(全國通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 124分項練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 文
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(全國通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 124分項練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 文
1(2018·貴陽模擬 如圖,在ABC 中,BE 是邊 AC 的中線,O 是 BE 邊的中點(diǎn),若ABa,ACb,則AO等于( )124 分項練 4平面向量與數(shù)學(xué)文化A. a b B. a bC. a b D. a b1AE AC,1 AO (ABAE),1 1AO AB AC,ABa,ACb,11AO a b.A. 4 38 C.5 57 D.13 10所以 a 在 ab 方向上的投影為a·(ab) a2a·b1111222411114244答案B解析在ABC 中,BE 是 AC 邊上的中線,2O 是 BE 邊的中點(diǎn),224242已知向量 a(2,4),|b|2,|a2b|8,則 a 在 ab 方向上的投影為(3 25B.10答案D解析由 a(2,4),|b|2,|a2b|8,可知|a| 22422 5,(a2b)2a24b24a·b64,則 a·b7,|ab| a2b22a·b)110207 13 10 .2042×(7)6 4 3 3所以 a·b1,所以 cos ,所以 .4(2018·上饒模擬)設(shè) D,E 為正三角形 ABC 中 BC 邊上的兩個三等分點(diǎn),且 BC2,則AD·AE9 9 9 33若兩個非零向量 a,b 滿足|a|1,|b|2,|2ab|2 3,則 a 與 b 的夾角為()2A.B.C.D.答案C解析設(shè) a,b 的夾角為 , 0, ,則由|a|1,|b|2,|2ab|2 3,得(2ab)212,即(2a)24a·bb244a·b412,123等于()482626A.B.C.D.答案C解析如圖,|AB|AC|2,AB,AC60°, æ1ö æ1ö æ21ö æ12öAD·AEçAB BC÷·çAC CB÷ç AB AC÷·ç AB AC÷2 5 2 |AB|2 AB·AC |AC|2 ×4 ×2×2× ×4.D,E 是邊 BC 的兩個三等分點(diǎn),è3 ø è3 øè33 ø è33 ø999251226992995(2018·煙臺模擬)如果|a|2,|b|3,a·b4,則|a2b|的值是()A24B2 6C24D2 6答案B解析由|a|2,|b|3,a·b4,得|a2b| (a2b)2 a24b24a·b2由等差數(shù)列前 n 項和公式可得 8a12HD·BF0;OA·OD ;OBOH 2OE;|AHFH| 2 2. 4364×42 6.6(2018·昆明模擬)程大位算法統(tǒng)宗里有詩云“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏次第每人多十七,要將第八數(shù)來言務(wù)要分明依次弟,孝和休惹外人傳”意為:996 斤棉花,分別贈送給 8 個子女做旅費(fèi),從第一個開始,以后每人依次多 17 斤,直到第八個孩子為止分配時一定要等級分明,使孝順子女的美德外傳,則第八個孩子分得斤數(shù)為()A65B176C183D184答案D解析根據(jù)題意可得每個孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列an,其中 d17,n8,S8996.8×7×17996,解得 a165.由等差數(shù)列通項公式得 a865(81)×17184.7八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念,如圖 1 是八卦模型圖,其平面圖形記為圖 2 中的正八邊形 ABCDEFGH,其中 OA1,則給出下列結(jié)論:22其中正確結(jié)論的個數(shù)為()HD·BF0,故正確;OA·OD1×1×cos ,故正確;OBOH 2OA 2,故正確;OE|AHFH|AF|OFOA|,A4B3C2D1答案B解析正八邊形 ABCDEFGH中,HDBF,32423則|AF|2112×1×1×cos 2 2,|AF| 2 2,故錯誤34綜上,正確的結(jié)論為,故選 B.8(2018·蕪湖模擬)我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有一道題目,其意是:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升問:米幾何?如圖是源于其思想的一個程序框圖,若輸出的 S2(單位:升),則輸入 k 的值為()第一次:n1<4 成立,n2,Sk ;第二次:n2<4 成立,n3,S ;第三次:n3<4 成立,n4,S ;第四次:n4<4 不成立,輸出 S 2,解得 k8.意一點(diǎn),則PA·PBPA·PC的最小值為( )A6B7C8D9答案C解析閱讀程序框圖,初始化數(shù)值 n1,Sk,循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下:kk22kk k263kkk3124k49(2018·聊城模擬在ABC 中,BC 邊上的中線 AD 的長為 2,點(diǎn) P 是ABC 所在平面上的任A1B2C2D1答案C解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,使得點(diǎn) D 在原點(diǎn)處,點(diǎn) A 在 y 軸上,則 A(0,2)4則PA(x,2y),PO(x,y), ( ) 故PA·PBPA·PCPA· PBPC 2PA·PO2(x2y22y)所以PA·PBPA·PC的最小值為2.