2020年中考數(shù)學基礎(chǔ)題型提分講練專題01數(shù)與式含解析

專題01 數(shù)與式 必考點1 實數(shù)的分類 【典例1】（2019·湖北中考真題）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（　?。? A．3.1415 B． C． D． 【答案】D 【解析】 是有理數(shù)，是無理數(shù)， 故選：． 【點睛】 本題考查無理數(shù)的定義；能夠準確辨識無理數(shù)是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 1．（2019·山東中考真題）在實數(shù)，，，中有理數(shù)有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】B 【解析】 在實數(shù)，，，中＝2，有理數(shù)有，共2個． 故選：B． 【點睛】 此題主要考查實數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟知無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別. 2．（2019·江蘇初二月考）下列各數(shù)中，，無理數(shù)的個數(shù)有 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】B 【解析】 試題分析：無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，由此可得出無理數(shù)的個數(shù)，因此，由定義可知無理數(shù)有：0.131131113…，﹣π，共兩個。故選B。 3．（2019·遼寧中考真題）下列各數(shù)是正數(shù)的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；是正數(shù)； 和都是負數(shù)． 故選：． 【點睛】 本題考查的是正數(shù)，熟練掌握正數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵. 必考點2 實數(shù)中的幾個概念 1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。 （1）實數(shù)a的相反數(shù)是 -a； （2）a和b互為相反數(shù)a+b=0 2、倒數(shù)： （1）實數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)是；（2）a和b 互為倒數(shù)；（3）注意0沒有倒數(shù) 3、絕對值： （1）一個數(shù)a 的絕對值有以下三種情況： （2）實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值，就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離。 （3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號里面的實數(shù)進行數(shù)性（正、負）確認，再去掉絕對值符號。 4、平方根與立方根 （1）平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a≥0，稱叫a的平方根，叫a的算術(shù)平方根。 （2）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。 （3）立方根：叫實數(shù)a的立方根。 （4）一個正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數(shù)有一個負的立方根。 【典例2】（2019·山東中考真題）2019的倒數(shù)的相反數(shù)是（　　） A．-2019 B． C． D．2019 【答案】B 【解析】 2019的倒數(shù)是， 的相反數(shù)為， 所以2019的倒數(shù)的相反數(shù)是， 故選B． 【點睛】 本題考查了倒數(shù)和相反數(shù)，熟練掌握倒數(shù)和相反數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 4．（2019·四川中考真題）的絕對值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根據(jù)數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值的定義，在數(shù)軸上，點到原點的距離是，所以，的絕對值是，故選C。 5．（2019·湖北中考真題）下列四個數(shù)：，，，中，絕對值最大的數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵|-3|=3，|-0.5|=0.5，||=，||=且0.5＜＜＜3， ∴所給的幾個數(shù)中，絕對值最大的數(shù)是-3． 故選：A． 【點睛】 此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法以及絕對值的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實數(shù)＞0＞負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小． 必考點3 實數(shù)的混合運算 實數(shù)的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。 【典例3】（2019·四川中考真題）計算：． 【答案】 【解析】 解：原式 【點睛】 考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵． 【舉一反三】 6．（2019·山東中考真題）計算： 【答案】2019. 【解析】 解：原式． 【點睛】 此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 必考點4 有效數(shù)字和科學記數(shù)法 1、科學記數(shù)法：設(shè)N＞0，則N= a×（其中1≤a＜10，n為整數(shù)）。 2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個有效數(shù)字。 【典例4】（2019·浙江中考真題）太陽距離銀河系中心約為250000000000000000公里，其中數(shù)據(jù)250000000000000000用科學記數(shù)法表示為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 將250000000000000000用科學記數(shù)法表示為． 故選B． 【點睛】 此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值． 【舉一反三】 7.（2019·四川中考真題）第二屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2019年4月25日至27日在北京召開，“一帶一路”建設(shè)進行5年多來，中資金融機構(gòu)為“一帶一路”相關(guān)國家累計發(fā)放貸款250000000000元，重點支持了基礎(chǔ)設(shè)施、社會民生等項目．數(shù)字250000000000用科學記數(shù)法表示，正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 數(shù)字250000000000用科學記數(shù)法表示，正確的是 故選：B． 