人教版八下數學 第17章 勾股定理 微專題三 立體圖形中的最短線路問題

人教版八下數學 第17章 勾股定理 微專題三 立體圖形中的最短線路問題 1. 如圖，圓柱的底面半徑為 6?cm，高為 10?cm，螞蟻在圓柱表面爬行，從點 A 爬到點 B 的最短路程是多少厘米（結果保留小數點后一位）？ 2. 如圖，圓柱的底面周長是 14?cm，圓柱高為 24?cm，一只螞蟻如果要沿著圓柱的表面從下底面點 A 爬到與之相對的上底面點 B，那么它爬行的最短路程為 ?? A． 14?cm B． 15?cm C． 24?cm D． 25?cm 3. 如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽路不計）的高為 12?cm，底面周長為 10?cm，在容器內壁離容器底部 3?cm 的點 B 處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且在離容器上部 3?cm 的點 A 處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路程是 ?? A． 13?cm B． 261?cm C． 61?cm D． 234?cm 4. 如圖，長方體的底面邊長分別為 2?cm 和 4?cm，高為 5?cm．若一只螞蟻從 P 點開始經過 4 個側面爬行一圈到達 Q 點，則螞蟻爬行的最短路徑長為 ?? A． 13?cm B． 12?cm C． 10?cm D． 8?cm 5. 我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為 20 尺，底面周長為 3 尺，有葛藤自點 A 處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點 B 處．則問題中葛藤的最短長度是 尺． 6. 如圖①，圓柱的底面半徑為 4?cm，圓柱高 AB 為 2?cm，BC 是底面直徑，求一只螞蟻從點 A 出發(fā)沿圓柱表面爬行到點 C 的最短路線，小明設計了兩條路線： 路線 1：高線 AB+ 底面直徑 BC，如圖①所示，設長度為 l1． 路線 2：側面展開圖中的線段 AC，如圖②所示，設長度為 l2． 請按照小明的思路補充下面解題過程： (1) 解：l1=AB+BC=2+8=10， l2=AB2+BC2=22+4π2=4+16π2； ∵l12-l22= ． (2) 小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為 2?cm，高 AB 為 4?cm”繼續(xù)按前面的路線進行計算．（結果保留 π） ①此時，路線 1:l1= ； 路線 2:l2= ． ②選擇哪條路線較短？試說明理由． 答案 1. 【答案】答圖略，將圓柱展開，側面為矩形， ∴AB=6π2+102≈21.3cm． 答：螞蟻從點 A 爬到點 B 的最短路程約是 21.3?cm． 2. 【答案】D 3. 【答案】A 4. 【答案】A 5. 【答案】 25 6. 【答案】 (1) 96-16π2 (2) ① 8；24+π2 ② ∵l12-l22=82-16+4π2=48-4π2=412-π2>0． ∴l(xiāng)12>l22，即 l1>l2． 所以選擇路線 2 較短． 【解析】 (1) l1=AB+BC=2+8=10， l2=AB2+BC2=22+4π2=4+16π2， ∵l12-l22=102-4+16π2=96-16π2=166-π2<0， ∴l(xiāng)12<l22，即 l1<l2，所以選擇路線 1 較短．