中考數(shù)學(xué)沖刺專題訓(xùn)練 規(guī)律探索型問題（含解析）

……………………………………………………………最新資料推薦………………………………………………… 規(guī)律探索型問題 一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的） 1．觀察下列等式： 根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（ ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 ∵ ∴個(gè)位數(shù)4個(gè)數(shù)一循環(huán)， ∴， ∴， ∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是：0． 故選A． 2．我們將如圖所示的兩種排列形式的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…），在小于200的數(shù)中，設(shè)最大的“三角形數(shù)”為m，最大的“正方形數(shù)”為n，則m+n的值為（　?。? A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C 【解析】 由圖形知第n個(gè)三角形數(shù)為1+2+3+…+n=，第n個(gè)正方形數(shù)為n2， 當(dāng)n=19時(shí)，=190＜200，當(dāng)n=20時(shí)，=210＞200， 所以最大的三角形數(shù)m=190； 當(dāng)n=14時(shí)，n2=196＜200，當(dāng)n=15時(shí)，n2=225＞200， 所以最大的正方形數(shù)n=196， 則m+n=386， 故選C． 3．已知有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，-1的差倒數(shù)是．如果，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)……依此類推，那么的值是（　?。? A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5 【答案】A 【解析】 ∵， ∴，，，…… ∴這個(gè)數(shù)列以-2，，依次循環(huán)，且， ∵， ∴， 故選：A． 4．如圖，小正方形是按一定規(guī)律擺放的，下面四個(gè)選項(xiàng)中的圖片，適合填補(bǔ)圖中空白處的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由題意知，原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)之和為10， 符合此要求的只有： 故選C． 5．將正整數(shù)1至2018按一定規(guī)律排列如下表： 平移表中帶陰影的方框，方框中三個(gè)數(shù)的和可能是（　?。? A．2019 B．2018 C．2016 D．2013 【答案】D 【解析】 設(shè)中間數(shù)為x，則另外兩個(gè)數(shù)分別為x﹣1、x+1， ∴三個(gè)數(shù)之和為（x﹣1）+x+（x+1）=3x， 根據(jù)題意得：3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013， 解得：x=673或x=672（舍去）或x=672或x=671， ∵673=84×8+1， ∴2019不合題意，舍去； ∵672=84×8， ∴2016不合題意，舍去； ∵671=83×7+7， ∴三個(gè)數(shù)之和為2013， 故選D． 6．下面擺放的圖案，從第二個(gè)起，每個(gè)都是前一個(gè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，第2019個(gè)圖案中箭頭的指向是( ) A．上方 B．右方 C．下方 D．左方 【答案】C 【解析】 如圖所示：每旋轉(zhuǎn)4次一周，2019÷4＝504…3， 則第2019個(gè)圖案中箭頭的指向與第3個(gè)圖案方向一致，箭頭的指向是下方， 故選C. 7．觀察等式：；；已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：、、、、、．若，用含的式子表示這組數(shù)的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a＋2a＋22a＋…＋250a ＝a＋(2＋22＋…＋250)a， ∵， ， ， …， ∴2＋22＋…＋250＝251－2， ∴250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a＋(2＋22＋…＋250)a ＝a＋(251－2)a ＝a＋(2 a－2)a ＝2a2－a ， 故選C. 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題6分，共24分） 9．觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個(gè)圖形中共有_____個(gè)〇． 【答案】6058 【解析】 由圖可得， 第1個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：， 第2個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：， 第3個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：， 第4個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：， …… ∴第2019個(gè)圖形中共有：個(gè)〇， 故答案為：6058． 10．將被3整除余數(shù)為1的正整數(shù)，按照下列規(guī)律排成一個(gè)三角形數(shù)陣 則第20行第19個(gè)數(shù)是_____________________ 【答案】625 【解析】 由圖可得，第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)，…，則前20行的數(shù)字有：1+2+3+…+19+20=210個(gè)數(shù)， ∴第20行第20個(gè)數(shù)是：1+3（210-1）=628， ∴第20行第19個(gè)數(shù)是：628-3=625， 故答案為：625． 11．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)的距離為4，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)（，是整數(shù)）處，那么線段的長度為_______（，是整數(shù)）． 【答案】 【解析】 由于OA=4， 所有第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處時(shí)，OA1=OA=×4=2， 同理第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，離原點(diǎn)的（）2×4處， 同理跳動(dòng)n次后，離原點(diǎn)的長度為（）n×4=， 故線段AnA的長度為4-（n≥3，n是整數(shù)）． 故答案為4-． 12．