（全國(guó)120套）2013年中考數(shù)學(xué)試卷分類(lèi)匯編 操作與探究

操作與探究1、（13年北京5分22）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)AFQ=BGM=CHN=DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積。小明發(fā)現(xiàn)：分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）請(qǐng)回答：（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無(wú)縫隙，不重疊），則這個(gè)新的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)；（2）求正方形MNPQ的面積。參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在等邊ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊RPQ，若，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)。解析：考點(diǎn)：操作與探究（旋轉(zhuǎn)、從正方形到等邊三角形的變式、全等三角形）2、（2013成都市）如圖，為上相鄰的三個(gè)等分點(diǎn)，弧，點(diǎn)在弧上，為的直徑，將沿折疊，使點(diǎn)與重合，連接，.設(shè)，.先探究三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)， .請(qǐng)繼續(xù)探究三者的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)時(shí)，_；當(dāng)時(shí)，_.（參考數(shù)據(jù)：，）答案：；或解析：3、（2013山西，21，8分）（本題8分）如圖，在ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)。（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）。作DAC的平分線AM。連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F?！窘馕觥拷猓鹤鲌D正確，并有痕跡。連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F。（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。【解析】解：AFBC且AF=BC理由如下：AB=AC,ABC=CDAC=ABC+C=2C由作圖可知：DAC=2FACC=FAC.AFBC.E是AC的中點(diǎn)， AE=CE, AEF=CEB AEFCEB AF=BC.4、（13年山東青島、23）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖和圖發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式第23題圖第23題圖這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化?！狙芯克偎恪康?3題圖提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：（1）畫(huà)長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43的矩形面積或（4073）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43（4010）×403×75×4×1003×72021用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果歸納提煉：兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）_第23題圖【研究方程】提出問(wèn)題：怎么圖解一元二次方程幾何建模：（1）變形：（2）畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，構(gòu)造圖（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，或四個(gè)長(zhǎng)，寬的矩形之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積即： 歸納提煉：求關(guān)于的一元二次方程的解要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）【研究不等關(guān)系】提出問(wèn)題：怎么運(yùn)用矩形面積表示與的大小關(guān)系（其中）？幾何建模：第23題圖（1）畫(huà)長(zhǎng)，寬的矩形，按圖方式分割（2）變形：（3）分析：圖中大矩形的面積可以表示為；陰影部分面積可以表示為，畫(huà)點(diǎn)部分的面積可表示為，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知：，即歸納提煉：當(dāng)，時(shí)，表示與的大小關(guān)系根據(jù)題意，設(shè)，要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）解析：5、(2013年江西省)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：操作發(fā)現(xiàn)： 在等腰ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DFAB于點(diǎn)F，EGAC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是 （填序號(hào)即可） AF=AG=AB；MD=ME；整個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；DAB=DMB數(shù)學(xué)思考： 在任意ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；類(lèi)比探索： 在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷MED的形狀 答： 【答案】 解：操作發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)思考：答：MD=ME，MDME， 、MD=ME；如圖2，分別取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連接DF，MF，MG，EG，M是BC的中點(diǎn)，MFAC，MF=AC又EG是等腰RtAEC斜邊上的中線，EGAC且EG=AC，MF=EG同理可證DF=MGMFAC，MFABAC=180°同理可得MGA+BAC=180°，MFA=MGA又EGAC，EGA=90°同理可得DFA=90°，MFA+DFA=MGA=EGA，即DFM=MEG，又MF=EG，DF=MG，DFMMGE（SAS），MD=ME 2、MDME；證法一：MGAB，MFA+FMG=180°，又DFMMGE，MEG=MDF.MFA+FMD+DME+MDF=180°，其中MFA+FMD+MDF=90°，DME=90°.