué)好從事社會主義現(xiàn)代化建設(shè)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計、微積分初步的基礎(chǔ)知識、基本技能，以及其中的數(shù)學(xué)思想方法。（2）在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)交流能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力。（3）努力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，包括：空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運(yùn)算求解、演繹證明、體系構(gòu)建等諸多方面，能夠?qū)陀^事物中的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷。（4）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，從而進(jìn)一步樹立辯證唯物主義的世界觀。 1.3 數(shù)學(xué)教育教學(xué)的新改革 3 在新一輪數(shù)學(xué)課程改革中，我國原有的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱正在逐步隱退，取而代之的是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是在總結(jié)和反思以前數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)上研制而成的，保留了數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的一些特色，是大綱的繼承與發(fā)展。無論大綱的修訂還是標(biāo)準(zhǔn)的研制，都試圖更好地指導(dǎo)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)工作的開展，標(biāo)準(zhǔn)與大綱相比，既有繼承方面，也有發(fā)展與創(chuàng)新，可概括為以下四點： （1）大綱與標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的課程理念有很大的差異。前者注重教師的教學(xué)，重視改進(jìn)教學(xué)方法；后者注重學(xué)生的學(xué)習(xí)，重視改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。 （2）大綱與標(biāo)準(zhǔn)的課程目標(biāo)同中有異。兩者都重視知識與技能的培養(yǎng)，但后者更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程、情感、態(tài)度與個性的發(fā)展。 （3）大綱與標(biāo)準(zhǔn)的課程內(nèi)容同中有異。后者繼承了前者重視學(xué)生對必要的基礎(chǔ)知識和基本技能的熟練掌握的優(yōu)點，但標(biāo)準(zhǔn)對有些內(nèi)容進(jìn)行了加強(qiáng)或削弱，設(shè)置現(xiàn)實的、富有挑戰(zhàn)性和很大彈性的內(nèi)容，提供廣闊的發(fā)展空間，讓學(xué)生在自主探索、合作交流中體驗“做數(shù)學(xué)”的樂趣。 （4）大綱與標(biāo)準(zhǔn)的評價理念存在很大的差異。前者提倡終結(jié)性評價，注重評價的篩選功能，如設(shè)置分?jǐn)?shù)與等級；后者強(qiáng)調(diào)過程性評價和評價的教育功能，評價不僅考察學(xué)生對知識的掌握，而且重視學(xué)習(xí)過程與體驗。 總之，標(biāo)準(zhǔn)是在總結(jié)和反思以前數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)上研制出來的，保持了大綱的一些特色，同時也修正了一些不足之處，這是一種繼承基礎(chǔ)上的創(chuàng)新，在創(chuàng)新的前提下繼承，而不是一種簡單的否定。事實上，大綱恰恰局限于教學(xué)上的目標(biāo)和要求、知識要求、能力要求和德育要求等方面，在這些方面的要求似乎過于具體，反而有時限制了教師的創(chuàng)造性，而且難以兼顧到不同地區(qū)的不同要求。而標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)出一個開放性體系，為教材編寫者、教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)及學(xué)業(yè)評價提供了較為廣闊的發(fā)展空間。2 高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)的關(guān)系 結(jié)合教學(xué)實踐,從教材的結(jié)構(gòu)、體系,數(shù)學(xué)思想方法和解題教學(xué)三個方面淺談高等數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用4。