（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時 圓錐曲線的綜合應(yīng)用隨堂檢測（含解析）

（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時 圓錐曲線的綜合應(yīng)用 隨堂檢測（含解析）1拋物線y24x上的點到直線l：xy20的距離最小，求P點坐標(biāo)解：設(shè)P(x0，y0)則y4x0，P到l的距離d.當(dāng)y02時，d取最小值，此時x01，故P點坐標(biāo)為P(1，2)2若點P(x，y)是橢圓1上的動點，求xy的最大值解：由已知221，可設(shè)x5cos，y4sin，其中0,2)，xy5cos4sinsin()，其中tan.xy的最大值為.3若直線ykx交橢圓y21于A、B兩點，且AB，求k取值范圍解：由得x2.不妨設(shè)由兩點間距離公式得AB210，解得k2.k.4在雙曲線1的上支上有三點A(x1，y1)、B(x2,4)、C(x3，y3)它們與點F(0,3)的距離成等差數(shù)列(1)求：y1y3的值；(2)證明：線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求此點坐標(biāo)解：(1)c3.F(0,3)為雙曲線的上焦點，設(shè)上準(zhǔn)線為l1，分別過A、B、C作x軸的垂線它們分別與x軸交于A1、B1、C1，與l1交于A2、B2、C2，令e為離心率，則有e|AA2|AF|、e|BB2|BF|、e|CC2|CF|.于是有2e|BB2|2|BF|AF|CF|e|AA2|e|CC2|，即2|BB2|AA2|CC2|.從而2|BB1|2|B1B2|2|BB2|A1A2|C1C2|AA2|CC2|y1y3，即y1y32y28.(2)AC的中垂線方程為y(y1y3)，即y4x.由于A、C均在雙曲線上，所以有1，1，兩式相減得(xx)(yy)，從而有(y1y3)·810.代入得y4x5，易見此直線過定點D(0,9)A級雙基鞏固1.橢圓M：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且|·|的最大值的取值范圍是2c2,3c2，其中c.求橢圓離心率的取值范圍解：|·|2a2，則2c2a23c2,2e213e2，e.橢圓M離心率的取值范圍是.2已知橢圓長軸、短軸及焦距之和為8，求長半軸長的最小值解：法一：abc4，bc4a.又b2c2a2，b2c2a2，解得a4(1)法二：由a2b2c2，設(shè)bacos，casin，則a(cossin1)4，a4(1)此橢圓長半軸長的最小值為4(1)3.如圖所示，曲線G的方程為y22x(y0)以原點為圓心，以t(t>0)為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點A與點B.直線AB與x軸相交于點C.(1)求點A的橫坐標(biāo)a與點C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；(2)設(shè)曲線G上點D的橫坐標(biāo)為a2，求證：直線CD的斜率為定值解：(1)由題意知，A(a，)因為|OA|t，所以a22at2.由于t>0，故有t，由點B(0，t)，C(c,0)的坐標(biāo)知，直線BC的方程為1.又因點A在直線BC上，故有1，將代入上式，得1解得ca2.(2)因為D(a2，)，所以直線CD的斜率為kCD1.所以直線CD的斜率為定值4.如圖：A、B是定拋物線y22px(p>0是定值)的兩個定點，O是坐標(biāo)原點且·0.求證直線AB必過定點，并求出這個定點解：顯然OA，OB必有斜率且斜率均不為零設(shè)OA的斜率為k，則OA：ykx.當(dāng)k±1時，由得A，同理B(2pk2，2pk)kAB.AB的方程為：y2pk(x2pk2)，整理得：yk2(2px)ky0.(*)令即則(*)對于一切實數(shù)k均成立，故直線AB過定點(2p,0)當(dāng)k±1時，ABx軸，其方程為x2p.它也經(jīng)過點(2p,0)，故直線AB必過定點(2p,0)5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線yx相切于坐標(biāo)原點O.橢圓1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.(1)求圓C的方程；(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)(m<0，n>0)，則該圓的方程為(xm)2(yn)28已知該圓與直線yx相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則2，即|mn|4.又圓與直線切于原點，將點(0,0)代入得m2n28.聯(lián)立方程和組成方程組解得故圓的方程為(x2)2(y2)28.(2)|a|5，a225，則橢圓的方程為1，其焦距c4，右焦點為(4,0)，那么OF4.要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點F為圓心，半徑為4的圓(x4)2y216與(1)所求的圓的交點數(shù)通過聯(lián)立兩圓的方程解得x，y，即存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于OF的長6已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓過M，N兩點(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上是否存在點P(x，y)，使P到定點A(a,0)(其中0<a<3)的距離的最小值為1？若存在，求出a的值及點P的坐標(biāo)；若不存在，請給出證明解：(1)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m>0，n>0，且mn)，橢圓過M，N兩點，橢圓方程為1.(2)設(shè)存在點P(x，y)滿足題設(shè)條件，|AP|2(xa)2y2，又1，y24.