即MDME；證法二：如圖2，MD與AB交于點(diǎn)H，ABMG，DHA=DMG，又DHA=FDM+DFH,即DHA=FDM+90°,DMG=DME+GME，DME=90°即MDME；類(lèi)比探究答：等腰直角三解形【考點(diǎn)解剖】 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識(shí)，能力要求很高【解題思路】 （1） 由圖形的對(duì)稱(chēng)性易知、都正確，DAB=DMB=45°也正確；（2）直覺(jué)告訴我們MD和ME是垂直且相等的關(guān)系，一般由全等證線段相等，受圖1DFMMGE的啟發(fā)，應(yīng)想到取中點(diǎn)構(gòu)造全等來(lái)證MD=ME，證MDME就是要證DME=90°，由DFMMGE得EMG=MDF, DFM中四個(gè)角相加為180°，F(xiàn)MG可看成三個(gè)角的和，通過(guò)變形計(jì)算可得DME=90° （3）只要結(jié)論，不要過(guò)程，在（2）的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形.【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 由特殊到一般，形變但本質(zhì)不變（仍然全等）【關(guān)鍵詞】 課題學(xué)習(xí) 全等 開(kāi)放探究6、（2013山西，25，13分）（本題13分）數(shù)學(xué)活動(dòng)求重疊部分的面積。問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片ABC和DEF疊放在一起，其中ACB=E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。求重疊部分（DCG）的面積。（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題。【解析】解：ACB=90°D是AB的中點(diǎn),（25題（1）DC=DB=DA,B=DCB又ABCFDE，F(xiàn)DE=BFDE=DCB,DGBCAGD=ACB=90°DGAC又DC=DA,G是AC的中點(diǎn),CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3SDCG=×CG·DG=×4×3=6（2）合作交流：“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DEAB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程。【解析】解法一：（25題（2）ABCFDE,B=1C=90°,EDAB,A+B=90°, A+2=90°,B=2,1=2GH=GDA+2=90°,1+3=90°A=3,AG=GD，AG=GH點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)，在RtABC中，AB= 10D是AB的中點(diǎn)，AD=AB=5在ADH與ACB中，A =A，ADH=ACB=90°,ADHACB, =,=,DH=,SDGHSADH××DH·AD=××5=（25題（2）解法二：同解法一，G是AH的中點(diǎn)，連接BH，DEAB，D是AB的中點(diǎn)，AH=BH，設(shè)AH=x則CH-在RtBCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=SABH=AH·BC=××6=（25題（2）S=SADH=× SABH=×=.解法三：同解法一，1=2連接CD，由（1）知，B=DCB=1，1=2=B=DCB，DGHBDC, 作DMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，D是AB的中點(diǎn)，ACB=90°CD=AD=BD，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，DM=BC=×6=3在RtABC中，AB=10，AC·BC=AB·CN，CN.DGHBDC, ,=（3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題?！皭?ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖(3)，將DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN求重疊部分(DMN)的面積、任務(wù)：請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題，直接寫(xiě)出DMN的面積是 請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題，并在圖中畫(huà)出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）。（25題（3）（25題（4）【答案】注：此題答案不唯一，語(yǔ)言表達(dá)清晰、準(zhǔn)確得1分，畫(huà)圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DEBC于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。7、（2013達(dá)州）通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類(lèi)的目的。下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整。FF原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說(shuō)明理由。（1）思路梳理AB=CD，把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG，可使AB與AD重合。ADC=B=90°，F(xiàn)DG=180°，點(diǎn)F、D、G共線。根據(jù)_SAS_，易證AFG_AFE_，得EF=BE+DF。（2）類(lèi)比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，EAF=45°。若B、D都不是直角，則當(dāng)B與D滿(mǎn)足等量關(guān)系_互補(bǔ)_時(shí)，仍有EF=BE+DF。