中學(xué)數(shù)學(xué)主要是常量數(shù)學(xué)，同時也包括變量數(shù)學(xué)的一些初步知識，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)則以變項包括變量為研究對象來反映現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個不斷發(fā)現(xiàn)、不斷統(tǒng)一、不斷深化的過程5 。 2. 1 高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)的統(tǒng)一性 數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性決不是一種偶然的巧合，它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，中學(xué)數(shù)學(xué)教師的職責(zé)之一就是讓學(xué)生逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，“在不同現(xiàn)象之中找出類同之處，并發(fā)展技術(shù)來發(fā)掘這種類同之處，這是研究物理世界的基本的數(shù)學(xué)方法”6。 高等數(shù)學(xué)對于初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用就是幫助學(xué)生學(xué)會用高等數(shù)學(xué)的思想、方法等從不同角度去研究初等數(shù)學(xué)的問題,運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識從更高的角度重新認(rèn)識初等數(shù)學(xué)中的重要概念、理論實質(zhì)及其背景,并借助于高等數(shù)學(xué)的例2.1 設(shè)A , B , C 是ABC 的三內(nèi)角, x , y , z是任意實數(shù),求證: x2 + y2 + z2 2 xycos C + 2 yzcosB,+ 2 z xcosA 。這是不等式證明中的一道陳題, 可以從高等代數(shù)和配方法兩個角度來證明。證法一： 從高等代數(shù)的角度來看,這是一個二次型的問題, 考慮二次型f x , y , z x2 + y2 + z2- 2cos Cxy - 2cosByz - 2cosA z x 的矩陣它的順序主子式p1 1 0所以二次型f x , y , z 是半正定的。證法二：本題可以用配方法來證明。事實上, x2 + y2 + z2 - 2 xycos C -2 yzcosB - 2 z xcosA x - ycos C - zcosA 2 -y2cos2 C - z2cos2 A - 2 yzcos CcosA + y2 + z2 -2 yzcosB x - ycos C - zcosA 2 + y2sin2 C +z2 sin2 A - 2 yz cos CcosA + cosB x - ycos C -zcosA 2 + ysin C - z sin A 2 0. 在某種程度上說,中學(xué)里的配方法是二次型的基礎(chǔ)。2. 2 高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)的連貫性 中學(xué)數(shù)學(xué)中遺留下來相當(dāng)多的問題并不是它本身可以解決的，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)，掌握了更多的理論工具，對問題的本質(zhì)有了更深的認(rèn)識后才能作出一定合理的解釋。大家熟知的代數(shù)基本定理：具有復(fù)系數(shù)的一個多項式方程在復(fù)數(shù)域中至少有一個解。在中學(xué)階段是當(dāng)作既成事實，但它究竟對不對，如何去證明，用中學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識是無法解釋的。自從高斯給這一基本定理作出了證明以后，在高等數(shù)學(xué)中又給出了多種多樣的證法，可以用復(fù)變函數(shù)、近世代數(shù)、數(shù)理邏輯等不同的知識來加以證明。但所有這些證明都需要用到函數(shù)的連續(xù)性，對函數(shù)連續(xù)性本質(zhì)的認(rèn)識屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的范疇7 。 教學(xué)實踐使我認(rèn)識到教師只有深人研究高等數(shù)學(xué), 才能深刻把握初等數(shù)學(xué)的本質(zhì), 使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不失科學(xué)性, 做到居高臨下, 把課教活。例2.2 證明an-bn a-b an-1+an-2b+L+abn-2+bn-1 , n 為正整數(shù) 證明： 設(shè)n 階行列式D 則D an-bn。又因為 （a-b an-1- -1 n+1b n-1其中 而1 1, 2 - a-b 遞推可得: 當(dāng)n 為奇數(shù)時,D a-b an-1-bn-1 n-1 -bn-2-abn-3-a2bn-4-L-an-3b-an-2所以D a-b an-1+an-2b+L+abn-2+bn-1 ; 當(dāng)n 為偶數(shù)時, D a-b an-1+bn-1 n-1 bn-2+abn-3+a2bn-4+L+an-3b+an-2.