（泰安專版）2019版中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識過關(guān) 第三章 函數(shù)及其圖象 第11講 反比例函數(shù)課件.ppt

第11講 反比例函數(shù),總綱目錄,泰安考情分析,基礎(chǔ)知識過關(guān),知識點一反比例函數(shù)的定義 一般地,形如y=(k0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù),其中k為反比例函數(shù)的系數(shù). 溫馨提示(1)y=(k0)可變形為k=xy(k0),用此式可直接求出k的值,得到反比例函數(shù)的解析式; (2)y=(k0)可變形為y=kx-1(k0),特別值得注意的是自變量x的指數(shù)為-1; (3)對于反比例函數(shù)y=,需要滿足k0,x0,y0.,知識點二反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.反比例函數(shù)的圖象:反比例函數(shù)y= (k0)的圖象是雙曲線 ,因為x0,所以y0,所以反比例函數(shù)的圖象無限接近x軸和y軸,但不會與x軸、y軸相交.,2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),溫馨提示反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.其對稱軸是直線y=x和直線y=-x,對稱中心是原點.,知識點三反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義 1.反比例函數(shù)y=(k0)中k的幾何意義 由雙曲線y=(k0)上任意一點向兩坐標(biāo)軸作垂線,兩垂線與坐 標(biāo)軸圍成的矩形面積為|k|. 如圖(1)和圖(2),=PAPB=|y||x|=|xy|=|k|. 同理可得,SOPA=SOPB=|xy|=|k|.,,2.計算與雙曲線上的點有關(guān)的圖形面積 SAOP= |k|;SAPB= |k|;SAPP=2|k|.,知識點四求反比例函數(shù)的解析式 1.由反比例函數(shù)y= (k0)的解析式中只有一個待定系數(shù)k可知, 只需已知一組對應(yīng)值或圖象上一點的坐標(biāo)即可求出k的值. 2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的步驟 (1)設(shè)所求反比例函數(shù)的解析式為y= (k0); (2)把已知的一對x、y的值(或圖象上已知點的坐標(biāo))代入解析式,得到關(guān)于k的方程; (3)解出k的值,寫出反比例函數(shù)解析式.,3.反比例函數(shù)的解析式,除了常見的y= 外,還可以表示為y=kx-1或 xy=k(k不為0).,知識點五反比例函數(shù)的應(yīng)用 解決與反比例函數(shù)有關(guān)的實際問題時,一般要先確定函數(shù)解析式,再利用圖象找出解決問題的方案,要特別注意自變量的取值范圍. 具體的過程大致可以總結(jié)為建立反比例函數(shù)模型求出反比例函數(shù)表達式結(jié)合函數(shù)表達式、圖象性質(zhì)作出解答,特別要注意自變量的取值范圍.,泰安考點聚焦,考點一反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 考向1反比例函數(shù)的圖象 例1反比例函數(shù)y= 在每個象限內(nèi)的函數(shù)值y隨x的增大而增 大,則m的取值范圍是( D ) A.m0 C.m-1D.m<-1,,解析對于反比例函數(shù)y=(k是常數(shù),k0),若其在每個象限內(nèi)的 函數(shù)值y隨x的增大而增大,則k<0,即m+1<0,所以m<-1.,變式1-1已知反比例函數(shù)y= (k0)的圖象經(jīng)過點(3,-1),則當(dāng)1<y<3時,自變量x的取值范圍是-3<x<-1.,解析反比例函數(shù)y=(k0)的圖象經(jīng)過點(3,-1), k=3(-1)=-3, 反比例函數(shù)的解析式為y=-, 反比例函數(shù)y=-中,k=-3<0,該反比例函數(shù)的圖象在第二、四 象限內(nèi),且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大,當(dāng)y=1時,x=-3;當(dāng)y=3時,x=-1,當(dāng)1<y<3時,自變量x的取值范圍是-3<x<-1.,名師點睛對于反比例函數(shù)y=(k0)中k的符號、圖象所在 象限、函數(shù)增減性這三者,知其一而得其二,即k0圖象在第一、三象限在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小;k<0圖象在第 二、四象限在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大.,考向2函數(shù)值的大小比較 例2(2017天津)若點A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函數(shù)y=- 的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是( B ) A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3,,解析-30,y2<y3<y1,故選B.,變式2-1如果把上題中的函數(shù)關(guān)系式修改為y=,答案會發(fā)生變 化嗎?