2013年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列第2講 數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 文

專題四數(shù)列第2講數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用真題試做1(2012·大綱全國高考，文6)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1 Bn1 Cn1 D2(2012·江西高考，文13)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比不為1.若a11，且對任意的nN*都有an2an12an0，則S5_.3(2012·課標(biāo)全國高考，文14)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S33S20，則公比q_.4(2012·天津高考，文18)已知an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)記Tna1b1a2b2anbn，nN*，證明Tn8an1bn1(nN*，n2)5(2012·山東高考，文20)已知等差數(shù)列an的前5項和為105，且a102a5.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數(shù)列an中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列bm的前m項和Sm.考向分析高考中對數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用的考查題型，主、客觀題均會出現(xiàn)，主觀題較多一般以等差、等比數(shù)列的定義以及通項公式、前n項和公式的運用設(shè)計試題考查的熱點主要有四個方面：(1)考查數(shù)列的求和方法；(2)以等差、等比數(shù)列的知識為紐帶，在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的交會處命題，主要考查利用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題以及用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，多為中檔題；(3)數(shù)列與解析幾何交會的命題，往往會遇到遞推數(shù)列，通常以解析幾何作為試題的背景，從解析幾何的內(nèi)容入手，導(dǎo)出相關(guān)的數(shù)列關(guān)系，再進(jìn)一步地解答相關(guān)的問題，試題難度大都在中等偏上，有時會以壓軸題的形式出現(xiàn)；(4)數(shù)列應(yīng)用題主要以等差、等比數(shù)列為工具，在數(shù)列與生產(chǎn)、生活實際問題的聯(lián)系上設(shè)計問題，考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識與能力，主要以解答題的形式出現(xiàn)，多為中高檔題熱點例析熱點一數(shù)列的求和【例1】(2012·山東青島一模，20)已知在等差數(shù)列an(nN*)中，an1an，a2a9232，a4a737.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若將數(shù)列an的項重新組合，得到新數(shù)列bn，具體方法如下：b1a1，b2a2a3，b3a4a5a6a7，b4a8a9a10a15，依此類推，第n項bn由相應(yīng)的an中2n1項的和組成，求數(shù)列的前n項和Tn.規(guī)律方法 數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項，數(shù)列求和主要有以下方法：(1)公式法：若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可直接由等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求和；(2)分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是有幾個等差或等比或可求和的數(shù)列通項公式組成，求和時可以用分組求和法，即先分別求和，然后再合并；(3)若數(shù)列an的通項能轉(zhuǎn)化為f(n)f(n1)(n2)的形式，常采用裂項相消法求和；(4)若數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，則求數(shù)列an·bn的前n項和時，可采用錯位相減法；(5)倒序相加法：若一個數(shù)列an滿足與首末兩項等“距離”的兩項和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和，可采用倒序相加法，如等差數(shù)列的通項公式就是用該法推導(dǎo)的特別提醒：(1)利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩第一項和最后一項，也可能前面剩兩項，后面也剩兩項(2)利用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)注意兩式“錯項對齊”；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比為字母時，應(yīng)對字母是否為1進(jìn)行討論變式訓(xùn)練1 (2012·甘肅靖遠(yuǎn)、中恒聯(lián)考，21)已知在數(shù)列an中a12，an12，數(shù)列bn中bn，其中nN*.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)設(shè)Sn是數(shù)列的前n項和，求；(3)設(shè)Tn是數(shù)列的前n項和，求證：Tn.熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式交會【例2】(2012·湖北孝感統(tǒng)考，22)已知數(shù)列an滿足：a1a2a3annan(n1,2,3，)(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)令bn(2n)(an1)(n1,2,3，)，如果對任意nN*，都有bntt2，求實數(shù)t的取值范圍規(guī)律方法 (1)由于數(shù)列的通項是一類特殊的函數(shù)，所以研究數(shù)列中的最大(小)項問題可轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，但同時注意數(shù)列中的自變量只能取正整數(shù)這一特點；(2)要充分利用數(shù)列自身的特點，例如在需要用到數(shù)列的單調(diào)性時，可以通過比較相鄰兩項的大小進(jìn)行判斷；(3)對于數(shù)列的前n項和，沒有直接可套用的公式，但如果涉及大小比較等一些不等關(guān)系，可考慮放縮法：或，轉(zhuǎn)化為數(shù)列或，用裂項相消法求和后即可達(dá)到比較大小的目的變式訓(xùn)練2 (2012·廣東四會統(tǒng)測，21)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn2ann(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)若bn(2n1)an2n1，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求滿足不等式128的最小的n值熱點三數(shù)列與解析幾何的交會【例3】(2011·陜西高考，理19)如圖，從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲線yex于點Q1(0,1)，曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，記Pk點的坐標(biāo)為(xk,0)(k1,2，n)(1)試求xk與xk1的關(guān)系(2kn)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.規(guī)律方法 對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項an與an1之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項公式或其他所求結(jié)論變式訓(xùn)練3 設(shè)C1，C2，Cn，是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線yx相切，對每一個正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知rn為遞增數(shù)列(1)證明：rn為等比數(shù)列；(2)設(shè)r11，求數(shù)列的前n項和熱點四數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用【例4】(2011·湖南高考，文20)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%.(1)求第n年初M的價值an的表達(dá)式；(2)設(shè)An，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新證明：須在第9年初對M更新規(guī)律方法 能夠把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題，并且能夠明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，確定首項、公差(比)、項數(shù)各是什么，能分清是某一項還是某些項的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵(1)在數(shù)列應(yīng)用題中，當(dāng)增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型為等差模型，增加(或減少)的量就是公差，則可把應(yīng)用題抽象為數(shù)列中的等差數(shù)列問題，然后用等差數(shù)列的知識對模型解析，最后再返回到實際中去；(2)若后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，該模型為等比模型，這個固定的數(shù)就是公比，則可把應(yīng)用題抽象為數(shù)列中的等比數(shù)列問題，然后用等比數(shù)列的知識對模型解析，最后再返回到實際中去；(3)若題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，應(yīng)考慮an1，an之間的遞推關(guān)系，或考慮Sn1，Sn之間的遞推關(guān)系特別提醒：解決實際問題時要注意n的取值范圍變式訓(xùn)練4 某城市2012年末汽車擁有量為30萬輛，預(yù)計此后每年將上一年擁有量的6%報廢，并且每年新增汽車數(shù)量相同為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車擁有量不超過60萬輛從2012年末起，n年后汽車擁有量為bn1萬輛，若每年末的擁有量不同(1)求證：bn1bn為等比數(shù)列；(2)每年新增汽車數(shù)量不能超過多少萬輛？思想滲透1函數(shù)思想函數(shù)思想解決數(shù)列常見的問題：(1)數(shù)列的單調(diào)性；(2)數(shù)列中求最值問題；(3)數(shù)列中的恒成立問題2求解時注意的問題及方法：(1)數(shù)列是定義在N*或其子集上的特殊函數(shù)，自然與函數(shù)思想密不可分，因此樹立函數(shù)意識是解決數(shù)列問題的最基本要求；(2)解題時要注意把數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項公式以及前n項和公式看作函數(shù)的解析式，從而合理地利用函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)解決問題；(3)解決有關(guān)數(shù)列的通項公式、單調(diào)性、最值、恒成立等問題時要注意項數(shù)n的取值范圍(2012·湖南長沙模擬，22)已知數(shù)列an是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足aS2n1，nN*.