2012年高考數(shù)學(xué) 考點39 圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

考點39 圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1.（2012·廣東高考文科·8）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x+4y-5=0與圓+=4相交A、B兩點，則弦AB的長等于（ ）A3 B. 2 C. D. 1【解題指南】解決本小題要先利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后利用弦長公式求解即可.【解析】選B.由圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離為,所以.2.（2012·湖北高考文科·5）過點P（1,1）的直線，將圓形區(qū)域（x，y）|x2+y24分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（ ）A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0【解題指南】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象,分析出臨界位置.【解析】選A.如圖, 要是兩部分的面積之差最大,既是使陰影部分的面積最小,也就是弦長AB最短.結(jié)合直線與圓的文置關(guān)系的性質(zhì)知:當(dāng)直線AB與直線OP垂直時, 弦長AB最短 ,又,所求直線方程為: .3.（2012·遼寧高考文科·7）將圓平分的直線是（ ）（A） （B） （C） （D）【解題指南】搞清楚平分圓的直線過圓心，求出圓心坐標(biāo)，代入驗證即可.【解析】選C. 圓的圓心坐標(biāo)為（1,2），驗證得C.4.（2012·陜西高考理科·4）已知圓，是過點的直線，則（ ）(A) 與相交 (B) 與相切 (C) 與相離 (D) 以上三個選項均有可能【解題指南】首先確定點P與圓C的位置關(guān)系,然后運用數(shù)形結(jié)合法，再確定直線與圓的位置關(guān)系.【解析】選A.解法一：圓C的方程是，點P到圓心C（2,0）的距離是，點P在圓C內(nèi)部，直線與圓C相交.解法二：將點P的坐標(biāo)代入圓的方程，得：，點P（3,0）在圓內(nèi)。過點P的直線與圓C相交.5.（2012·福建高考文科·7）直線與圓相交于A,B兩點，則弦AB的長度等于（ ）ABCD【解題指南】利用弦心距和半徑來求弦長【解析】選B.圓心為原點，到直線的距離為，.6.（2012·陜西高考文科·6）與（2012·陜西高考理科·4）相同已知圓，是過點的直線，則（ ）(A) 與相交 (B) 與相切 (C) 與相離 (D) 以上三個選項均有可能【解題指南】首先確定點P與圓C的位置關(guān)系,然后運用數(shù)形結(jié)合法，再確定直線與圓的位置關(guān)系.【解析】選A.解法一：圓C的方程是，點P到圓心C（2,0）的距離是，點P在圓C內(nèi)部，直線與圓C相交.解法二：將點P的坐標(biāo)代入圓的方程，得：，點P（3,0）在圓內(nèi)。過點P的直線與圓C相交.7.（2012·天津高考理科·8）設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D)【解題指南】根據(jù)點到直線的距離、基本不等式、一元二次不等式求解。【解析】選D.因為直線與圓相切，所以d=r，即，令,則，故選D.8.（2012·山東高考文科·9）圓與圓的位置關(guān)系為( ) (A)內(nèi)切(B)相交(C)外切(D)相離【解題指南】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，可以利用幾何法來判斷，即判斷兩圓的圓心距與兩圓半徑和、差的關(guān)系.【解析】選B.圓與圓的圓心距：，兩圓半徑和為5、差為1，所以，所以兩圓相交.9.（2012·安徽高考文科·9）若直線與圓有公共點，則實數(shù)取值范圍是( )（A） -3 ，-1 （B） -1 ， 3 （C） -3 ，1 （D）（- ，-3 U ，+ ）【解題指南】直線與圓有公共點，根據(jù)幾何意義可得圓心到直線的距離小于半徑.【解析】選.圓的圓心到直線的距離為 則 二、填空題10.（2012·江西高考文科·14）過直線x+y-=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點P的坐標(biāo)是_.【解題指南】利用已知關(guān)系，求得的長，然后聯(lián)立方程組求得點P坐標(biāo).【解析】設(shè)P（x，y），則由已知可得PO（0為原點）與切線的夾角為，則|PO|=2，由可得.【答案】.11.（2012·天津高考文科·12）設(shè)，若直線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且與圓相交所得弦的長為2，O為坐標(biāo)原點，則面積的最小值為_ .【解題指南】圓點到直線的距離、半徑、半弦長構(gòu)造直角三角形，得出m,n的等式關(guān)系結(jié)合不等式求解.【解析】如圖所示，在，中，OA=2，AB=1，.【答案】3.12. （2012·浙江高考文科·17）與（2012·浙江高考理科·16）相同定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線:y=x的距離，則實數(shù)a=_.【解題指南】利用直線與圓的關(guān)系可得出距離，從而轉(zhuǎn)化為切點到直線間的距離問題，此過程中要注意直線與拋物線相離這一前提條件.【解析】曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線:y=x的距離為，對于y=x2+a，故切點為，切點為到直線l:y=x的距離為，解得由消去得，由可得，故【答案】13.（2012·北京高考文科·9）直線y=x被圓x2+（y-2）2=4截得弦長為_.【解題指南】利用圓心到直線的距離、半弦長與半徑構(gòu)成直角三角形，求弦長.【解析】如圖所示，|CO|=2，圓心C（0，2）到直線y=x的距離，所以弦長為.【答案】.14.（2012·江蘇高考·12）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值為 .【解題指南】從圓與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離以及直線與圓的位置關(guān)系角度處理.【解析】方法一：設(shè)直線上一點，則圓心距滿足對有解。即有解，所以有。方法二：由題意，C到直線的距離不小于2，.【答案】.三、解答題15.（2012·湖南高考理科·21）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.（）求曲線C1的方程；（）設(shè)P(x0,y0)（y0±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別于曲線C1相交于點A，B和C，D。證明：當(dāng)P在直線x=4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值.【解題指南】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問用直接法或定義法求出曲線的方程；第二問設(shè)出切線方程，把直線與曲線方程聯(lián)立，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點縱坐標(biāo)之積為定值，體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.【解析】（）解法1 ：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡得曲線的方程為.解法2 ：由題設(shè)知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為.（）當(dāng)點P在直線上運動時，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為.于是整理得 設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個實根，故 由得 設(shè)四點A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程的兩個實根，所以 同理可得 于是由，三式得.所以，當(dāng)P在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.