請給出解答過程.,解析有變化.20,函數(shù)圖象在第一、三象限,且在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,點A在第三象限,函數(shù)值為負數(shù),點B和點C在第一象限,y2y30,y1<y3<y2.,,變式2-2已知A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函數(shù)y= (k0)圖象上的兩個點,當(dāng)x1y2,那么一次函數(shù)y=kx-k的圖象不經(jīng)過 ( B ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限,,解析由當(dāng)x1y2,可知當(dāng)x0,所以-k<0,所以一次函數(shù)y=kx-k經(jīng)過第一、三、四象限,不經(jīng)過第二象限,故選B. 名師點睛探求“y隨x的增大而如何變化”的題目,不同類型的函數(shù)有不同的解答思路: (1)一次函數(shù)直接看增減性; (2)反比例函數(shù)先看象限,再看增減性.,考點二反比例函數(shù)中k的幾何意義 中考解題指導(dǎo)過反比例函數(shù)圖象上的任一點分別向兩坐標(biāo)軸作垂線段,垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于|k|,這一點和垂 足以及坐標(biāo)原點所構(gòu)成的三角形的面積等于.結(jié)合函數(shù)圖象 所在的象限可以確定k的值,反過來,根據(jù)k的值,可以確定矩形或三角形的面積.,例3(2017棗莊)如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過矩形OABC的 邊AB的中點D,則矩形OABC的面積為4.,解析設(shè)D(x,y),函數(shù)圖象過點D,xy=2,D為AB的中點, 點B(x,2y),矩形OABC的面積為4.,,變式3-1(2017肥城模擬)如圖,點A是反比例函數(shù)y= (x0)的圖 象上任意一點,ABx軸交反比例函數(shù)y=- (x<0)的圖象于點B,以 AB為邊作平行四邊形ABCD,其中C,D在x軸上,則平行四邊形ABCD的面積為( D ) A.2B.3C.4D.5,,解析設(shè)點A的縱坐標(biāo)是b,則點B的縱坐標(biāo)也是b. 把y=b代入y= 得,b= ,則x= , 即點A的橫坐標(biāo)是 , 同理可得,點B的橫坐標(biāo)是- ,則AB= - = ,則SABCD= b=5, 故選D. 易錯警示因為反比例函數(shù)y=(k0)中k的取值有正負之分, 所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時,注意加上絕對值符號;已知矩形或三角形的面積求反比例函數(shù)解析式或k的值時,要注意函數(shù)圖象所在的象限.,考點三反比例函數(shù)的應(yīng)用 例4試驗數(shù)據(jù)顯示,一般成年人喝半斤低度白酒后,1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時間x(小時)的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)y=-200 x2+400 x刻畫,1.5小時后(包括1.5小時)y與x可近似地用反比例函數(shù)y=(k0)刻畫(如圖所示). (1)根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計算: 喝酒后幾小時血液中的酒精含量達到最大值?最大值為多少? 當(dāng)x=5時,y=45,求k的值; (2)按照國家規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”,不能駕車上路.參照上述數(shù)學(xué)模型,假設(shè)某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7:,(2)按照國家規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”,不能駕車上路.參照上述數(shù)學(xué)模型,假設(shè)某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7: 00能否駕車去上班?請說明理由.,解析(1)y=-200 x2+400 x=-200(x-1)2+200, 圖象的頂點坐標(biāo)為(1,200). -200<0,當(dāng)x=1時,y有最大值. 喝酒后1小時血液中的酒精含量達到最大值,最大值為200毫克/百毫升. 