所以D a-b an-1+an-2b+L+abn-2+bn-1 。從而對任意正整數(shù)n 都有D a-b an-1+an-2b+L+abn-2+bn-1 。 2. 3 從中學(xué)代數(shù)到高等代數(shù)研究對象與方法的發(fā)展 數(shù)學(xué)的研究方法與對象反復(fù)經(jīng)歷了由特殊到一般，由直觀到抽象的過程。著名數(shù)學(xué)家M?阿蒂亞說:“沒有這些抽象概念，數(shù)學(xué)恐怕早就被成堆的復(fù)雜問題壓得喘不過氣來，也早就分裂成數(shù)不清的、互不關(guān)連的個別情況的研究了。下面這些問題似乎簡單，但它們蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想與方法非常豐富。（1）什么是運(yùn)算? （2）為什么等式“25 ×31 ×4 25 ×4 ×31”成立?（3）為什么推導(dǎo)過程“ ”成立? （4）什么是代數(shù)? 中學(xué)生對運(yùn)算的認(rèn)識是從“數(shù)”的運(yùn)算開始，隨著學(xué)習(xí)的逐步深入，知道運(yùn)算不僅僅局限于“數(shù)”,“式”也可以進(jìn)行運(yùn)算，這說明運(yùn)算不僅可以在數(shù)之間進(jìn)行，而且可以在數(shù)以外的其他對象之間進(jìn)行。一般運(yùn)算的對象可以是抽象的集合。數(shù)學(xué)上，運(yùn)算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量。運(yùn)算的本質(zhì)是集合之間的映射。 例如，算術(shù)中的加法 5 + 3 8，這里 5 和 3 是輸入，8 是結(jié)果，而加號“+”表明這是一個加法運(yùn)算。這是一個常見的二元運(yùn)算，本質(zhì)上是AXB- C形式的映射。 其他常見的運(yùn)算包括加法，乘法，開方等等，這些都是一元運(yùn)算，本質(zhì)上是A- B形式的映射。 代數(shù)運(yùn)算是二元運(yùn)算，數(shù)學(xué)上的定義：假設(shè)S和T分別是集合，S上的一個T值運(yùn)算* 就是指笛卡爾直積 S×S 到T的一個映射，也就是映射： 用符號代表數(shù)或其他更復(fù)雜的量；而更高層次的抽象是符號之間的運(yùn)算法則和相互關(guān)系。抽象概念正是對層出不窮的新事物的要求所做出的自然的回答。中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該比學(xué)生高明在何處呢？其實任何具體的運(yùn)算操作過程學(xué)生通過練習(xí)完全可以達(dá)到教師的水平，甚至“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”。8 但教師的高明之處就在于他不僅知道可以這樣算，而且要善于引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識代數(shù)就是研究運(yùn)算的，同時運(yùn)算的概念是不斷發(fā)展的，隨著代數(shù)研究對象的拓展，代數(shù)研究方法也要隨之不斷發(fā)展。站得高，看得遠(yuǎn)，這樣才能自信地站在講臺上。2. 4 從中學(xué)代數(shù)到高等代數(shù)數(shù)學(xué)觀的發(fā)展高中課本中的一個練習(xí)題：說出數(shù)列的一個通項公式，使它的前四項分別是下列各數(shù)：（1） 2 ,4 ,6 ,8 ； （2）15 ,25 ,35 ,45 ；（3）- 1/ 2 ,1/ 4 , - 1/ 8 ,1/ 16 ； （4） 1 - 1/ 2 , 1/ 2 - 1/ 3 , 1/ 3 - 1/ 4 , 1/ 4 - 1/ 5 。大部分中學(xué)生都會輕而易舉地寫出這樣的答案：但教師絕對不能由此誤導(dǎo)學(xué)生認(rèn)為這些通項公式是唯一的。一般給出一個無限序列的有限項，并不能以此來推斷其后無限項的情況。即使像上面給出的練習(xí)，如第（1）小題也還可以給出其他的通項公式: 保證這些數(shù)列前四項為給定的數(shù)值，甚至還可以給出這樣的通項公式： 其中 c為任意給定實數(shù) 顯然這樣的保證數(shù)列前四項為給定數(shù)值的數(shù)列通項公式可以有無限多種情況。 從有限到無限，數(shù)學(xué)觀要隨之改變。對有限集的比較可以通過“數(shù)一數(shù)”的方法，但這種“數(shù)一數(shù)”的方法一碰到無限集就失效了9 。如果對一位中學(xué)生來說正方形或正方體中并不比線段有更多的點，這在直觀上也許是令人震驚的結(jié)果。 2.5 高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)之間的區(qū)別高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)知識方面的區(qū)別可由以下六點說明：7 （1）中學(xué)代數(shù)講多項式的加、減、乘、除運(yùn)算法則；高等代數(shù)在拓寬多項式的含義，嚴(yán)格定義多項式的次數(shù)及加法、乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)上，接著講多項式的整除理論及最大公因式理論。 （2）中學(xué)代數(shù)給出了多項式因式分解的常用方法；高等代數(shù)首先用不可約多項式的嚴(yán)格定義解釋了“不可再分”的含義，接著給出了不可約多項式的性質(zhì)、唯一因式分解定理及不可約多項式在三種常見數(shù)域上的一些判定。 （3）中學(xué)代數(shù)講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；高等代數(shù)接著講一元多次方程根的定義，復(fù)數(shù)域上一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的個數(shù)，實系數(shù)一元n次方程根的特點，有理系數(shù)一元n次方程有理根的性質(zhì)及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解簡介。 （4）中學(xué)代數(shù)講二元一次、三元一次方程組的消元解法；高等代數(shù)講線性方程組的行列式解法和矩陣消元解法、講線性方程組解的判定及解與解之間的關(guān)系。 （5）中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)的整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)為高等代數(shù)的數(shù)環(huán)、數(shù)域提供例子；中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)的有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為高等代數(shù)的向量空間提供例子；中學(xué)代數(shù)中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式成為高等代數(shù)中坐標(biāo)變換公式的例子。 （6）中學(xué)幾何學(xué)習(xí)的向量的長度和夾角為歐氏空間向量的長度和夾角提供模型，三角形不等式為歐氏空間中兩點間距離的性質(zhì)提供模型，線段在平面上的投影為歐氏空間中向量在子空間的投影提供模型。 兩者的主要區(qū)別是高中數(shù)學(xué)主要研究由有限次的運(yùn)算，而高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)算大多是無限次的。比方說高中數(shù)學(xué)中是求函數(shù)的值；而高等數(shù)學(xué)是求函數(shù)的微積分（ 模型即求函數(shù)與坐標(biāo)軸之間的面積，而求面積的“正統(tǒng)”方法是把他分成無窮多個小“矩形”然后再把他們加起來）。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一些簡單數(shù)列的求和方法，而高等數(shù)學(xué)中就開始研究數(shù)列和的性質(zhì)看它有沒有極限，極限是多少等等。總而言之，高中數(shù)學(xué)是大學(xué)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，如果高中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的話，學(xué)高等數(shù)學(xué)是很吃力的，經(jīng)常會出現(xiàn)什么定理都懂，但什么都不會做（當(dāng)然這樣說有一點極端性）。在高中數(shù)學(xué)中的一些很基礎(chǔ)的東西，比方說三角函數(shù)的積和互換，角度變換，倍角公式；指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的常用公式；數(shù)列通項、求和的方法等等這些對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都是很重要的。 綜上所述可知，高等代數(shù)的學(xué)習(xí)為中學(xué)數(shù)學(xué)的提供了方法和思想。通過對這些知識的學(xué)習(xí)，可以加深對中學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解和方法的掌握，提高中學(xué)數(shù)學(xué)的解題能力和數(shù)學(xué)水平。3 高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育教學(xué)，把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提到了較高的地位。力求控制數(shù)學(xué)教學(xué)過程中以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，形成數(shù)學(xué)能力。從這一點來說，數(shù)學(xué)能力的核心就是數(shù)學(xué)思維能力。 數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是指主體的數(shù)學(xué)思維活動對客觀事物數(shù)學(xué)關(guān)系的理解和掌握的程度或水平。其特征表現(xiàn)為廣闊性、深刻性、靈活性、敏捷性、創(chuàng)新性、目的性和批判性等。由于它們具有兩重性，通常的數(shù)學(xué)教學(xué)中往往強(qiáng)調(diào)了一個方面而忽視了另一個方面。