設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x,y),2x2(y1)222,當(dāng)且僅當(dāng) x0,y1 時等號成立10(2018·石家莊模擬)三國時期吳國的數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了一副“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明,如圖所示“勾股圓方圖”中由四個全等的直角三角形(直角邊長之比為 1 3)圍成的一個大正方形,中間部分是一個小正方形,如果在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自中間的小正方形部分的概率是()A. 3B. 32423C1D1344k22答案C解析由題意可知,設(shè)直角三角形的直角邊長分別為 k, 3k(k>0),則大正方形的邊長為 2k,小正方形的邊長為( 31)k,所以大正方形的面積為 4k2,小正方形的面積為( 31)2k2,( 31)2k23故所求概率為1.11(2018·南平質(zhì)檢)我國古代著名的數(shù)學(xué)著作有周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、孫子算經(jīng)、五曹算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)、孫丘建算經(jīng)、海島算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)、綴術(shù)、緝古算機(jī)等 10 部算書,被稱為“算經(jīng)十書”某校數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對古代著名的數(shù)學(xué)著作產(chǎn)生濃厚的興趣一天,他們根據(jù)最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些話,甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“我比丁多”;?。骸氨纫叶唷?,有趣5的是,他們說的這些話中,只有一個人說的是真實的,而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù)最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同)甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由少到多的排列是()A乙甲丙丁C丙甲丁乙答案D解析由題意可列表格如下:甲說乙說丙說丁說B甲丁乙丙D甲丙乙丁甲 乙 丙 丁丁>乙甲>丙丙>丁丙>乙| | | | | |12(2018·河北省衡水中學(xué)模擬)已知 OA 2,點(diǎn) C 在線段 AB 上,且 的OB OC對于選項 A,甲,丁說的都對,不符合只有一個人對;對于選項B,丙,丁說的都對,也不符合只有一個人對;對于選項 C,乙說的對,但乙不是最少的,不符合;對于選項 D,甲說的對,也正好是最少的,符合,選 D.| |最小值為 1,則 OAtOB (tR)的最小值為()| | | |解析 OB 2,OA|OC|此時OB與OC的夾角為 60°,OA,OB的夾角為 120°.| OA t OB 2tOA·OB| 又 OAtOBA. 2B. 3C2D. 5答案B點(diǎn) O 在線段 AB 的垂直平分線上點(diǎn) C 在線段 AB 上,且 OC 的最小值為 1,當(dāng) C 是 AB 的中點(diǎn)時 最小,此時 OC 1,222244t22t·2·2·cos 120°4t24t46æ 1ö4çt ÷233,當(dāng)且僅當(dāng) t 時等號成立|13(2018·石家莊模擬)已知向量 a 與 b 的夾角是,|a|1,|b| ,則向量 a2b 與 a答案 解析a·b|a|b|cos ,a·(a2b)a22a·b ,è2ø12 |OAtOB|2 的最小值為 3, OAtOB 的最小值為 3.132的夾角為_313412|a2b| (a2b)214× 4× 1. a24a·b4b21 14 4設(shè)向量 a2b 與 a 的夾角為 ,cos ,所以 .a·(a2b)1|a|a2b|2又因為 0, ,314(2018·寧德質(zhì)檢)我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家張丘建是世界數(shù)學(xué)史上解決不定方程的第一人,他在張丘建算經(jīng)中給出一個解不定方程的百雞問題,問題如下:雞翁一,值錢五,雞母一,值錢三,雞雛三,值錢一百錢買百雞,問雞翁母雛各幾何?用代數(shù)方法表述為:設(shè)雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為x, y, z,則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組ìï5x3y 100,íz3的解其解題過程可用程序框圖表示,如圖所示,則程序框圖中正ïîxyz100整數(shù) m 的值為_7ìï5x3y 100,解析由í得 y25 x,故 x 必為 4 的倍數(shù),15若非零向量 a,b 滿足|b| 2|a|,若(a2b)(3atb),a 與 b 的夾角等于,則實答案4z3ïîxyz100,74當(dāng) x4t 時,y257t,由 y257t>0 得,t 的最大值為 3,故判斷框應(yīng)填入的是 t<4?,即 m4.4數(shù) t 的值為_答案95解析由 a 與 b 的夾角等于可得 a·b a·b4 |a|b| 2| a|2所以|a|20,則有 36t4t0,解得 t .16(2018·咸陽模擬)已知圓的半徑為 1,A,B,C,D 為該圓上四個點(diǎn),且ABACAD,則4cos,故 a·b|a|2.由(a2b)(3atb)可得3a2ta·b6a·b2tb20,即 3|a|2(6t)|a|24t|a|20,又 a 為非零向量,95ABC 面積的最大值為_8解析如圖所示,由ABACAD知,四邊形 ABDC 為平行四邊形,答案12 AD2,ABC 的面積 S AB·AC ·ABC 的面積取得最大值 ×41.又 A,B,C,D 四點(diǎn)共圓,四邊形 ABDC 為矩形,即 BC 為圓的直徑,11AB2AC21224當(dāng) AD 是圓的直徑時,ABC 的面積最大當(dāng) ABAC 時,14我愛我的家1109