將x=5,y=45代入y=,得45=, k=455=225. (2)不能駕車去上班. 理由:晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11個小時.,將x=11代入y= ,得y= 20, 第二天早上7:00不能駕車去上班.,變式4-1某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥,經(jīng)多年動物試驗,首次用于臨床人體試驗,測得成人服藥后血液中藥物濃度y(微克/毫升)與服藥時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示(當(dāng)4x10時,y與x成反比例). (1)根據(jù)圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)求血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為多少小時.,解析(1)當(dāng)0 x4時,設(shè)直線的解析式為y=kx(k0), 將(4,8)代入得8=4k,解得k=2, 故直線的解析式為y=2x(0 x4); 當(dāng)4x10時,設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (a0), 將(4,8)代入得8= ,解得a=32, 故反比例函數(shù)的解析式為y= (4x10). 因此血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)關(guān)系式為y=2x(0 x<4), 下降階段的函數(shù)關(guān)系式為y= (4x10). (2)對于y=2x,令y=4,則4=2x,解得x=2,,對于y= ,令y=4,則4= ,解得x=8, 8-2=6,血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為6小時. 方法技巧解答反比例函數(shù)實際問題的一般步驟如下. (1)審題:弄清問題中的常量與變量,探究出問題中的等量關(guān)系; (2)建模:確定問題中的兩個變量,列出它們之間的反比例函數(shù)解析式; (3)應(yīng)用:代入數(shù)值解決問題.,考點四反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題 中考解題指導(dǎo)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題是泰安中考的必考考點,解決此類問題的關(guān)鍵是求得函數(shù)的表達式,注意兩函數(shù)圖象交點的坐標(biāo)要同時適用于兩函數(shù)的表達式.解題時應(yīng)充分挖掘與交點有關(guān)的條件. 考向1反比例函數(shù)與一次函數(shù)相結(jié)合的簡單問題,例5(2018泰安)如圖,矩形ABCD的兩邊AD、AB的長分別為3、8,E是DC的中點,反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點E,與AB交于點F. (1)若點B坐標(biāo)為(-6,0),求m的值及圖象經(jīng)過A、E兩點的一次函數(shù)的表達式; (2)若AF-AE=2,求反比例函數(shù)的表達式.,解析(1)B(-6,0),AD=3,AB=8,E為CD的中點, E(-3,4),A(-6,8), 反比例函數(shù)圖象過點E(-3,4), m=-34=-12. 設(shè)圖象經(jīng)過A、E兩點的一次函數(shù)表達式為y=kx+b, 解得 y=-x. (2)AD=3,DE=4,AE=5, AF-AE=2,AF=7,BF=1.,設(shè)E點的坐標(biāo)為(a,4),則點F的坐標(biāo)為(a-3,1), E,F兩點在y= 的圖象上, 4a=a-3,解得a=-1, E(-1,4),m=-4,y=- .,變式5-1如圖,正比例函數(shù)y1=k1x的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖 象相交于A、B兩點,其中點A的橫坐標(biāo)為2,當(dāng)y1y2時,x的取值范圍是( D ) A.x2B.x2,,解析反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點對稱,A、B兩點關(guān)于原點對稱,點A的橫坐標(biāo)為2,點B的橫坐標(biāo)為-2,結(jié)合函數(shù)圖象可知,當(dāng)-22時,正比例函數(shù)y1=k1x的圖象在反比例函數(shù)y2= 的圖象的上方,當(dāng)y1y2時,x的取值范圍是-22,故選D.,變式5-2 (2017煙臺)如圖,直線y =x +2與反比例函數(shù) y = 的圖象在第一象限交于點P,若OP=,則k的值為3.,解析點P為兩函數(shù)圖象的交點,設(shè)點P(x,x+2),過點P向x軸作垂線,與x軸相交于點M,在RtOMP中,OP=,根據(jù)勾股定 