2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專(zhuān)題12 排列、組合、二項(xiàng)式定理

2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專(zhuān)題12 排列、組合、二項(xiàng)式定理難點(diǎn) 1 利用空間向量解立幾中的探索性問(wèn)題1如圖11-23，PD面ABCD，ABCD為正方形，AB=2，E是PB的中點(diǎn)，且異面直線(xiàn)DP與AE所成的角的余弦為。1，m），cos<>= 得m=1.P(0,0,2),E(1,1,1)2如圖11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一個(gè)直角梯形，AB、CD為梯形的兩腰，且AB=AD=AA1=a。 （）如果截面ACD1的面種為S，求點(diǎn)D到平面ACD1的距離；（）當(dāng)為何值時(shí)，平面AB1C平面AB1D1。證明你的結(jié)論。難點(diǎn) 2 利用空間向量求角和距離1 已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。（1）棱BC上是否存在點(diǎn)P，使A1PPD，說(shuō)明理由；（2）若BC上有且僅有一點(diǎn)P，使A1PPD，試求此時(shí)的二面角P-A1D-A的大小。易錯(cuò)點(diǎn) 1 求異面直線(xiàn)所成的角1如圖11-1，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABDC，DAB=90°，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。（1）證明：面PAD面PCD；（2）求AC與PB所成的角；（3）求面AMC與面BMC所成二面角A-CM-B的大小。2如圖11-2，在直四棱術(shù)ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足為E。（1）求證BDA1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求異面直線(xiàn)AD與BC1所成角的大小。0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐標(biāo)容易求錯(cuò)?！咎貏e提醒】利用空間向量求異面直線(xiàn)所成的角，公式為cos關(guān)鍵是正確地建立坐標(biāo)系進(jìn)而寫(xiě)出各有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)會(huì)出現(xiàn)用三條兩兩不垂直的直線(xiàn)作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤，還會(huì)出現(xiàn)用三條兩兩互相垂直但不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤。寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)時(shí)要掌握一些特殊點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，如x軸上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0，0），xoz面上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a,0,b）等，其次還應(yīng)學(xué)會(huì)把某個(gè)平面單獨(dú)分化出來(lái)，利用平面幾何的知識(shí)求解，如本節(jié)的例2，求B的坐標(biāo)?！咀兪接?xùn)練】1已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2a,高為b，求異面直線(xiàn)AC1和A1B所成的角。易錯(cuò)點(diǎn) 2 求直線(xiàn)與平面所成的角1如圖在三棱錐PABC中，ABBC，AB=BC=KPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP底面ABC。（1）當(dāng)k=時(shí)，求直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的大??；（2）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？2如圖11-7，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)。【特別提醒】求直線(xiàn)與平面所成角的公式為：sin=,其中a為直線(xiàn)上某線(xiàn)段所確定的一個(gè)向量，n為平面的一個(gè)法向量，這個(gè)公式很容易記錯(cuò)，關(guān)鍵是理解，有些學(xué)生從數(shù)形結(jié)合來(lái)看，認(rèn)為n應(yīng)過(guò)直線(xiàn)上某個(gè)點(diǎn)，如例4中n應(yīng)過(guò)C點(diǎn)，這是錯(cuò)誤的，這里n是平面的任意一個(gè)法向量，再說(shuō)一個(gè)向量過(guò)某一個(gè)具體的點(diǎn)這種說(shuō)法也是錯(cuò)誤的?！咀兪接?xùn)練】1 如圖11-9，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°AC=2，BC=6，D為A1B1的中點(diǎn)，異面直線(xiàn)CD與A1B垂直。（1）求直三棱術(shù)ABC-A1B1C1的高；=(-2，2，-4)，由·=0知A1CBE，·BD=0知A1CBD，A1C平面BED（2）求A1B與平面BDE所成的角是正弦值。答案：由(1)知=(-2，2，-4)為平面BED的一個(gè)法向量，=(0，2，-4),sin=（3）求二面角P-MN-Q的余弦值。答案：由()，MN平面PAD，知MQMN,MPMN,PMQ即為二面角PMNQ的平面角而PM=,MQ=，MD=,（1）證明：PC平面PAB；（2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；（3）若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12的球面上，求ABC的邊長(zhǎng)。PO=P（0，0，a），C（0，0），A（0），C（0，0），B（0）。【特別提醒】利用空間向量求二面角，先求兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角，二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，具體是哪一種，一般有兩種判斷方法：（1）根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角；（2）根據(jù)兩法向量的方向判斷。