（廣東專用）2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書 第70課 圓錐曲線綜合問題 文

第70課 圓錐曲線綜合問題 1（2012廣州調(diào)研）設(shè)橢圓的右焦點為，直線：與軸交于點，若（其中為坐標(biāo)原點）（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的任意一點，為圓：的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值本資料由七彩教育網(wǎng) 提供！【解析】（1）由題設(shè)知， ，解得 橢圓的方程為（2）設(shè)圓：的圓心為，則 從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值 是橢圓上的任意一點，設(shè)， ，即 點，當(dāng)時，取得最大值的最大值為 2（2012東城二模）已知橢圓的左焦點，長軸長與短軸長的比是（1）求橢圓的方程；（2）過作兩直線，交橢圓于，四點，若，求證：為定值【解析】（1）由已知得，解得 故所求橢圓方程為 證明：（2）由（1）知，當(dāng)直線斜率不存在時，此時，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為 ：由 ，得 由于，設(shè)，則有 ， 同理 綜上，為定值 3（2012汕頭一模）如圖，已知橢圓（）的上頂點為，右焦點為，直線與圓：相切（1）求橢圓的方程；（2）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)【解析】（1）圓：圓，圓的圓心為，半徑為 ，直線的方程為，即， 直線與圓相切， 橢圓的方程為（2）由，知，直線與坐標(biāo)軸不垂直，由，可設(shè)直線的方程為， 則直線的方程為，由，整理得：，解得或，的坐標(biāo)為，即 將上式中的換成，得直線的方程為， 化簡得直線的方程為， 因此直線過定點 4（2012廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點到的距離的最大值為（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上，是否存在點使得直線：與圓：相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標(biāo)及相對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由【解答】（1），設(shè)是橢圓上任意一點，則， 當(dāng)時，當(dāng)時，有最大值，當(dāng)時，不合題意，橢圓的方程為（2）在中， 當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值， 當(dāng)時，點到直線的距離為， ，即，點在橢圓上， 由解得，此時點5（2012韶關(guān)質(zhì)檢）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為的直線過點（1）求該橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關(guān)于直線對稱，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由【解析】（1）拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為， 橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合， ， 橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為， 拋物線的準(zhǔn)線與橢圓的交點為， ， 由、解得或（舍去），從而橢圓的方程為 （2） 傾斜角為的直線過點， 直線的方程為， 由（1）知橢圓的另一個焦點為，設(shè)與關(guān)于直線對稱， 則得 ， 解得，即又滿足，故點在拋物線上 拋物線上存在一點，使得與關(guān)于直線對稱6（2012廣州二模）已知對稱中心為坐標(biāo)原點的橢圓與拋物線：有一個相同的焦點，直線：與拋物線只有一個公共點 (1)求直線的方程；(2)若橢圓經(jīng)過直線上的點，當(dāng)橢圓的長軸長取得最小值時，求橢圓的方程及點的坐標(biāo)【解析】(1)由，得 直線與拋物線只有一個公共點，解得 直線的方程為 (2)拋物線的焦點為，橢圓的兩個焦點為 設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則 解得 點 直線與直線：的交點為 由橢圓的定義及平面幾何知識得：橢圓的長軸長， 其中當(dāng)點與點重合時，上面不等式取等號當(dāng)時，橢圓的長軸長取得最小值，其值為4此時橢圓的方程為，點的坐標(biāo)為