2013年全國高考數(shù)學第二輪復(fù)習 專題七 概率與統(tǒng)計第3講 隨機變量及其分布列 理

專題七概率與統(tǒng)計第3講隨機變量及其分布列真題試做1(2012·上海高考，理17)設(shè)10x1x2x3x4104，x5105.隨機變量1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均為0.2，隨機變量2取值，的概率也均為0.2.若記D1，D2分別為1，2的方差，則()AD1D2BD1D2CD1D2DD1與D2的大小關(guān)系與x1，x2，x3，x4的取值有關(guān)2(2012·課標全國高考，理15)某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為_3(2012·山東高考，理19)現(xiàn)有甲、乙兩個靶某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立假設(shè)該射手完成以上三次射擊(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學期望E(X)4(2012·陜西高考，理20)某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望考向分析本講是概率統(tǒng)計的重點，主要考查三方面的內(nèi)容：相互獨立事件及其概率，題型有選擇題、填空題，有時也出現(xiàn)在解答題中與其他知識交匯命題；二項分布及其應(yīng)用，準確把握獨立重復(fù)試驗的特點是解答二項分布問題的關(guān)鍵，一般以中檔題為主；隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差，以考生比較熟悉的實際應(yīng)用題為背景，綜合排列組合、概率公式、互斥事件及獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查對隨機變量的識別及概率計算能力，解答時要注意分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，其中有選擇題，也有填空題，但更多的是解答題，難度中檔熱點例析熱點一相互獨立事件及其概率【例】乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球(1)求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率；(2)求開始第5次發(fā)球時，甲得分領(lǐng)先的概率規(guī)律方法(1)求復(fù)雜事件的概率的一般步驟：列出題中涉及的各事件，并且用適當?shù)姆柋硎?；理清各事件之間的關(guān)系，列出關(guān)系式，即把隨機事件分成幾個互斥事件的和，每個小事件再分為n個相互獨立事件的乘積根據(jù)事件之間的關(guān)系準確選取概率公式進行計算(2)直接計算符合條件的事件的概率較繁時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率變式訓(xùn)練1甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響(1)求乙獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率熱點二二項分布及其應(yīng)用【例】購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保險費a元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為10.999104.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；(2)設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保險費(單位：元)規(guī)律方法事件服從二項分布的條件：(1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的(2)各次試驗中的事件是相互獨立的(3)每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生(4)隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)變式訓(xùn)練2某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標的概率；(3)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分記為射手射擊3次后的總得分數(shù)，求的分布列熱點三離散型隨機變量的分布列、均值與方差【例】(2012·天津高考，理16)現(xiàn)有4個人去參加某項娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望E()規(guī)律方法求離散型隨機變量的分布列，關(guān)鍵是計算各個概率值，一方面要弄清楚相應(yīng)的概型(古典概型、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)試驗等)，以便運用相關(guān)的計算公式計算；另一方面要注意運用分布列的性質(zhì)檢驗所求概率值是否正確變式訓(xùn)練3(2012·山東青島高三自評，理19)甲居住在城鎮(zhèn)的A處，準備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如，ACD算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為，且甲在每個路段只能按箭頭指的方向前進)(1)請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；(2)若記路線ACFB中遇到堵車次數(shù)為隨機變量，求的分布列及E()思想滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想期望與概率的實際應(yīng)用解題中要善于透過問題的實際背景，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題【典型例題】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假設(shè)甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望；(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：(1)產(chǎn)品的“性價比”；(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 解：(1)因為E(X1)6，所以5×0.46a7b8×0.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)3×0.34×0.25×0.26×0.17×0.18×0.14.8，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2的數(shù)學期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6，價格為6元/件，所以其“性價比”為1.因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8，價格為4元/件，所以其“性價比”為1.2.