理,得x=1,P(1,3),代入反比例函數(shù)關(guān)系式中,得k=3.,考向2反比例函數(shù)與一次函數(shù)的相關(guān)計算 例6(2017泰安)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,RtAOB的斜邊OA在x軸的正半軸上,OBA=90,且tanAOB=,OB=2,反比例函 數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點B. (1)求反比例函數(shù)的表達式; (2)若AMB與AOB關(guān)于直線AB對稱,一次函數(shù)y=mx+n的圖象過點M、A,求一次函數(shù)的表達式.,解析(1)過點B作BDOA于點D, 設(shè)BD=a, tanAOB = =,OD =2BD. ODB=90,OB=2,a2+(2a)2=(2)2, 解得a=2(舍去-2), OD=4,,B(4,2),k=42=8, 反比例函數(shù)的表達式為y= . (2)tanAOB= ,OB=2, AB= OB = , OA===5, A(5,0). 又AMB與AOB關(guān)于直線AB對稱,B(4,2),ABO=90, ABM=ABO=90,O、B、M三點共線,OM=2OB,M(8,4).,把點M、A的坐標(biāo)分別代入y=mx+n,得 解得 故一次函數(shù)的表達式為y=x-.,變式6-1(2017菏澤)如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的 圖象在第一象限交于A,B兩點,B點的坐標(biāo)為(3,2),連接OA,OB,過點B作BDy軸,垂足為D,交OA于點C,若OC=CA. (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式; (2)求AOB的面積.,解析(1)如圖,過點A作AFx軸交BD于點E,交OB于點G.點B(3,2)在反比例函數(shù)y=的圖象上,a=32=6,反比例函數(shù)的表 達式為y= .B(3,2),EF=2.BDy軸,OC=CA,AE=EF=AF,AF=4,點A的縱坐標(biāo)為4.點A在反比例函數(shù)y= 的圖象 上,A.將(3,2),代入y=kx+b得 ,一次函數(shù)的表達式為y=- x+6. (2)B(3,2),直線OB的表達式為y= x,G ,又A , AG=4-1=3, SAOB=SAOG+SABG= .,一、選擇題 1.已知甲、乙兩地相距20千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,則汽車行駛時間t(單位:時)關(guān)于行駛速度v(單位:千米/時)的函數(shù)關(guān)系式是( B ) A.t=20vB.t=C.t=D.t=,隨堂鞏固訓(xùn)練,,A.m-5B.0<m<5 C.-5<m<0D.m<-5,2.下圖中的曲線是反比例函數(shù)y= 的圖象的一支,則m的取值 范圍是( A ),,3.,(2017威海)如圖,正方形ABCD的邊長為5,點A的坐標(biāo)為(-4,0),點B在y軸上,若反比例函數(shù)y=(k0)的圖象過點C,則該反比例函數(shù),的表達式為( A ) A.y=B.y=C.y=D.y=,4.反比例函數(shù)y= 的圖象與直線y=-x+2有兩個交點,且兩交點 橫坐標(biāo)的積為負數(shù),則t的取值范圍是( B ) A.t C.tD.t,,,二、填空題 5.(2018威海)如圖,直線AB與雙曲線y=(kS2時,點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為 -6<x<-2.,解析A(-2,3)在y= 的圖象上, k=-6. 點B(m,1)在y=的圖象上,m=-6, 觀察圖象可知:當(dāng)S1S2時,點P在線段AB上, 點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為-6<x<-2.,6.(2018濱州)若點A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y3)都在反比例函數(shù)y=(k為常數(shù))的圖象上,則y1、y2、y3的大小關(guān)系為 y2<y1<y3.,解析令t=k2-2k+3, k2-2k+3=(k-1)2+20, t0. 點A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y3)都在反比例函數(shù)y=(k為 常數(shù))的圖象上,y1=- ,y2=-t,y3=t, -t<- <t,y2<y1<y3.,7.(2018德州)如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x-2的圖 象在第三象限交于點A.點B的坐標(biāo)為(-3,0),點P是y軸左側(cè)的一點.若以A、O、B、P為頂點的四邊形為平行四邊形.則點P的坐標(biāo)為(-4,-3)或(-2,3).,解析由題意得 解得 或 反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x-2的圖象在第三象限交 于點A,A(-1,-3). 