以下從數(shù)學(xué)思維的廣闊性、目的性來說明 10。 3. 1 向量線性關(guān)系的幾何意義11 向量思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性, 反過來又展示了應(yīng)用廣泛性的特點, 向量之間的線性相關(guān)性有著明顯的幾何意義。 一維情況:兩個向量共線 平行 的充要條件是它們線性相關(guān)， 二維情況: 向量與不共線的兩個向量共面的充要條件是。更一般的, 三個向量共面的充要條件是它們線性相關(guān)12 。 三維情況: 空間中任意向量都可由不共面的三個向量線性表示。更一般的, 空間中任意四個 以上 向量總是線性相關(guān)。此外, 線性相關(guān)性的概念可移用于線性方程組。當(dāng)方程組中有某個方程是其余方程的線性組合時, 那這個方程就是多余的。把每個線性方程看成一個行向量, 那么兩個線性方程組同解相當(dāng)于對應(yīng)兩個行向量組等價。把各系數(shù)列看成向量組, 則線性方程組有解相當(dāng)于常數(shù)列向量可由系數(shù)列向量組線性表示。 例3.1 已知正四棱柱，點是棱上的中點，截面與底面所成的角為，求三棱錐的體積解：記與交點為，由正方形性質(zhì)知是中點且，是棱上的點，易知，則，所以 ，所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，則：，其中向量， 于是三棱錐的體積為：說明：若求四棱錐，只需把四棱錐分割成兩個三棱錐，分別求出三棱錐體積求和即可3. 2 多項式理論的應(yīng)用 多項式理論是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一,它與中學(xué)數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系. 它解決了初等數(shù)學(xué)中關(guān)于多項式的很多遺留問題,如多項式的根及因式分解理論,對中學(xué)數(shù)學(xué)解題有“居高臨下”的作用。例3.2 多項式f x x4 - 5 x3 + 4 x2 - 3 x +17 ,當(dāng)x2 4 x + 1 時,求此多項式的值。 解將條件等式變形為x2 - 4 x 1 。 由多項式的除法,得 f x x2 - x x2 - 4 x - 3 x + 17 ,在將x2 - 4 x 1 代入上式, 可得f x x2 - 4 x + 17 18.例3.3 已知a,b,c為整數(shù)，且滿足由已知條件知f（x）的首項系數(shù)為1的整系數(shù)多項式，且是它的三個有理根，有高等代數(shù)知識知，f（x）的有理根只能是1或-1。，于是 只能是1或-1，故|a| |b| |c|。例34 定理2 一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式乘積的充要條件是它的秩等于2和符號差為0，或秩等于1. 定理2 為利用二次型進(jìn)行二次多項式因式分解提供了理論依 據(jù)，同時給出了判斷能否分解的方法，并可以很快得到分解式，下面通過例題具體說明. 試判斷下列多項式在R 上能否分解， 若能，分解之. 1 f（x1，x2） （2） 解：（1）令 則 下面考慮 g（x1，x2，x3）的秩和符號差，對g（x1，x2，x3）作退化非線性替換：有 g（x1，x2，x3） ，可見 g（x1，x2，x3）的秩為3，有定理2，知 g（x1，x2，x3）不能分解，從f（x1，x2）也不能分解。令，則，下面考慮 g（x1，x2，x3）的秩和符號差。對 g（x1，x2，x3）作非退化線性替換。有 g（x1，x2，x3） ，從而 ，可見f（x1，x2）的秩為2，符號差為0，由定理2，知f（x1，x2）可以分解，且 3. 3 Cauchy不等式的應(yīng)用從歐氏空間看，Cauchy不等式就是Cauchy-Buniakowski不等式的具體化。Cauchy-Buniakowski不等式：對歐氏空間內(nèi)任意的向量，有，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)。對維歐氏空間上任意向量，取內(nèi)積代入Cauchy-Buniakowski不等式，即是Cauchy不等式。 設(shè)與時兩組實數(shù)，對于利用判別式，容易得到Cauchy不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。在中學(xué)這是一個重要不等式，只要能構(gòu)造一組數(shù)，就可用它來證明一些不等式。如：已知是兩兩不相同的正整數(shù),則但對于這類不等式，就不能直接利用Cauchy不等式進(jìn)行證明。3. 4 行列式的應(yīng)用行列式、線性方程組和矩陣?yán)碚撌歉叩却鷶?shù)的基本內(nèi)容,這些理論的發(fā)展和完善離不開初等數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的推動作用。反過來,利用一些高等代數(shù)方法又可以靈活地解決初等數(shù)學(xué)中的相關(guān)問題14.。例 3.5已知函數(shù)f x ax3 + bx2 + c x + d ,滿足f - 1 0 , f 1 - 6 , f 2 - 9 , f 3 - 4 ,求f x . 