數(shù)列bn滿足bn，Tn為數(shù)列bn的前n項和(1)求a1，d和Tn；(2)若對任意的nN*，不等式Tnn8·(1)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)是否存在正整數(shù)m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由解：(1)(方法一)在aS2n1中，分別令n1，n2，得即解得a11，d2，an2n1.bn，Tn.(方法二)an是等差數(shù)列，an，S2n1(2n1)(2n1)an.由aS2n1，得a(2n1)an.又an0，an2n1，則a11，d2.(Tn求法同方法一)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式Tnn8·(1)n恒成立，即需不等式2n17恒成立，2n8，等號在n2時取得，此時需滿足25.當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式Tnn8·(1)n恒成立，即需不等式2n15恒成立，2n隨n的增大而增大，n1時，2n取得最小值6.此時需滿足21.綜合可得的取值范圍是21.(3)T1，Tm，Tn.若T1，Tm，Tn成等比數(shù)列，則2，即.(方法一)由，可得0，即2m24m10，1m1.又mN，且m1，m2，此時n12.因此，當(dāng)且僅當(dāng)m2，n12時，數(shù)列Tn中的T1，Tm，Tn成等比數(shù)列(方法二)因為，故，即2m24m10，解得1m1(以下同方法一)1已知數(shù)列an的前n項和Sn，則a3()A B C D2已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線yx22x3的頂點是(b，c)，則ad()A3 B2 C1 D23(2012·甘肅蘭州診斷，3)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若3，則()A2 B C D34在等比數(shù)列an中，a12，前n項和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn()A2n12 B3nC2n D3n15(2012·河北模擬，14)已知數(shù)列an滿足an2n12n1(nN*)，則數(shù)列an的前n項和Sn_.6設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)若a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項和Sn的取值范圍是_7(2012·江西聯(lián)考，19)已知數(shù)列an滿足a12，a28，an24an14an.(1)證明：an12an是等比數(shù)列；(2)設(shè)bn(n2)，求：b2b3bn(n2且nN*)8已知二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列an的前n項和為Sn，點(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tn對所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：Sn2an1，Sn12an(n2)，兩式相減得：an2an12an，.數(shù)列an從第2項起為等比數(shù)列又n1時，S12a2，a2.Sna11n1.211解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則an2an12ana1·qn1a1·qn2a1·qn10，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，所以S511.32解析：由S33S2，可得a1a2a33(a1a2)，即a1(1qq2)3a1(1q)，化簡整理得q24q40，解得q2.4(1)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明：由(1)得Tn2×25×228×23(3n1)×2n，2Tn2×225×23(3n4)×2n(3n1)×2n1.由，得Tn2×23×223×233×2n(3n1)×2n1(3n1)×2n12(3n4)×2n18，即Tn8(3n4)×2n1，而當(dāng)n2時，an1bn1(3n4)×2n1.所以，Tn8an1bn1(nN*，n2)5解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，前n項和為Tn.由T5105，a102a5，得到解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)對mN*，若am7n72m，則n72m1.因此bm72m1，所以數(shù)列bm是首項為7，公比為49的等比數(shù)列，故Sm.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】解：(1)由題意知解得或(由于an1an，舍去)設(shè)公差為d，則解得數(shù)列an的通項公式為an3n2(nN*)(2)由題意得bn(3·2n12)(3·2n15)(3·2n18)3·2n1(3·2n11)2n1×3·2n1258(3·2n14)(3·2n11)而258(3·2n14)(3·2n11)是首項為2，公差為3的等差數(shù)列的前2n1項的和，258(3·2n14)(3·2n11)2n1×2×33·22n3·2n，bn3·22n23·22n3·2n·22n·2n.bn·2n·22n.Tn(4166422n)×(4n1)【變式訓(xùn)練1】(1)證明：bn1，而bn，bn1bn1(nN*)數(shù)列bn是首項為b11，公差為1的等差數(shù)列(2)解：由(1)可知bnn，bnn，Sn(12n)，于是6，故有66.(3)證明：由(1)可知n·bnn·n，則Tn1·12·2n·n，Tn1·22·3(n1)·nn·n1，則Tn23nn·n1n·n1，Tnn1·n.【例2】(1)證明：由題意可知a1a2a3an1annan，a1a2a3anan1n1an1，可得2an11an，即an11(an1)又a1，a11，所以數(shù)列an1是以為首項，以為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)可得an1n，bn.