當(dāng)以AB為對角線時,AB的中點M的坐標(biāo)為(-2,-1.5).平行四邊形的對角線互相平分,M為OP中點,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),則 =-2, =-1.5,解得x=-4,y=-3,P(-4,-3); 當(dāng)OB為對角線時,由O、B坐標(biāo)可求得OB的中點M的坐標(biāo)為,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),由平行四邊形的性質(zhì)可知M為AP的中,點,結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得 =- , =0,解得x=-2,y=3, P(-2,3); 當(dāng)以O(shè)A為對角線時,由O、A坐標(biāo)可求得OA的中點M的坐標(biāo)為,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),由平行四邊形的性質(zhì)可知M為BP中 點,結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得 =- , =- ,解得x=2,y=-3, P(2,-3)(不合題意,舍去). 綜上所述,P點的坐標(biāo)為(-4,-3)或(-2,3).,8.如圖,函數(shù)y=和y=-的圖象分別是l1和l2.設(shè)點P在l1上,PCx軸, 垂足為點C,交l2于點A,PDy軸,垂足為點D,交l2于點B,則PAB的面積為8.,點P在y=的圖象上,|xP||yP|=|k|=1,設(shè)P的坐標(biāo)是 (a為正數(shù)),點A ,點B ,PA= ,PB=4a, SPAB= PAPB = 4a=8.,9.如圖,點A是反比例函數(shù)圖象上一點,過點A作ABy軸于點B,點C、D在x軸上,且BCAD,四邊形ABCD的面積為3,則這個反比例函數(shù)的解析式為y=-.,解析根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義及四邊形ABCD的面積為3,可得|k|=3,該反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限,k=-3,即函數(shù)的解析式為y=- .,三、解答題 10.(2018濱州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C的坐標(biāo)為(1,). (1)求圖象過點B的反比例函數(shù)的解析式; (2)求圖象過點A,B的一次函數(shù)的解析式; (3)在第一象限內(nèi),當(dāng)以上所求一次函數(shù)的圖象在所求反比例函數(shù)的圖象下方時,請直接寫出自變量x的取值范圍.,解析(1)由C的坐標(biāo)為(1,),得到OC=2, 菱形OABC, BC=OC=OA=2,BCx軸, B(3,), 設(shè)反比例函數(shù)解析式為y= , 把B的坐標(biāo)代入得k=3, 則反比例函數(shù)解析式為y=. (2)設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n, 把A(2,0),B(3,)代入得,解得 則直線AB的解析式為y=x-2. (3)聯(lián)立得 解得 或 即一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交 點坐標(biāo)為(3,)或(-1,-3). 則當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方時,自變量x的取值范圍為x<-1或0<x<3.,11.某中學(xué)組織學(xué)生到商場參加社會實踐活動,他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工作,已知該運動鞋每雙的進價為120元,為尋求合適的銷售價格進行了4天的試銷,試銷情況如表所示:,(1)觀察表中數(shù)據(jù),x,y滿足什么函數(shù)關(guān)系?請求出這個函數(shù)關(guān)系式; (2)若商場計劃每天的銷售利潤為3 000元,則其單價應(yīng)定為多少元?,解析(1)由題表中數(shù)據(jù)可得xy=6 000, y是x的反比例函數(shù). 所求函數(shù)解析式為y=. (2)由題意,得(x-120)y=3 000, 將y= 代入,可得(x-120) =3 000,解得x=240. 經(jīng)檢驗,x=240是原方程的解,且符合題意. 答:其單價應(yīng)定為240元.,12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線y= 與直線y=-2x+2交于點A (-1,a),B. (1)求a、m的值; (2)求B的坐標(biāo).,解析(1)點A(-1,a)在直線y=-2x+2上, a=-2(-1)+2=4, 點A的坐標(biāo)是(-1,4),將其代入y=中,得m =-4. (2)解方程組 得 或 點B的坐標(biāo)為(2,-2).,