解：由已知條件,得 a - 1 3 + b - 1 2 + c - 1 + d 0 , a ?13 + b ?12 + c ?1 + d - 6 , a ?23 + b ?22 + c ?2 + d - 9 , a ?33 + b ?32 + c ?3 + d - 4 ,把上式看成關(guān)于a , b, c , d 的線性方程組,它的系數(shù)行列式為范德蒙行列式由行列式和線性方程組的理論,可得a 1 , b - 2 , c - 4 , d - 1 , 即f x x3 - 2 x2 - 4 x - 1.例3.6 試分解多項式x3 + y3 + z3 - 3 x y z . 解：構(gòu)造一個行列式D ,使它等于此多項式,例3.7 設(shè)向量不共線,求證:平面上任一向量都可唯一表示成其中,R. 解：不同水平的學(xué)生所用的證法是不一樣的。有的學(xué)生立即想到證不 共線， 有的學(xué)生先證任一向量，再將t，s轉(zhuǎn)換成,，即證明，當(dāng)然也有學(xué)生不會證. 從二維向量空間的角度來看，線性無關(guān)，則也線性無關(guān),這是因為系數(shù)行列式，所以可以作為作為一組基向量。學(xué)生并不知道這些背景,正因為如此,該題能真實地反映不同層次學(xué)生的能力。例3.8 已知正方體的棱長為求異面直線與的距離 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是異面直線與的一個法向量為分別在異面直線與各取一點、，異面直線與的距離為3. 5 利用矩陣求最大公因式利用增廣矩陣可以很清晰地表示消元法的過程；利用矩陣乘積，可以輕易地得到變量之間的線性關(guān)系。在初等數(shù)學(xué)中，求兩個多項式的最大公因式一般用因式分解和輾轉(zhuǎn)相除的方法，運(yùn)算過程較為復(fù)雜。如果采用矩陣的知識, 可使求解過程簡潔許多。原理: 首先，根據(jù)多項式理論，容易得到以下結(jié)論；是常數(shù)；，其中的常數(shù)項非零。用矩陣表示兩個多項式和這樣，結(jié)論表明對該矩陣做初等消法行變換和初等倍法行變換以后不改變最大公因式；同時，還表明當(dāng)?shù)淖畲蠊蚴脚c的最大公因式相同（至多相差常數(shù)倍）。于是，可以對上述矩陣做以上三種變換，使得其中的某行都是零或者只有一個非零數(shù)，進(jìn)而可很快求出它們的最大公因式。比如求的最大公因式。按照以上分析，只要對矩陣進(jìn)行以上三種變換，有因此， 3. 6 歐式空間的中學(xué)模型 中學(xué)數(shù)學(xué)通過坐標(biāo)系建立了點的坐標(biāo)。高等代數(shù)則通過公理化方法推廣了幾何空間，闡述了抽象的線性空間與向量理論。利用基建立了線性空間中各種向量的坐標(biāo), 推導(dǎo)出了向量及向量數(shù)乘的坐標(biāo)計算公式和坐標(biāo)變換公式。幾何空間是歐氏空間最簡單的模型。歐氏空間給出了在標(biāo)準(zhǔn)正交基下, 向量的長度、內(nèi)積、距離、夾角的坐標(biāo)計算公式, 這些公式恰是中學(xué)平面解析幾何中相應(yīng)公式的直接推廣。歐氏空間的理論, 有助于更深刻理解幾何空間中向量長度、夾角、距離等度量概念和特征。利用內(nèi)積的基本性質(zhì), 容易得出著名的勾股定理、余弦定理、Cauchy不等式和一些幾何結(jié)論；通過標(biāo)準(zhǔn)正交基, 可以深刻把握坐標(biāo)系的本質(zhì)；通過正交變換, 可以進(jìn)一步領(lǐng)會中學(xué)里的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的屬性, 等等。37 柯西布涅柯夫斯基不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用柯西布涅柯夫斯基不等式是高等代數(shù)的一個重要不等式，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用例3.9 設(shè)a，b，c 0，且a+b+c 1求證： 證明：評析：在中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)尋求解決方法，有 這一解法看似簡單，但由于必須借助代換“1 a+b+c”，技巧性強(qiáng)，實則難于發(fā)現(xiàn)若基于柯西布涅柯夫斯基不等式，則解法易得：設(shè)，則由柯西布涅柯夫斯基不等式，有，等號當(dāng)且僅當(dāng)a b c 時成立 3. 8矩陣與幾何變換 矩陣作為高等代數(shù)的主要研究對象和最重要的工具, 充分體現(xiàn)了將有關(guān)抽象內(nèi)容的研究通過矩陣的具體運(yùn)算得以實現(xiàn)的重要思想與方法。矩陣是研究圖形 向量 變換的基本工具, 有著廣泛的應(yīng)用, 許多數(shù)學(xué)模型都可用矩陣來表示。在普通高中數(shù)學(xué)新課改中, “矩陣與變換”是選修模塊之一 , 它通過平面圖形的變換討論二階矩陣的乘法與性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量等概念, 初步展示了矩陣應(yīng)用的廣泛性。由于幾何變換包括合同變換、相似變換和反演變換等, 矩陣與幾何變換聯(lián)系密切, 是表示變換的有效方法, 矩陣乘積可以表示變換的合成, 比如表示中的坐標(biāo)或它代表的圖形繞原點旋轉(zhuǎn)角。此外, 矩陣在二次曲線 圓錐曲線 的化簡與分類也是個有效工具。