（廣東專用）2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書 第68課 軌跡方程的求法 文

第68課 軌跡方程的求法 1．（2010廣州二模）高和的兩根旗桿筆直地豎在水平地面上, 且相距 , 則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為（ ） A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線 【答案】A 【解析】設(shè)兩根旗桿在水平地面上的點(diǎn)分別為 、， 設(shè)為軌跡上的點(diǎn)，仰角為， 則,∴， ∴， ∴，軌跡是圓． ∴ 所求的軌跡是拋物線． 2．已知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡是（ ） A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線 【答案】B 【解析】點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，∴，， 點(diǎn)為 ∴， ∴， ∴． ∴ 所求軌跡方程是拋物線． 3．已知軸上一定點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程． 【解析】設(shè)， ∵是的中點(diǎn)，∴， ∵為橢圓上的點(diǎn)，∴， ∴，即， ∴點(diǎn)的軌跡方程為． 4．已知兩圓：，圓：，動(dòng)圓同時(shí)與圓和圓相外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程． 【解析】（1）由已知，點(diǎn)，，，， 如圖，設(shè)動(dòng)圓的半徑是，則 ∵ 圓與圓外切，∴ ，， ∴ ，即到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)， ∴ 的軌跡是雙曲線的左支，，， ∴ ，∴ 動(dòng)圓圓心的軌跡方程是． 5．（2012珠海二模）已知圓方程：，垂直于軸的直線與圓相切于點(diǎn)（在圓心的右側(cè)），平面上有一動(dòng)點(diǎn)，若，垂足為，且． （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）已知為點(diǎn)的軌跡曲線上第一象限弧上一點(diǎn)，為原點(diǎn)，、分別為點(diǎn)的軌跡曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)，求四邊形的最大面積及點(diǎn)坐標(biāo)． 【解析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為 則， ， ∵，∴， 化簡得， ∴點(diǎn)的軌跡方程是． （2）∵、分別為點(diǎn)的軌跡曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)， ∴、， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴ ， ∵，∴， ∴，即， ∴四邊形的面積的最大值為， 當(dāng)四邊形的面積的取得最大值時(shí)，，即， 此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為． 6．（2012江西高考）已知三點(diǎn)，曲線上任意一點(diǎn)滿足 ． （1）求曲線的方程； （2）點(diǎn)是曲線上動(dòng)點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與分別交于點(diǎn)，求與的面積之比． 【解析】（1），， ， ，∵， ∴，∴． ∴曲線的方程為． （2）設(shè)，則， ∵，∴，∴， ∴切線的方程為 與軸交點(diǎn),． 直線的方程為：， 直線的方程為：， 由，得， 由，得， ∴， ∴與的面積之比為．