（3）聯(lián)想拓展如圖3，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程。 解：BD2+EC2=DE2解析：(1)SAS(1分） AFE(2分）(2)B+D=180°(4分）(3)解：BD2+EC2=DE2.(5分）AB=AC，把ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ACG，可使AB與AC重合.ABC中，BAC=90°.ACB+ACG=ACB+B=90°,即ECG=90°.EC2+CG2=EG2.(7分）在AEG與AED中,EAG=EAC+CAG=EAC+BAD=90°-EAD=45°=EAD,又AD=AG，AE=AE，AEGAED.DE=EG.又CG=BD,BD2+EC2=DE2.(9分）8、（2013陜西壓軸題）問(wèn)題探究（1）請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；（2）如圖，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由.問(wèn)題解決（3）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB=，CD=，且，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.圖圖ABCDMB圖ACDP（第25題圖）考點(diǎn)：本題陜西近年來(lái)考查的有：折疊問(wèn)題，勾股定理，矩形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，面積問(wèn)題及最值問(wèn)題，位似的性質(zhì)應(yīng)用等。此題考查對(duì)圖形的面積等分問(wèn)題。解析：此題主要考查學(xué)生的閱讀問(wèn)題的能力，綜合問(wèn)題的能力，動(dòng)手操作能力，問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，分析圖形能力和知識(shí)的遷徙能力，從特殊圖形到一般的過(guò)渡，從特殊中發(fā)現(xiàn)關(guān)系到一般的知識(shí)遷移的過(guò)程。（1）問(wèn)較易解決，圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達(dá)到目的。（2）問(wèn)中其實(shí)在八年級(jí)學(xué)習(xí)四邊形時(shí)好可解決此類(lèi)問(wèn)題。平行四邊形過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)的直線將平行四邊形分成面積相等的兩個(gè)部分。而在正方形中就更特殊，常見(jiàn)的是將正方形重疊在一起旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的圖形的面積不變的考查，此題有這些知識(shí)的積累足夠解決。（3）問(wèn)中可以考慮構(gòu)造（1）（2）中出現(xiàn)的特殊四邊形來(lái)解決。也可以用中點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)解決。在中學(xué)數(shù)學(xué)中中點(diǎn)就有兩個(gè)方面的應(yīng)用，一是中線（倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形或者是平行四邊形）二是中位線的應(yīng)用。解：（1）如圖所示（2）如圖，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分.理由如下：答圖ABCDM（第25題答案圖）答圖OPQFE點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心AP=CQ，EB=DF，D在AOP和EOB中，AOP=90°-AOE，BOE=90°-AOEAOP=BOEOA=OB，OAP=EBO=45°AOPEOBAP=BE=DF=CQ AE=BQ=CF=PD設(shè)點(diǎn)O到正方形ABCD一邊的距離為.直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分另解：點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心OA=OB=OC=OD OAP=OBE=OCQ=ODF=45°PQEF，POD+DOF=90°，POD+POA=90°POA=DOF同理：POA=DOF=BOE=COQAOPBOECOQDOF直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分（3）B答圖ACDP（第25題答案圖）MQFE存在.當(dāng)BQ=CD=時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分.理由如下：如圖，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE=，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF=，連接EF.BECF，BE=CF 四邊形BCFE為平行四邊形，BC=BE=+，平行四邊形DBFE為菱形連接BF交AD于點(diǎn)M，則MABMDFAM=DM.即點(diǎn)P、M重合.點(diǎn)P是菱形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，在BC上截取BQ=CD=，則CQ=AB=.設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為所以當(dāng)BQ=時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.另解：存在.當(dāng)BQ=CD=時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分.理由如下：如圖，連接BP并延長(zhǎng)BP交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CP點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，PA=PDABCD，ABP=DFP，APB=DPF APBDPFB答圖ACDP（第25題答案圖）QFAB=DF，PB=PF，所以CP是CBF的中線，AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，CBF=CFBABP=DFPABP=CBP即PB是角平分線.點(diǎn)P到AB與CB的距離相等，BQ=，所以CQ=AB= 所以當(dāng)BQ=時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.