例3.10（2005年高考廣東卷 已知數(shù)列 滿足 A. B3 C4 D5 解:評析：基于中學(xué)數(shù)學(xué)的解決方法，則需令進(jìn)而求出l 1,m -,再由借助疊加法得出：上述解法的繁、難自不必多言若以矩陣基礎(chǔ)理論為視角，則解法易得：依題意，由A的特征多項式3.9 中學(xué)數(shù)學(xué)的“關(guān)系”問題 笛卡兒積 的子集稱為集合A到B 的一個關(guān)系, 其中等價關(guān)系和序關(guān)系是最重要的。映射 函數(shù) 就是一種特殊的關(guān)系。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的關(guān)系很多, 有的是序關(guān)系, 有的是等價關(guān)系, 可以對眾多的關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)的歸納, 把中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容統(tǒng)一在更高觀點之下。2007 年福建省高考數(shù)學(xué)試卷第16 題, 就引入了代數(shù)學(xué)里的重要概念等價關(guān)系, 要求考生在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)給出幾個實際例子。該題通過概念與法則的構(gòu)造, 來考查學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解、分析與判斷能力, 立意較為新穎, 體現(xiàn)了高等代數(shù)觀點在中學(xué)數(shù)學(xué)的滲透,曾在福建中學(xué)數(shù)學(xué)界引起較大反響。 高等代數(shù)許多內(nèi)容的知識背景源于中學(xué), 是在具體的代數(shù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上得出的公理化論述, 也就是從個性中提煉出來的共性。在課程教學(xué)改革實踐中, 不僅要挖掘知識體系方面的聯(lián)系, 更要挖掘數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念方面的聯(lián)系 ,數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)科學(xué)的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)中充盈著豐富的思想方法.本文從不同角度探討了高等代數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法15。數(shù)學(xué)方法論的角度看, 高等代數(shù)在知識上是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高, 在思想方法上是中學(xué)數(shù)學(xué)的延續(xù)和擴(kuò)張, 在觀念上是中學(xué)數(shù)學(xué)的深化和發(fā)展。高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在思想方法方面的聯(lián)系主要體現(xiàn)在抽象化思想、分類思想、結(jié)構(gòu)思想、類比推理思想、公理化方法等方面。善用初等數(shù)學(xué)知識，服務(wù)高等代數(shù)教學(xué)高等代數(shù)是初等數(shù)學(xué)的發(fā)展教學(xué)中要善于發(fā)揮初等數(shù)學(xué)的源頭作用，讓高度抽象的高等代數(shù)概念找到初始的原形，讓復(fù)雜的高等代數(shù)結(jié)論在初等簡單倩況下得到驗證解釋，在對比中辨識高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)在處理問題思維方式上的異同16。注意與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系對比不但可以降低高等代數(shù)課程的學(xué)習(xí)難度, 而且增強(qiáng)本課程對培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)作用。從基本概念、定理以及知識背景等方面闡述高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系, 把中學(xué)數(shù)學(xué)知識恰當(dāng)?shù)厝谌氲礁叩却鷶?shù)的教學(xué)中來, 將收到更好的教學(xué)效果。 4 結(jié)束語 人做任何事都要有一定的目的。目的是否明確是關(guān)系到行動是否認(rèn)真積極的大問題。戰(zhàn)國策?魏策四記載了一個寓言故事，說有個人要往南方楚國去，卻駕著車往北走，盡管地球是圓的，那也要繞大半個地球才能到楚國。這說明目標(biāo)與方法的辯證關(guān)系。要想獲得事半功倍的效果就必須研究行為的目的。 高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)有著不可分割的關(guān)系，相輔相成，高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)既是加深與拓展，也是繼續(xù)和提高，是一種階梯式的跨越。 