廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 7.4 直接證明與間接證明課件 文.ppt

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1、7.4直接證明與間接證明,知識梳理,雙基自測,2,1,1.直接證明,成立,充分,知識梳理,雙基自測,2,1,知識梳理,雙基自測,2,1,2.間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法. (1)反證法的定義:假設(shè)原命題(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟:反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.,不成立,矛盾,原命題成立,2,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的

2、打“”. (1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?逐步尋找已知的必要條件. () (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.() (3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.() (4)用反證法證明時(shí),推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾.() (5)常常用分析法尋找解題的思路與方法,用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(),答案,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,2.命題“對于任意角,cos4-sin4=cos 2”的證明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”過程應(yīng)用了() A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使

3、用 D.間接證明法,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3.已知a=lg 2+lg 5,b=ex(xbB.a

4、少有一個(gè)盒子里不少于兩個(gè)球”應(yīng)假設(shè).,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,自測點(diǎn)評 1.分析法是執(zhí)果索因,實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件;綜合法是由因?qū)Ч?就是尋找已知的必要條件. 2.綜合法和分析法都是直接證明的方法,反證法是間接證明的方法. 3.用反證法證題時(shí),首先否定結(jié)論,否定結(jié)論就是找出結(jié)論的反面的情況,然后推出矛盾,矛盾可以與已知、公理、定理、事實(shí)或者假設(shè)等相矛盾.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向一數(shù)列中的證明 例1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知3an-2Sn=2. (1)證明an是等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式an; 思考哪些問題的證明適合用綜合法?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)

5、3,證明:(1)因?yàn)?an-2Sn=2, 所以3an+1-2Sn+1=2, 所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.,所以an是等比數(shù)列. 當(dāng)n=1時(shí),3a1-2S1=2, 又S1=a1,所以a1=2. 所以an的通項(xiàng)公式an=23n-1.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向二立體幾何中的證明 例2如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的正方形,四邊形BDEF是矩形,且平面BDEF平面ABCD,BF=3,G和H分別是CE和CF的中點(diǎn). 求證:AF平面BDGH. 思考在用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時(shí)還經(jīng)常用到什么數(shù)學(xué)方法?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明:如圖,連接A

6、C,設(shè)ACBD=O,連接OH. 在ACF中,因?yàn)镺A=OC,CH=HF. 所以O(shè)HAF,又因?yàn)锳F平面BDGH,OH平面BDGH. 所以AF平面BDGH.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向三不等式中的證明 思考綜合法證明的特點(diǎn)是什么?,證明 由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.綜合法的適用范圍:(1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等,求證沒有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步

7、逼近結(jié)論的題型. 2.用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時(shí)還經(jīng)常用到轉(zhuǎn)化法,例如證明線面平行或垂直一般轉(zhuǎn)化成證明線線平行或垂直. 3.用綜合法證明的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?即從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB平面ABCD, AB=AD,BAD=60,E,F分別是AP,AB的中點(diǎn). 求證:直線EF平面PBC; 平面DEF平面PAB.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)解 因?yàn)镾n=an+1+n-2, 所以當(dāng)n2時(shí),Sn-1=an+(n-1)-2=an+

8、n-3, 兩式相減,得an=an+1-an+1, 即an+1=2an-1. 設(shè)cn=an-1,代入上式, 得cn+1+1=2(cn+1)-1, 即cn+1=2cn(n2). 又Sn=an+1+n-2,則an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3. 所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1. 綜上,對于正整數(shù)n,cn+1=2cn都成立,即數(shù)列an-1是等比數(shù)列,其首項(xiàng)a1-1=1,公比q=2.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)證明 在PAB中,因?yàn)镋,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EFPB. 又因?yàn)镋F平面PBC,PB平面PBC, 所以直線EF平面P

9、BC. 如圖,連接BD. 因?yàn)锳B=AD,BAD=60, 所以ABD為正三角形. 因?yàn)镕是AB的中點(diǎn),所以DFAB. 因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD,DF平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB, 所以DF平面PAB. 又因?yàn)镈F平面DEF, 所以平面DEF平面PAB.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例4已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對邊, 思考哪些問題的證明適合用分析法?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得分析法的適用范圍及證題關(guān)鍵 (1)適用范圍:已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接;證明過程中所需要用的知

10、識不太明確、具體;含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo). (2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵是保證分析過程的每一步都是可逆的,它的常用書面表達(dá)形式為“要證只需證”或用“”.注意用分析法證明時(shí),一定要嚴(yán)格按照格式書寫.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)已知ab0,求證:2a3-b32ab2-a2b.,證明 (1)因?yàn)閙0,所以1+m0. 所以要證原不等式成立, 只需證(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即證m(a2-2ab+b2)0,即證(a-b)20, 而(a-b)20顯然成立,故原不等式得證.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)要證明2a3-b32ab2-a2b成立, 只需證2a3-b3-2

11、ab2+a2b0, 即2a(a2-b2)+b(a2-b2)0, 即(a+b)(a-b)(2a+b)0. ab0,a-b0,a+b0,2a+b0, 從而(a+b)(a-b)(2a+b)0成立, 2a3-b32ab2-a2b.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例5設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和. (1)求證:數(shù)列Sn不是等比數(shù)列. (2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎?為什么? 思考反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵是什么?,(1)證明 假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列, 因?yàn)閍10,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,這與公比q0矛盾, 所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)解 當(dāng)

12、q=1時(shí),Sn=na1,故Sn是等差數(shù)列; 當(dāng)q1時(shí),Sn不是等差數(shù)列.假設(shè)Sn是等差數(shù)列,則2S2=S1+S3, 即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得q=0,這與公比q0矛盾. 綜上,當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列Sn是等差數(shù)列; 當(dāng)q1時(shí),Sn不是等差數(shù)列.,解題心得反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵 (1)適用范圍:當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證法來證. (2)證題的關(guān)鍵:在正確地推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設(shè)矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實(shí)矛盾等.推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明:(1)a+b2; (2

13、)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.,(2)假設(shè)a2+a0,得0