如圖，在中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；……按照上面的作法進(jìn)行下去，則的面積為_____．（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示） 【答案】 【解析】 由等腰三角形的性質(zhì)得出，由含30°角直角三角形的性質(zhì)得出， 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理，， ， ， ， 同理，， ， ， …， ， 故答案為：． 三、解答題（本大題共3個(gè)小題，每小題12分，共36分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 13．觀察以下等式: 第1個(gè)等式:， 第2個(gè)等式:， 第3個(gè)等式:， 第4個(gè)等式:， 第5個(gè)等式:， ……按照以上規(guī)律，解決下列問題： （1）寫出第6個(gè)等式： ； （2）寫出你猜想的第n個(gè)等式： (用含n的等式表示)，并證明. 【答案】（1）；（2），見解析. 【解析】 解：（1）第6個(gè)等式： （2） 證明：∵右邊左邊. ∴等式成立 14．（閱讀理解） 用的矩形瓷磚，可拼得一些長度不同但寬度均為的圖案．已知長度為、、的所有圖案如下： （嘗試操作） (1)如圖，將小方格的邊長看作，請?jiān)诜礁窦堉挟嫵鲩L度為的所有圖案． （歸納發(fā)現(xiàn)） (2)觀察以上結(jié)果，探究圖案個(gè)數(shù)與圖案長度之間的關(guān)系，將下表補(bǔ)充完整． 圖案的長度 所有不同圖案的個(gè)數(shù) 　 　 　 　 　 　 【答案】(1)見解析；(2)，，. 【解析】 (1)如圖： 根據(jù)作圖可知時(shí)，所有圖案個(gè)數(shù)個(gè)； (2)時(shí)，如圖所示，所有圖案個(gè)數(shù)個(gè)； 同理，時(shí)，所有圖案個(gè)數(shù)個(gè)， 故答案為，，. 15．問題提出： 如圖，圖①是一張由三個(gè)邊長為 1 的小正方形組成的“L”形紙片，圖②是一張 a× b 的方格紙（a× b的方格紙指邊長分別為 a，b 的矩形，被分成 a× b個(gè)邊長為 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 為正整數(shù)） ．把圖①放置在圖②中，使它恰好蓋住圖②中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？ 問題探究： 為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后得出一般性的結(jié)論． 探究一： 把圖①放置在 2× 2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？ 如圖③，對(duì)于 2×2的方格紙，要用圖①蓋住其中的三個(gè)小正方形，顯然有 4 種不同的放置方法． 探究二： 把圖①放置在 3×2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？ 如圖④，在 3×2的方格紙中，共可以找到 2 個(gè)位置不同的 2 ×2方格，依據(jù)探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在 3×2 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有 2 ×4＝8種 不同的放置方法． 探究三： 把圖①放置在 a ×2 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？ 如圖⑤， 在 a ×2 的方格紙中，共可以找到______個(gè)位置不同的 2×2方格，依據(jù)探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在 a× 2 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有______種不同的放置方法． 探究四： 把圖①放置在 a ×3 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？ 如圖⑥，在 a ×3 的方格紙中，共可以找到______個(gè)位置不同的 2×2方格，依據(jù)探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在 a ×3 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有_____種不同的放置方法． …… 問題解決： 把圖①放置在 a ×b的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖．） 問題拓展： 如圖，圖⑦是一個(gè)由 4 個(gè)棱長為 1 的小立方體構(gòu)成的幾何體，圖⑧是一個(gè)長、寬、高分別為 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整數(shù)）的長方體，被分成了a×b×c個(gè)棱長為 1 的小立方體．在圖⑧的不同位置共可以找到______個(gè)圖⑦這樣的幾何體． 【答案】探究三：， ；探究四：， ；問題解決：共有種不同的放置方法；問題拓展：8(a-1)(b-1)(c-1). 【解析】 探究三： 根據(jù)探究二，a×2的方格紙中，共可以找到（a-1）個(gè)位置不同的 2×2方格， 根據(jù)探究一結(jié)論可知，每個(gè)2×2方格中有4種放置方法，所以在a×2的方格紙中，共可以找到（a-1）×4=（4a-4）種不同的放置方法； 故答案為a-1，4a-4； 探究四： 與探究三相比，本題矩形的寬改變了，可以沿用上一問的思路：邊長為a，有（a-1）條邊長為2的線段， 同理，邊長為3，則有3-1=2條邊長為2的線段， 所以在a×3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）個(gè)位置不同的2×2方格， 根據(jù)探究一，在在a×3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有（2a-2）×4=（8a-8）種不同的放置方法． 故答案為2a-2，8a-8； 問題解決： 在a×b的方格紙中，共可以找到（a-1）（b-1）個(gè)位置不同的2×2方格， 依照探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在a×b的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有4（a-1）（b-1）種不同的放置方法； 問題拓展： 發(fā)現(xiàn)圖⑦示是棱長為2的正方體中的一部分，利用前面的思路， 這個(gè)長方體的長寬高分別為a、b、c，則分別可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）條邊長為2的線段， 所以在a×b×c的長方體共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方體， 再根據(jù)探究一類比發(fā)現(xiàn)，每個(gè)2×2×2的正方體有8種放置方法， 所以在a×b×c的長方體中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）個(gè)圖⑦這樣的幾何體； 故答案為8（a-1）（b-1）（c-1）．