2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理

考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理一、選擇題1.（2012·湖南高考理科·7）在ABC中，AB=2 AC=3 ·=1，則BC=（ ）A B C D 【解題指南】利用向量的數(shù)量積計(jì)算公式，和余弦定理組成方程組解出BC的值?！窘馕觥窟xA.由由余弦定理2.（2012·湖南高考文科·8）在ABC中，AC= ，BC=2，B =60°，則BC邊上的高等于（ ）A B. C. D.【解題指南】本題考查余弦定理、三角形面積公式，考查方程思想、運(yùn)算能力，是歷年常考內(nèi)容.根據(jù)余弦定理和直角三角形中的三角函數(shù)定義，列出方程組，解出答案?！窘馕觥窟xB. 設(shè)，在ABC中，由余弦定理知，即，又設(shè)BC邊上的高等于，由三角形面積公式，知，解得.故選B.3.（2012·廣東高考文科·6）在中，若=60°, B=45°，BC=3，則AC=（ ）A4 B 2 C. D 【解題指南】已知兩角一邊解三角形，顯然適合采用正弦定理，但在由正弦值求角時(shí)，要注意解的個(gè)數(shù)的判斷?！窘馕觥窟xB. 在中,由正弦定理知4.（2012·湖北高考文科·8）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且ABC，3b=20acosA，則sinAsinBsinC為（ ）A.432 B.567 C.543 D.654【解題指南】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是把邊a,c均用b表示出來(lái),再利用余弦定理把已知化簡(jiǎn)求值.【解析】選D.由題意知： a=b+1,c=b-1, 3b=20a=20(b+1)= 20(b+1) ,整理得：，解之得：b=5,可知：a=6,c=4.結(jié)合正弦定理可知答案.二、填空題5.（2012·湖北高考理科·11）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別是a，b，c.若（a+b-c）（a+b+c）=ab，則角C=_.【解題指南】本題考查余弦定理,把已知條件展開(kāi)整理可得結(jié)果.【解析】 由（a+b-c）（a+b+c）=ab,可知.又,所以.【答案】 .6.（2012·福建高考文科·13）在ABC中，已知BAC=60°，ABC=45°，BC=，則AC=_【解題指南】本題知兩角一對(duì)邊，選用正弦定理求另一對(duì)邊 【解析】選由正弦定理，即.【答案】7.（2012·安徽高考理科·15）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為；則下列命題正確的是（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)） 若；則 若；則 若；則 若；則 若；則【解題指南】對(duì)于用余弦定理判斷； 用反證法； 舉反例.【解析】 當(dāng)時(shí)，與矛盾 取滿足得： 取滿足得：.【答案】8.（2012·陜西高考文科·13）在三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)分別為，b，c，若，B=，c=2，則b= 【解題指南】已知兩邊及其夾角，用余弦定理可求第三邊.【解析】由余弦定理得：，.【答案】2.9.（2012·北京高考理科·11）在ABC中，若a=2，b+c=7,，則b= 【解題指南】對(duì)角B利用余弦定理列式求解.【解析】 由余弦定理得，即，解得.【答案】4.10.（2012·北京高考文科·11）在ABC中，若a=3，b=，則的大小為_(kāi).【解題指南】利用正弦定理求出B，再利用內(nèi)角和定理求C.【解析】在中，由正弦定理得，.【答案】.三、解答題11.（2012·江蘇高考·15）（本小題滿分14分）在中，已知（1）求證：；（2）若求A的值【解題指南】（1）注意向量積公式的應(yīng)用，和正弦定理的利用（邊角轉(zhuǎn)化）（2）先利用求出再利用兩角和的正切公式構(gòu)造與有關(guān)的方程.【解析】（1）由得即為由正弦定理得兩邊同除得即成立.（2）因所以C為銳角，所以由（1），且得即即所以或。因由內(nèi)角和為知兩角均為銳角，故應(yīng)舍去。所以所以.12.（2012·浙江高考理科·18）（本題滿分14分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知cosA=，sinB=C.（1）求tanC的值；（2）若a=，求ABC的面積.【解題指南】解三角形問(wèn)題，主要考查正、余弦定理，三角恒等變換的方法，注意同角三角函數(shù)間的互化和邊角之間的互化.【解析】（1）由cosA=可得sinA=由sinB=C可得sin（A+C）=C 即等號(hào)兩邊同除以,可得，即.（2）由可得，解得而sinB=.13.（2012·浙江高考文科·18）（本題滿分14分）在ABC中，內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB。（1）求角B的大??；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值。【解題指南】考查三角形中的正、余弦定理的應(yīng)用，注意其中邊角間的互化。【解析】（1）由bsinA=acosB可得sinBsinA=sinAcosB又sinA，可得，所以.（2）由sinC=2sinA可得，在中，解得，所以.14.（2012·安徽高考文科·16）(本小題滿分12分)設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且有.（）求角A的大??；（) 若，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).【解題指南】（1）將代入化簡(jiǎn)得到，從而求出；（2）根據(jù)余弦定理即可求出.【解析】（）.（II）在中，.15.（2012·遼寧高考理科·T17）與（2012·遼寧高考文科·T17）相同 在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c。角A，B，C成等差數(shù)列. ()求的值； ()邊a，b，c成等比數(shù)列，求的值.【解題指南】（1）結(jié)合等差數(shù)列定義和三角形內(nèi)角和定理，求得角B；（2）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，借助（1）的結(jié)論，解決問(wèn)題【解析】（）由已知三角形的內(nèi)角和定理，解得所以.（）由已知，據(jù)正弦定理，設(shè)則，代入得即.16.（2012·天津高考文科·16）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b，c。已知a=2.c=,cosA=.（I）求sinC和b的值；（II）求cos（2A+）的值.【解題指南】（1）根據(jù)余弦定理求解；（2）利用三角函數(shù)的兩角和、倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算.【解析】（1）在中，由可得，又由，故解得，所以.（2）由得，所以，.17.（2012·江西高考理科·17）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.（1）求證：；（2）若，求ABC的面積.【解題指南】（1）選擇將已知條件邊化角，得出；（2）由（1）中結(jié)論及，求出其他的邊和角，然后選擇合適的面積公式，求出ABC的面積.【解析】（1） 證明：由，應(yīng)用正弦定理，得，整理得 ，即 ，由于，從而.（2） ，因此.由得所以的面積18.（2012·江西高考文科·16）ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC。（1）求cosA；（2）若a=3，ABC的面積為，求b，c.【解題指南】（1）選擇將已知條件3cos（B-C）-1=6cosBcosC化簡(jiǎn)，先求得，再求得；（2）結(jié)合余弦定理，選擇合適的的面積公式，建立關(guān)于的方程組，解得的值.【解析】(1)則.(2) 由（1）得,由面積可得bc=6，則根據(jù)余弦定理則=13，兩式聯(lián)立可得b=2，c=3或b=3，c=2.19.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T17）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，（1）求 （2）若，的面積為；求.【解題指南】（1）選擇將已知條件邊化角，求出角A；（2）結(jié)合角A的值，選擇合適的的面積公式，建立關(guān)于的方程組，解得的值.【解析】（1）由正弦定理得： . （2） 解得：.