高等數(shù)學(xué)2.8-2點積叉積.ppt

五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,兩點間的距離公式:,與,2. 方向角與方向余弦,設(shè)有兩非零向量,任取空間一點 O ,稱 =AOB (0 ) 為向量,的夾角.,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標(biāo)軸的夾角 , , ,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,3. 向量在軸上的投影,在8.2簡介,方向余弦的性質(zhì):,思考：,若 , , 是向量與三坐標(biāo)面的夾角，,例7. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算向量,例8. 設(shè)點 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標(biāo) .,則,因點 A 在第一卦限 ,故,于是,故點 A 的坐標(biāo)為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,8.2 數(shù)量積 向量積 *混合積,第八章,簡單介紹定義 及計算.,一、兩向量的數(shù)量積,1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,稱,數(shù)量積,(點積) .,在物理學(xué)中,故,2. 性質(zhì),為兩個非零向量,則有,=,2. 性質(zhì),(1),向量在數(shù)軸上的投影(簡介),x,同理可定義向量在y, z軸上的投影,(2),3. 點積的運算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實上, 當(dāng),時, 顯然成立 ;,例1. 證明三角形余弦定理,證:,則,如圖 . 設(shè),4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示!,設(shè),則,當(dāng),為非零向量時,由于,兩向量的夾角公式, 得,例2. 已知三點, AMB .,解:,則,求,故,為 ) .,求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度,例3. 設(shè)均勻流速為,的流體流過一個面積為 A 的平,面域 ,與該平面域的單位垂直向量,解:,單位時間內(nèi)流過的體積,的夾角為,且,平面域曲面域,且曲面上每一點處的流速是 非均勻的(大小方向均變化)?,在第11章我們也能解決,這就是數(shù)學(xué)的魅力.,二、兩向量的向量積,引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點 ,有一個與杠桿夾角為,符合右手規(guī)則,1. 定義,定義,向量,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,引例中的力矩,右圖三角形面積,S,2. 性質(zhì),為非零向量, 則,3. 運算律,(2) 分配律,(3) 結(jié)合律,(證明略),證明:,(交換律不成立!),4. 向量積的坐標(biāo)表示式!,設(shè),則,向量積的行列式計算法,( 行列式計算見上冊P355附錄1),例4. 已知三點,角形 ABC 的面積,解: 如圖所示,求三,*三、向量的混合積(簡介),1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,內(nèi)容小結(jié),設(shè),1. 向量運算,加減:,數(shù)乘:,點積:,叉積:,混合積:,2. 向量關(guān)系:,思考與練習(xí),設(shè),計算,并求,夾角 的正弦與余弦 .,答案:,作業(yè) P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,預(yù)習(xí)8.5,備用題,1. 已知向量,的夾角,且,解：,2 P50 題1 (4)(5),為單位向量,且,解(4),則,三式相加得:,(4)向量,則,(5)已知,且,(5),=( ).,=( ).,同理,則原式=,=36.,36,3.,證:,在線段AB的一側(cè)有一動點P,以PB,PA為邊向外做正方,形PBCD和PAEF,M為D,E的中點(如圖).,證明:(1) PMAB;,(2) PM= AB.,A,B,C,D,P,E,F,M,設(shè),垂直屏幕向外的單位向量為,所以PMAB;,且PM= AB.,4.,證明(1)任意三角形ABC的三條中線可構(gòu)成 1 ;,B,C,A,證:(1)設(shè)ABC三邊的中點分別為D,E,F(如圖),F,D,E,(2) 1 的三條中線構(gòu)成的 三角形2與 ABC 相似, 并求相似比,記,則,三條中線,所以三條中線可構(gòu)成三角形,記為1,(2) 1 的三條中線構(gòu)成的 三角形2與 ABC 相似, 并求相似比,(2)1三條中線,所以2與 ABC 相似, 且相似比為 ,