【點睛】 此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值． 必考點5 整式的概念與整式運算 1、概念 （1）單項式：像x、7、，這種數(shù)與字母的積叫做單項式。單獨一個數(shù)或字母也是單項式。 單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項式的次數(shù)。 單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。 （2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。 多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。 多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。不含字母的項叫常數(shù)項。 升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升（降）冪排列。 （3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。 2、運算 （1）整式的加減： 合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。 去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變；括號前面是“–”號，把括號和它前面的“–”號去掉，括號里的各項都變號。 添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“–”號，括到括號里的各項都變號。 整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項。 （2）整式的乘除： 冪的運算法則：其中m、n都是正整數(shù) 同底數(shù)冪相乘：；同底數(shù)冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。 單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。 單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。 多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。 乘法公式： 平方差公式：； 完全平方公式：， 【典例5】（2019·山東中考真題）下列運算正確的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A、，故本選項錯誤；B、，故本選項錯誤； C、，正確；D、，故本選項錯誤，故選C． 【點睛】 本題考查了單項式乘法法則，同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)，去括號法則，積的乘方的性質(zhì)．熟練掌握各運算的運算法則是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 8.（2019·山東中考真題）下列計算錯誤的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 選項A，單項式×單項式，，選項正確 選項B，積的乘方，，選項正確 選項C，同底數(shù)冪的除法，，選項錯誤 選項D，合并同類項，，選項正確 故選：C． 【點睛】 本題主要考查單項式乘單項式，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法，熟練運用各運算公式是解題的關(guān)鍵． 9.（2019·四川中考真題）若.則___________. 【答案】4 【解析】 ∵ ∴ 【點睛】 本題考查了同底數(shù)冪相乘的逆運算，冪的乘方逆運算，掌握運算法則即可求解. 10.（2019·山東中考模擬）若是關(guān)于的完全平方式，則__________． 【答案】7或-1 【解析】 ∵x2+2（m-3）x+16是關(guān)于x的完全平方式， ∴2（m-3）=±8， 解得：m=-1或7， 故答案為-1或7． 點睛：此題主要考查了完全平方公式，正確掌握完全平方公式的基本形式是解題關(guān)鍵． 必考點6 因式分解 1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法： （2）運用公式法： 平方差公式：；完全平方公式： （3）十字相乘法： （4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。 （5）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有： 3、因式分解的一般步驟： （1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法； （3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考慮用分組分解法。 【典例6】（2019·山東中考真題）分解因式：_____． 【答案】 【解析】 原式 . 故答案為． 【點睛】 此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關(guān)鍵． 【舉一反三】 11.（2019·四川中考真題）分解因式：_______． 【答案】 【解析】 解：原式． 故答案為： 【點睛】 本題考查了分組分解法分解因式，難點是采用兩兩分組還是三一分組．比如本題有a的二次項，a的一次項，有常數(shù)項，所以首要考慮的就是三一分組． 必考點7 分式及其運算 1、分式定義：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。 （1）分式無意義：B=0時，分式無意義； B≠0時，分式有意義。 （2）分式的值為0：A=0，B≠0時，分式的值等于0。 2、分式的基本性質(zhì)： （1）；（2） 3、分式的運算： （1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。 （2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。 （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。 【典例7】（2019·山東中考真題）計算的正確結(jié)果是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 原式 . 故選B． 【點睛】 本題考查分式的通分和分式的約分的運用，解題關(guān)鍵在于在解答的過程中注意符號的運用及平方差公式的運用． 【舉一反三】 12.（2019·山東中考真題）先化簡，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 ． ∵． ，， ，． ． 原式的值為． 【點睛】 本題是分式化簡求值題，需要熟練掌握通分和因式分解及分式乘除法運算． 必考點8 二次根式及其運算 1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。 （1）最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。 （2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。 （4）有理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式（常用的有理化因式有：與；與） 2、二次根式的性質(zhì)： （1） ；（2）；（3）（a≥0，b≥0）；（4） 3、運算： （1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。 （2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。 （3）二次根式的除法： 二次根式運算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。 【典例8】 （2019·四川中考真題）函數(shù)自變量x的取值范圍是 _____. 【答案】x≥1且x≠3 【解析】 根據(jù)題意得：，解得x≥1，且x≠3，即：自變量x取值范圍是x≥1且x≠3．故答案為x≥1且x≠3． 考點：函數(shù)自變量的取值范圍；分式有意義的條件；二次根式有意義的條件． 【舉一反三】 13.（2019·江蘇中考真題）計算的結(jié)果是_____________． 【答案】0 【解析】 原式＝2-2＝0． 故答案為0． 【點睛】 本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可． 1.（2019·山東中考真題）在實數(shù)，，，中有理數(shù)有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】B 【解析】 在實數(shù)，，，中＝2，有理數(shù)有，共2個． 故選：B． 【點睛】 此題主要考查實數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟知無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別. 2.（2019·四川中考真題）的值為（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】 ．故選：B． 【點睛】 本題考查絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的計算. 3.（2019·山東初一期末）若則的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：∵0＜x＜1， ∴可假設(shè)x=0.1， 則，x2=（0.1）2= <0.1<10 x2<x< 故選C 4.（2019·浙江中考真題）寧波是世界銀行在亞洲地區(qū)選擇的第一個開展垃圾分類試點項目的城市，項目總投資1526000000元人民幣數(shù)1526000000用科學記數(shù)法表示為（ ） A． B．  C．  D． 【答案】C 【解析】 數(shù)字1526000000科學記數(shù)法可表示為1.526×109元． 故選C． 【點睛】 此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值． 5.（2019·山東中考真題）下列計算正確的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A.，故此選項錯誤； B.，故此選項錯誤； C.，故此選項錯誤； D.，正確． 故選：D． 【點睛】 此題主要考查了平方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 6.（2019·重慶中考真題）估計的值應在（ ） A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間 【答案】C 【解析】 解：=2+6=2+ 又因為4＜＜5 所以6＜2+＜7 故答案為C. 【點睛】 本題考查了二次根式的化簡，其中明確化簡方向和正確的估值是解題的關(guān)鍵. 7.（2019·四川中考真題）下列運算正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：A．，此選項計算正確； B．，此選項計算錯誤； C．，此選項計算錯誤； D．，此選項計算錯誤； 故選：A． 【點睛】 本題主要考查合并同類項法則、積的乘方、完全平方公式和單項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則． 8.（2019·浙江中考模擬）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，則m2+n2=（ ） A．10 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【解析】 根據(jù)完全平方公式可得，，再把兩式相加即可求得結(jié)果. 由題意得， 把兩式相加可得，則 故選C. 9.（2019·四川中考真題）函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是（　　） A．且 B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：x+2≥0且x-1≠0， 解得：x≥-2且x≠1． 故選：A． 10.（2019·山西中考真題）下列二次根式是最簡二次根式的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A. ，故A選項不符合題意； B. ，故B選項不符合題意； C. ，故C選項不符合題意； D. 是最簡二次根式，符合題意， 故選D. 【點睛】 本題考查了最簡二次根式的識別，熟練掌握二次根式的化簡以及最簡二次根式的概念是解題的關(guān)鍵. 11.（2019·四川中考真題）單項式與是同類項，則______． 【答案】1 【解析】 解：由題意知，即， ∴，，， 則， 故答案為：1． 【點睛】 此題考查了同類項的定義和二次根式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握同類項的定義，難度一般． 12.（2019·江蘇中考真題）計算：的結(jié)果是_____. 【答案】 【解析】 = = =(5-4)2018× =+2， 故答案為+2. 【點睛】 本題考查了積的乘方的逆用，平方差公式，熟練掌握相關(guān)的運算法則是解題的關(guān)鍵. 13.（2019·四川中考真題）因式分解：m2n+2mn2+n3＝_____． 【答案】n（m+n）2 【解析】 解：m2n+2mn2+n3 ＝n（m2+2mn+n2） ＝n（m+n）2． 故答案為：n（m+n）2 【點睛】 此題考查提公因式法與公式法的綜合運用，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則. 14.（2019·安徽中考真題）計算的結(jié)果是__________. 【答案】3 【解析】 解：， 故答案為3 【點睛】 本題考查了二次根式的除法，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵. 15.（2019·貴州中考真題）計算：2sin60°+|2|+（﹣1）﹣1 【答案】3. 【解析】 2sin60°+|2|+（﹣1）﹣1 ＝221﹣（﹣2） 21 ＝3. 16.（2019·四川中考真題）先化簡，再求值：，其中． 【答案】1 【解析】 解：原式 將代入原式 【點睛】 考查整式的混合運算，靈活運用兩條乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵，同時，在去括號的過程中要注意括號前的符號，若為負號，去括號后，括號里面的符號要改變.