|AP|2(xa)2424a2(|x|3)，若3，即0<a時，|AP|2的最小值為4a2，依題意，4a21a±；若a>3，即<a<3時，當(dāng)x3時，|AP|2的最小值為(3a)2，依題意(3a)21.a2，此時點P的坐標(biāo)是(3,0)故當(dāng)a2時，存在這樣的點P滿足條件，P點的坐標(biāo)是(3,0)7(2012·鹽城質(zhì)檢)已知在ABC中，點A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)和(2,0)，點C在x軸上方(1)若點C的坐標(biāo)為(2,3)，求以A、B為焦點且經(jīng)過點C的橢圓的方程；(2)若ACB45°，求ABC的外接圓的方程；(3)若在給定直線yxt上任取一點P，從點P向(2)中圓引一條切線，切點為Q，問是否存在一個定點M，恒有PMPQ？請說明理由解：(1)因為AC5，BC3，所以橢圓的長軸長2aACBC8.又c2，所以b2，故所求橢圓的方程為1.(2)2R，2R4，R2.又圓心在AB的垂直平分線上，故可知圓心為(0，s)(s>0)，則由4s28.s2，故ABC的外接圓的方程為x2(y2)28.(3)假設(shè)存在這樣的點M(m，n)，設(shè)點P(x，xt)，因為恒有PMPQ，所以(xm)2(xtn)2x2(xt2)28，即(2m2n4)x(m2n22nt4t4)0對xR恒成立從而消去m，得n2(t2)n(2t4)0(*)，因為方程(*)的判別式為t24t12，所以當(dāng)2<t<6時，因為方程(*)無實數(shù)解，所以不存在這樣的點M.當(dāng)t6或t2時，因為方程(*)有實數(shù)解，且此時直線yxt與圓相離或相切，故此時這樣的點M存在B級能力提升1在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，設(shè)直線l經(jīng)過點P(3，)，且與x軸交于點F(2,0)(1)求直線l的方程；(2)如果一個橢圓經(jīng)過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)若在(1)、(2)情形下，設(shè)直線l與橢圓的另一個交點為Q，且，當(dāng)|最小時，求對應(yīng)的值解：(1)P(3，)，F(xiàn)(2,0)，根據(jù)兩點式得，所求直線l的方程為，即y(x2)直線l的方程是y(x2)(2)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，一個焦點F(2,0)，c2，即a2b24.點P(3，)在橢圓1(a>b>0)上，1.由解得a212，b28，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)由題意得方程組解得或Q(0，2)，(3，3)(3，3)，(33，3)|，當(dāng)時，|最小2.如圖，已知O過定點A(0，p)(p>0)，圓心O在拋物線x22py上運動，MN為圓O在x軸上截得的弦，令A(yù)Md1，ANd2，MAN.(1)當(dāng)O點運動時，MN是否有變化？請證明你的結(jié)論；(2)求的最大值及取得最大值時的的值解：設(shè)圓心O(x0，y0)，則圓O的方程為(xx0)2(yy0)2x(y0p)2.令y0，得x22x0xxp2，解得xMx0p，xNx0p.所以MNxNxM2p，即MN是定值(2)d(x0p)2p2，d(x0p)2p2，d1d2，所以2.當(dāng)且僅當(dāng)x2p2時，等式成立，即x0±p(y0p)時，取得最大值此時MON90°，所以45°.3一束光線從點F1(1,0)出發(fā)，經(jīng)直線l：2xy30上一點P反射后，恰好穿過點F2(1,0)(1)求P點的坐標(biāo)；(2)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓C的方程；(3)由(2)，設(shè)點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點，試問在x軸上是否存在兩定點A、B，使得直線QA、QB的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件下的定點A、B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)F1關(guān)于l的對稱點為F(m，n)，解得m，n，即F，故直線F2F的方程為x7y10.由解得P.(2)因為PF1PF，根據(jù)橢圓定義，得2aPF1PF2PFPF2FF22，所以a.又c1，所以b1.所以橢圓C的方程為y21.(3)假設(shè)存在兩定點為A(s,0)，B(t,0)，使得對于橢圓上任意一點Q(x，y)(除長軸兩端點)都有kQA·kQBk(k為定值)，即·k，將y21代入并整理得x2k(st)xkst10(*)由題意，(*)式對任意x(，)恒成立，所以，解之得或.所以有且只有兩定點(，0)，(，0)，使得kQA·kQB為定值.4已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，過右頂點A的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且B(1，3)(1)求橢圓C和直線l的方程；(2)記曲線C在直線l下方部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.若曲線x22mxy24ym240與D有公共點，試求實數(shù)m的最小值解：(1)由離心率e，得，即a23b2.又點B(1，3)在橢圓C：1上，即1.解得a212，b24.故所求橢圓方程為1.由A(2,0)，B(1，3)得直線l的方程為yx2.(2)曲線x22mxy24ym240，即圓(xm)2(y2)28，其圓心坐標(biāo)為G(m，2)，半徑r2，表示圓心在直線y2上，半徑為2的動圓由于要求實數(shù)m的最小值，由圖可知，只需考慮m<0的情形設(shè)G與直線l相切于點T，則由2，得m±4，當(dāng)m4時，過點G(4，2)與直線l垂直的直線l的方程為xy60，解方程組得T(2，4)因為區(qū)域D內(nèi)的點的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為1,2，所以切點TD.由圖可知當(dāng)G過點B時，m取得最小值，即(1m)2(32)28，解得mmin1.