實(shí)際上很多求二面角的題目，還是傳統(tǒng)方法（如三垂線(xiàn)定理作出二面角的平面角）簡(jiǎn)單，或傳統(tǒng)方法與空間向量相結(jié)合來(lái)解?！咀兪接?xùn)練】1.如圖，在三棱錐P-OAC中，OP、OA、OC兩兩互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B為OC的中點(diǎn)。3 如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為4，AA1=6，Q為BB1的中點(diǎn)，PDD1，MA1B1，NC1D1，AM=1，D1N=3?！咎貏e提醒】立體幾何中的距離以點(diǎn)到面的距離最為重要利用空間和量求點(diǎn)到面的距離關(guān)鍵是對(duì)公式d=的理解和記憶，其中a為過(guò)該點(diǎn)且與平面相交的線(xiàn)段確定的向量，n為平面的任意一個(gè)法向量，這個(gè)任意給解題帶來(lái)了很大的方便。當(dāng)然有些題目用空間向量來(lái)解可能沒(méi)有傳統(tǒng)方法簡(jiǎn)單?！咀兪接?xùn)練】1 已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，PC垂直于ABCD所在的平面，且PC=2。 求點(diǎn)B到平面PEF的距離。2 如圖：正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是3，點(diǎn)E、F分別在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA2C。3 在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，BC=2a，AC=a，AB=a，點(diǎn)P到平面ABC的距離為a（2）求點(diǎn)B到平面PAC的距離。3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點(diǎn)，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)OMA是AC和MN的公垂線(xiàn)B垂直于AC，但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD與AC、MN都不垂直4 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AB1BC1，則平面DBC1積與平面CBC1所成的角為 （ ）A點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上B點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上C點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上D點(diǎn)P不一定在直線(xiàn)AB上解析：0<t<1，P點(diǎn)在線(xiàn)段AB上答案：A8已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于()A. B.C. D.解析：a、b、c三向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m、n，使得cmanb.即.答案：D9正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上且，N為B1B的中點(diǎn)，則|為()10已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)則以，為邊的平行四邊形的面積為_(kāi)則50.A、B、C、D共面13設(shè)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，計(jì)算2a3b,3a2b，a·b以及a與b所成角的余弦值，并確定，應(yīng)滿(mǎn)足的條件，使ab與z軸垂直解：2a3b2×(3,5，4)3×(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3×(3,5，4)2×(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(5,13，28)a·b(3,5，4)·(2,1,8)653221.|a|，|b|，cosa，b.ab與z軸垂直，(32，5，48)·(0,0,1)480，即2.當(dāng)，滿(mǎn)足2時(shí)，可使ab與z軸垂直14.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D、E分別為AB、BB的中點(diǎn) (2) ac，設(shè)二面角C-AB-D為，則由tan=因此16、四棱錐P=ABCD中，ABCD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。（1）求證BM平面PAD； （3）求直線(xiàn)PC與平面PBD所成角的正弦值。18、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形，（1）求證：PA底面ABCD；答案： APPB，APAD， AP底面ABCD（2）求四棱錐P-ABCD的體積； (1)證明：EMBF；(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值20如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于點(diǎn)M. (1)求證：AMPD；(2)求直線(xiàn)CD與平面ACM所成的角的余弦值解：(1)證明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.21在如圖的多面體中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中點(diǎn) (1)求證：AB平面DEG；(2)求證：BDEG；(3)求二面角CDFE的余弦值令z1，得n(1,2,1)設(shè)二面角CDFE的大小為，(1，0)，(0，1)，(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則即因此可取n(，1，)23如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE與平面ABCD所成角為60°. (1)求證：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定M的位置，使得AM平面BEF，并證明你的結(jié)論