2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)44 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)44 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、選擇題1.(2012·山東高考理科·10)已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓的方程為( )(A) (B) (C) (D)【解題指南】本題關(guān)鍵利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性及雙曲線的漸近線為,找出雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn),然后加上條件離心率為,即可求得橢圓的方程.【解析】選D.由于雙曲線的漸近線為,以及橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形,因?yàn)樗倪呅蚊娣e為16,所以邊長(zhǎng)為4,所以橢圓過(guò)點(diǎn)(2,2).所以,解得,所以橢圓的方程為.二、解答題2.(2012·湖北高考理科·21)與(2012·湖北高考文科·21)相同設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線上,且滿足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).(2)過(guò)原點(diǎn)斜率為K的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn),其中P在第一象限,且它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H,是否存在m,使得對(duì)任意的K>0,都有PQPH?若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】本題考查求軌跡的方法和直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系,解答本題的關(guān)鍵是把點(diǎn)M的坐標(biāo)設(shè)出,代入法求軌跡,再結(jié)合一定的運(yùn)算能力求解?!窘馕觥浚?)如圖1.設(shè),則由得.又A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),則.把代入得曲線C的方程為:.當(dāng) 曲線C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓; 當(dāng) 曲線C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓. (2)如圖2,3, 對(duì)任意的K>0 ,設(shè),直線QN的方程為: 將其帶入橢圓方程并整理得:.依題意設(shè)此方程的兩根為: ,則.又點(diǎn)H在直線QN上,所以,于是.又PQPH,則,即,也就是.故存在m=,使得對(duì)任意的K>0,都有PQPH. 3.(2012·遼寧高考文科·T20)如圖,動(dòng)圓,1<t<3,與橢圓:相交于A,B,C,D四點(diǎn),點(diǎn)分別為的左,右頂點(diǎn). ()當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積;()求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.【解題指南】(1)由于A,B,C,D四點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性,可設(shè)出它們的坐標(biāo),利用坐標(biāo)的某個(gè)變量來(lái)表示矩形面積,建立函數(shù),求最值;(2)利用點(diǎn)的坐標(biāo),據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程,求交點(diǎn)坐標(biāo),用交軌法求軌跡方程.【解析】(1)由于A,B,C,D四點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性,設(shè)則矩形ABCD的面積為,由點(diǎn)在橢圓上,所以從而,故時(shí),取得最大值。從而取得最大值6.此時(shí).(2)由可得直線的方程:-直線的方程:-設(shè)直線與直線的交點(diǎn)由得-由(1)知-代入整理得因此點(diǎn)M的軌跡方程為.4.(2012·遼寧高考理科·T20)如圖,橢圓:,a,b為常數(shù)),動(dòng)圓,。點(diǎn)分別為的左,右頂點(diǎn),與相交于A,B,C,D四點(diǎn).()求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程; ()設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn),其中,。若矩形與矩形的面積相等,證明:為定值.【解題指南】(1)由于A,B點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性,可設(shè)出它們的坐標(biāo),利用點(diǎn)的坐標(biāo),據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程,求交點(diǎn)坐標(biāo),用參數(shù)法求軌跡方程(2)利用坐標(biāo)的變量來(lái)表示矩形面積,建立等量關(guān)系.【解析】()設(shè),直線的方程:- 直線的方程:- 設(shè)直線與直線的交點(diǎn)由得-由在橢圓上,故從而,代入整理得()證明:設(shè),由矩形ABCD和矩形面積相等得,即,- 因?yàn)辄c(diǎn),均在橢圓上,所以,代入得,進(jìn)一步得到,由于,所以從而,故 為定值.