由bn1bn0，得n3，由bn1bn0，得n3，所以b1b2b3b4b5bn，故bn有最大值b3b4，所以對任意nN*，有bn.如果對任意nN*，都有bntt2，即bnt2t恒成立，則(bn)maxt2t.故有t2t，解得t或t，所以實數(shù)t的取值范圍是.【變式訓(xùn)練2】解：(1)因為Sn2ann，令n1，解得a11.再分別令n2，n3，解得a23，a37.(2)Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2，nN*)，兩式相減，得an2an11，an12(an11)(n2，nN*)又a112，an1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列an12n，得an2n1.(3)bn(2n1)an2n1，bn(2n1)·2n.Tn3×25×227×23(2n1)·2n1(2n1)·2n，則2Tn3×225×23(2n1)·2n(2n1)·2n1，得Tn2(202122232n)(2n1)·2n12×(2n1)·2n122n2(2n1)·2n12(2n1)·2n1，Tn2(2n1)·2n1.若128，則128，即2n127，所以n17，解得n6，滿足不等式128的最小的n值為6.【例3】解：(1)設(shè)點Pk1的坐標(biāo)是(xk1,0)，yex，yex.Qk1(xk1，)，在點Qk1(xk1，)處的切線方程是y(xxk1)，令y0，則xkxk11(2kn)(2)x10，xkxk11，xk(k1)|PkQk|e(k1)，于是有|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(n1)，即|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.【變式訓(xùn)練3】(1)證明：將直線yx的傾斜角記為，則有tan ，sin .設(shè)Cn的圓心為(n,0)(n0)，則由題意得知，得n2rn；同理n12rn1，從而n1nrnrn12rn1，將n2rn代入，解得rn13rn，故rn為公比q3的等比數(shù)列(2)解：由于r11，q3，故rn3n1，從而n·31n.記Sn，則有Sn12·313·32n·31n，則1·312·32(n1)·31nn·3n，由，得1313231nn·3nn·3n·3n，Sn·31n.【例4】(1)解：當(dāng)n6時，數(shù)列an是首項為120，公差為10的等差數(shù)列an12010(n1)13010n；當(dāng)n6時，數(shù)列an是以a6為首項，公比為的等比數(shù)列，又a670，所以an70×n6.因此，第n年初，M的價值an的表達(dá)式為an(2)證明：設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1n6時，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；當(dāng)n7時，SnS6(a7a8an)57070××4×780210×n6，An.因為an是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列又A88280，A97680，所以須在第9年初對M更新【變式訓(xùn)練4】解：(1)設(shè)2012年末汽車擁有量為b1萬輛，每年新增汽車數(shù)量為x萬輛，則b130，b20.94b1x，可得bn10.94bnx.又bn0.94bn1x，bn1bn0.94·(bnbn1)每年末的擁有量不同，bn1bn是以b2b1x1.8為首項，且公比q0.94的等比數(shù)列(2)由(1)得bn1bn0.94n·(x1.8)，于是bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)300.94·(x1.8)0.942·(x1.8)0.94n1·(x1.8)30·(x1.8)·0.94，當(dāng)x1.80，即x1.8時，bn為遞減數(shù)列，故有bn1bnb130；當(dāng)x1.80，即x1.8時，bn30×0.9460，解得x3.7.每年新增汽車數(shù)量不能超過3.7萬輛創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1A解析：a3S3S2.2B解析：a，b，c，d成等比數(shù)列，adbc.又yx22x3的頂點是(b，c)，b1，c2.adbc1×22.3B解析：3，解得q42，故.4C解析：因為數(shù)列an為等比數(shù)列且a12，所以an2qn1(q0)因為數(shù)列an1也是等比數(shù)列，所以(an11)2(an1)(an21)a2an1anan2anan2anan22an1an(1q22q)0q1，即an2，所以Sn2n，故選C.52nn21解析：Sn(12222n1)n22nn21.6解析：f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，a1，anf(n)(nN*)，an1f(n1)f(n)f(1)an(nN*)Sn1n.則數(shù)列an的前n項和Sn的取值范圍是.7(1)證明：由an24an14an，得an22an12(an12an)又a22a14，an12an是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)可得an12an2n1，1，是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，ann·2n(n1，nN*)，bn(n2)，b2b3bn1(n2且nN*)8解：(1)設(shè)這個二次函數(shù)為f(x)ax2bx(a0)，則f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，又因為點(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上，所以Sn3n22n.當(dāng)n2時，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；當(dāng)n1時，a1S13×1226×15，所以an6n5(nN*)(2)由(1)得知bn，故Tn.因此，要使(nN*)成立，m必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.