2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點 專題二 高考中解答題的審題方法探究3 立體幾何 理
"2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點 專題二 高考中解答題的審題方法探究3 立體幾何 理 "主要題型:高考中的立體幾何題目是很成熟的一種類型,常常考查“平行”、“垂直”兩大證明及“空間角”的計算問題,解題方法上表現(xiàn)為傳統(tǒng)方法與向量方法:傳統(tǒng)方法優(yōu)勢表現(xiàn)為計算簡單,過程簡潔,但是對概念的理解要求深刻、透徹;向量方法更多的體現(xiàn)是作為一種工具,且有固定的“解題套路”,但是要有準(zhǔn)確建立空間直角坐標(biāo)系及較強的運算能力【例5】 (2012·福建)如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中AA1AD1,E為CD中點(1)求證:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由;(3)若二面角AB1EA1的大小為30°,求AB的長審題路線圖長方體ABCDA1B1C1D1,建立空間直角坐標(biāo)系,求出向量與的坐標(biāo),利用·0證明結(jié)論:B1EAD.假設(shè)存在點P(0,0,z0)求,設(shè)平面B1AE的法向量n(x,y,z),求n,利用n·0,證明n,可得出結(jié)論DP平面B1AE.由n求出z0,即得AP的長確定平面A1B1E、AB1E的法向量利用二面角的平面角的度數(shù)即可得到關(guān)于|AB|的方程,從而求得|AB|的值規(guī)范解答(1)以A為原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ABa,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),(2分)故(0,1,1),(a,0,1),.·×01×1(1)×10,B1EAD1.(4分)(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此時(0,1,z0)又設(shè)平面B1AE的法向量n(x,y,z)n平面B1AE,n,n,得取x1,則y,za,得平面B1AE的一個法向量n.(6分)要使DP平面B1AE只要n,有az00,解得z0.又DP平面B1AE,存在點P,滿足DP平面B1AE,此時AP.(8分)(3)連接A1D,B1C,由長方體ABCDA1B1C1D1及AA1AD1,得AD1A1D.B1CA1D,AD1B1C.又由(1)知B1EAD1,且B1CB1EB1,AD1平面DCB1A1,是平面A1B1E的一個法向量,此時(0,1,1)(10分)設(shè)與n所成的角為,則cos .二面角AB1EA1的大小為30°,|cos |cos 30°,即.解得a2,即AB的長為2.(13分)搶分秘訣,(1)利用“線線線面面面”三者之間的相互轉(zhuǎn)化證明有關(guān)位置關(guān)系問題:由已知想未知,由求證想判定,即分析法與綜合法相結(jié)合來找證題思路;利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一.(2)空間角的計算,主要步驟:一作,二證,三算,若用向量,那就是一證、二算.(3)點到平面的距離:直接能作點到面的垂線求距離;利用“三棱錐體積法”求距離;利用向量求解,點P到平面的距離為)(N為P在面內(nèi)的射影,M,n是的法向量).押題4 如圖,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都是4,E是BC的中點,動點F在側(cè)棱CC1上,且不與點C重合(1)當(dāng)CF1時,求證:EFA1C;(2)設(shè)二面角CAFE的大小為,求tan 的最小值【押題4】 圖1 法一過E作ENAC于N,連接EF.(1)證明如圖1,連接NF、AC1,由直棱柱的性質(zhì)知,底面ABC側(cè)面A1C,又底面ABC側(cè)面A1CAC,且EN底面ABC,所以EN側(cè)面A1C,又A1C平面A1C1,ENA1CNF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影,在RtCNE中,CNCEcos 60°1.則由得NFAC1,又AC1A1C,故NFA1C,又NFNEN.圖2A1C平面NEF,又EF平面NEF.EFA1C.(2)解如圖2,連接AF,過N作NMAF于M,連接ME.由(1)知ENAF,又MNENN,AF面MNE,AFME.所以EMN是二面角CAFE的平面角,即EMN.設(shè)FAC,則0°<45°.在RtCNE中,NEEC·sin 60°,在RtAMN中,MNAN·sin 3sin ,故tan .又0°<45°,0<sin .故當(dāng)sin ,即當(dāng)45°時,tan 達到最小值,tan ×,此時F與C1重合法二(1)證明建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系,連接EF,AF,則由已知可得A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E(,3,0),F(xiàn)(0,4,1),于是(0,4,4),E(,1,1)則·E(0,4,4)·(,1,1)0440,故EFA1C.(2)解設(shè)CF(0<4),平面AEF的一個法向量為m(x,y,z),則由(1)得F(0,4,)A(,3,0),A(0,4,),于是由mA,mA可得即取m(,4)又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面A1C的一個法向量為n(1,0,0),于是由為銳角可得cos ,sin ,所以tan .由0<4,得,即tan .故當(dāng)4,即點F與點C1重合時,tan 取得最小值.5