本論文從代數(shù)的發(fā)展史以及現(xiàn)今數(shù)學(xué)教育教學(xué)上的新要求、新改革，深刻把握高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)之間的關(guān)系，掌握高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo)意義；通過兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)一步論述高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的學(xué)習(xí)與教學(xué)的指導(dǎo)作用；研究高等代數(shù)本身存在的思維方式上的主要特點（對中學(xué)代數(shù)的學(xué)習(xí)與教學(xué)有指導(dǎo)意義的方面），以及高等代數(shù)在中學(xué)代數(shù)中的應(yīng)用，闡述高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的作用。 最后，以傅鷹的一句話總結(jié)全文：“一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)中最寶貴的一部分，因為科學(xué)只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧。”參考文獻(xiàn)1 柯躍海，陳清華高等代數(shù)的“居高”與“臨下” J漳州師范學(xué)院學(xué)報 自然科學(xué)版 2008（3）：115-1202 李忠海，王家鏵代數(shù)課程研究M科學(xué)出版社2006，83 劉桂香“高等代數(shù)”課程教學(xué)改革芻議J揚(yáng)州教育學(xué)院學(xué)報1999（4）：56-584 王淑玲淺談高等數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用J南平師專學(xué)報2002，6（2）：46-485 俞昕論中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之聯(lián)系J湖州師范學(xué)院學(xué)報2002，3（24）：106-1086 程宇高等代數(shù)的教學(xué)應(yīng)注意與中學(xué)知識的聯(lián)系J保定師專學(xué)報2000，4（2）：62-637 侯維民從數(shù)學(xué)方法論看高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的多種聯(lián)系J數(shù)學(xué)教育學(xué)報2003，8（3）：84-878 Michael Eastwood，Vladimir EzhovOn Affine Normal Forms and a Classification of Homogeneous Surfaces in Affine Three-SpaceMKluwer Academic Publishers1998：11-169 Sang Min OhA Note on Singular Value Decomposition2005，1110 李偉高等代數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維若干性質(zhì)的兩重性J合肥師范學(xué)院學(xué)報2009，11（6）：11-1511 朱榮坤高等代數(shù)觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題研究J集美大學(xué)學(xué)報2009，10（4）：76-7912 曹福桃高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用J廣西師范學(xué)院學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版）2006，7（27）：135-13713 胡明娣, 趙臨龍高等代數(shù)觀點下中學(xué)數(shù)學(xué)問題的新認(rèn)識兩例J周口師范學(xué)院學(xué)報2005，9（5）：34-3814 邵遠(yuǎn)夫，肖金戈高等代數(shù)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J銅仁學(xué)院學(xué)報2008，1（1）：81-8415 王文省，喬立山，宋穎高等代數(shù)中的思想方法J棗莊學(xué)院學(xué)報2006，4（2）：5-916 千知覺師專高等代數(shù)課程教學(xué)指導(dǎo)思想研究J數(shù)學(xué)教育學(xué)報1999，2（1）：101-102文獻(xiàn)綜述高等代數(shù)對中學(xué)代數(shù)的指導(dǎo)作用 一、前言部分二、主題部分經(jīng)閱讀大量的資料，對他們的主要成果闡述如下：. 作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該盡可能地把握數(shù)學(xué)發(fā)展的過程，清楚地認(rèn)識大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，有意識地把它貫穿