2013高考數(shù)學總復習 考點專練48 文 新人教A版

考點專練(四十八)一、選擇題1直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個公共點，則k的值為()A1 B1或3 C0 D1或0解析：由得ky28y160，若k0，則y2，若k0，則0，即6464k0，解得k1，因此若直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個公共點，則k0或k1.答案：D2(2012年銀川模擬)過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，則AB的中點M到拋物線準線的距離為()A. B. C2 D3解析：由題知拋物線的焦點為(1,0)，準線方程為x1.由拋物線定義知：|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中點M的橫坐標為，因此M到拋物線準線的距離為1.答案：B3直線ykx1，當k變化時，此直線被橢圓y21截得的最大弦長是()A4 B. C2 D不能確定解析：(篩選法)直線ykx1恒過點(0,1)，該點恰巧是橢圓y21的上頂點，橢圓的長軸長為4，短軸長為2，而直線不經(jīng)過橢圓的長軸和短軸，因此排除A、C；將直線ykx1繞點(0,1)旋轉(zhuǎn)，與橢圓有無數(shù)條弦，其中必有最大弦長，因此排除D.故選B.答案：B4已知A，B是雙曲線C的兩個頂點，直線L垂直于實軸，與雙曲線C交于P，Q兩點，若·0，則雙曲線C的離心率e為()A. B. C1 D2解析：不妨設雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)，點P(x，y)，設A(a,0)，B(a,0)，Q(x，y)，由·0得x2y2a2，又知點P(x，y)在雙曲線C上，所以有1，對比得ab，因此雙曲線C的離心率e.答案：A5(2012年浙江)如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()A3 B2 C. D.解析：設橢圓長半軸的長為a(a>0)，則雙曲線實半軸的長為，由于雙曲線與橢圓共焦點，設焦距為2c，所以雙曲線的離心率e1，橢圓的離心離e2，所以2，故選B.答案：B6過點M(2,0)的直線m與橢圓y21交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設直線m的斜率為k1(k10)直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為()A2 B2 C. D解析：如圖，設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)則P1P2的中點P，則k2kOP，又因為P1，P2在橢圓y21上，所以有y1，y1，兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即·，則k1，即有k1·k2，故選D.答案：D二、填空題7動直線l的傾斜角為60°，若直線l與拋物線x22py(p>0)交于A，B兩點，且A，B兩點的橫坐標之和為3，則拋物線的方程為_解析：設直線l的方程為yxb，聯(lián)立，消去y，得x22p(xb)，即x22px2pb0，x1x22p3，p，拋物線的方程為x2y.答案：x2y8已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(0，1)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若AB的中點為(2，2)，則直線l的方程為_解析：由題意知，拋物線的方程為x24y，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，聯(lián)立方程得兩式相減得xx4(y1y2)，1，直線l的方程為y2(x2)，即yx.答案：xy09(2012年浙江)定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離已知曲線C1：yx2a到直線l：yx的距離等于曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離，則實數(shù)a_.解析：x2(y4)22到直線yx的距離為，所以yx2a到y(tǒng)x的距離為，而與yx平行且距離為的直線有兩條，分別是yx2與yx2，而拋物線yx2a開口向上，所以yx2a與yx2相切，可求得a.答案：三、解答題10已知F1、F2是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限的一點，B也在橢圓上，且滿足0(O為坐標原點)，·0，且橢圓的離心率為.(1)求直線AB的方程；(2)若ABF2的面積為4，求橢圓的方程解：(1)由0知直線AB過原點，又·0，.又e，ca，b2a2，橢圓方程為1，即x22y2a2，設A代入x22y2a2yaA，直線AB的方程為yx.(2)由對稱性知SABF1SAF1F2SABF2，·2c·a4.又ca，a216，b28，橢圓方程為1.11(2013屆浙江省重點中學協(xié)作體高三摸底測試)在直角坐標系xOy上取兩個定點A1(2,0)，A2(2,0)，再取兩個動點N1(0，m)，N2(0，n)，且mn3，(1)求直線A1N1與A2N2交點的軌跡M的方程；(2)已知點A(1，t)(t>0)是軌跡M上的定點，E，F(xiàn)是軌跡M上的兩個動點，如果直線AE的斜率kAE與直線AF的斜率kAF滿足kAEkAF0，試探究直線EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由解：(1)依題意知直線A1N1的方程為：y(x2)直線A2N2的方程為：y(x2)設Q(x，y)是直線A1N1與A2N2的交點，由得y2(x24)由mn3整理得1N1，N2不與原點重合，點A1(2,0)，A2(2,0)不在軌跡M上軌跡M的方程為1(x±2)(2)點A(1，t)(t>0)在軌跡M上，1解得t，即點A的坐標為(1，)設kAEk，則直線AE方程為：yk(x1)，代入1并整理得(34k2)x24k(32k)x4(k)2120設E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，點A(1，)在軌跡M上，xEyEkxEk又kAEkAF0得kAFk，將、式中的k代換成k，可得xF，yFkxFk直線EF的斜率kEFxExF，xFxEkEF即直線EF的斜率為定值，其值為.12(2012年北京東城二模)已知拋物線C：x24y，M為直線l：y1上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B.(1)當M的坐標為(0，1)時，求過M，A，B三點的圓的方程；(2)證明：以AB為直徑的圓恒過點M.解：(1)當M的坐標為(0，1)時，設過M點的切線方程為ykx1，由消y得x24kx40.令(4k)24×40，解得k±1.代入方程，解得A(2,1)，B(2,1)設圓心P的坐標為(0，a)，由|PM|PB|，解得a1.故過M，A，B三點的圓的方程為x2(y1)24.(2)證明：設M(x0，1)，由已知得y，yx，設切點分別為A，B，所以kMA，kMB，切線MA的方程為y(xx1)，即yx1xx，切線MB的方程為y(xx2)，即yx2xx.又因為切線MA過點M(x0，1)，所以得1x0x1x.又因為切線MB也過點M(x0，1)，所以得1x0x2x.由，可得x1，x2是方程1x0xx2的兩個實根，由韋達定理得，x1x22x0，x1x24.因為，所以·(x1x0)(x2x0)x1x2x0(x1x2)x(xx)1x1x2x0(x1x2)x(x1x2)22x1x21.將x1x22x0，x1x24代入，得·0.所以以AB為直徑的圓恒過點M.熱點預測13(2012年長春調(diào)研)橢圓G：1(a>b>0)的兩焦點為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，橢圓上存在點M使·0.(1)求橢圓離心率e的取值范圍；(2)當離心率e取最小值時，點N(0,3)到橢圓上的點的最遠距離為5.求此時橢圓G的方程；設斜率為k(k0)的直線l與橢圓G交于不同的兩點A，B，Q為AB的中點，問A，B兩點能否關(guān)于過P(0，)，Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由解：(1)設M(x，y)，由·0，得x2y2c2，將y2b2x2代入，得x2a2，因為0x2a2，所以0a2a2，即c2b20，即2c2a20，即e2，所以e1.(2)當e時，設橢圓方程為1，H(x，y)是橢圓上任一點，則|HN|2x2(y3)2(2b22y2)(y3)2(y3)22b218(byb)若b3，則y3時，|HN|max5，所以b4，此時橢圓方程為1；若0<b<3，則yb時，|HN|maxb35，b53>3，矛盾綜合，得橢圓方程為1.設直線l的方程為ykxm，由得(12k2)x24kmx2m2320.根據(jù)題意，知>0，得m2<32k216.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得Q，由kPQ，得m，代入m2<32k216，解得k.