所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性1設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布N(3，2)，若P(m)a，則P(6m)等于()Aa B12aC2a D1a2設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和且P(A)m，令隨機變量則的方差D()等于()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)3一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以Z表示取出球的最大號碼，令aP(Z6)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A BC(，1) D(1，)4箱中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎現(xiàn)有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是()A BC D5(2012·浙江五校聯(lián)考，理16)甲、乙兩個籃球隊進行比賽，比賽采用5局3勝制(即先勝3局者獲勝)若甲、乙兩隊在每場比賽中獲勝的概率分別為和，記需要比賽的場次為，則E()_.6(2012·山東濟南二模，理20)一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的評分標準規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得0分”某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中有兩道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜請求出該考生：(1)得60分的概率；(2)所得分數(shù)的分布列和數(shù)學期望參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1A23解：(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)，P(C)P(D)，由于ABCD，根據(jù)事件的獨立性和互斥性，得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D)××××××.(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，根據(jù)事件的獨立性和互斥性，得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)××，P(X1)P(B)P(B)P()P()××，P(X2)P(CD)P(C)P(D)××××，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)××××，P(X4)P(CD)××，P(X5)P(BCD)××.故X的分布列為X012345P所以E(X)0×1×2×3×4×5×.4解：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)·P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.1×0.30.3×0.10.4×0.40.22.(2)方法一：X所有可能的取值為0,1,2.X0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.1×0.90.40.49；X2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.1×0.10.01.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)0×0.51×0.492×0.010.51.方法二：X所有可能的取值為0,1,2.X0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.1×0.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)0×0.51×0.492×0.010.51.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】解：記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；Bi表示事件：第3次和第4次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；A表示事件：第3次發(fā)球，甲得1分；B表示事件：開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2；C表示事件：開始第5次發(fā)球時，甲得分領(lǐng)先(1)BA0·AA1·，P(A)0.4，P(A0)0.420.16，P(A1)2×0.6×0.40.48，P(B)P(A0·AA1·)P(A0·A)P(A1·)P(A0)P(A)P(A1)P()0.16×0.40.48×(10.4)0.352.(2)P(B0)0.620.36，P(B1)2×0.4×0.60.48，P(B2)0.420.16，P(A2)0.620.36.CA1·B2A2·B1A2·B2，P(C)P(A1·B2A2·B1A2·B2)P(A1·B2)P(A2·B1)P(A2·B2)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)0.48×0.160.36×0.480.36×0.160.307 2.【變式訓(xùn)練1】解：設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)記“乙獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式，知P(C)P()P()P()P()P(B1)P()·P(B2)P()P()P()P()P()P(B3).(2)記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件D，則由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式，知P(D)P()P()P()P()·P()P(B2)P()P()P()P()P(A3).【例2】解：各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，記投保的10 000人中出險的人數(shù)為，則B(104，p)(1)記A表示事件：保險公司為該險種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當且僅當0，P(A)1P()1P(0)1，又P(A)1，故p0.001.(2)該險種總收入為10 000a元，支出是賠償金總額與成本的和支出10 00050 000.盈利10 000a(10 00050 000)，盈利的期望為E()10 000a10 000E()50 000，由B(104,103)知，E()10 000×103，E()104a104E()5×104104a104×104×1035×104.E()0104a104×105×1040a1050a15(元)故每位投保人應(yīng)交納的最低保險費為15元【變式訓(xùn)練2】解：(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)，則XB.在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率P(X2).(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標”為事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A，則P(A)P()P()P(A3A4A5).(3)由題意可知，的所有可能取值為0,1,2,3,6，P(0)P()；P(1)P()P()P()；P(2)P()××；P(3)P(A1A2)P()；P(6)P(A1A2A3).所以的分布列是01236P【例3】解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i0,1,2,3,4)，則P(Ai).(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2).(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.由于A3與A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4).所以這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.(3)的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P隨機變量的數(shù)學期望E()0×2×4×.【變式訓(xùn)練3】解：(1)記路段AC發(fā)生堵車事件為AC，各路段發(fā)生堵車事件的記法與此類同因為各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線ACDB中遇到堵車的概率為P11P(··)1P()P()P()11P(AC)1P(CD)1P(DB)1××.同理，路線ACFB中遇到堵車的概率為P21P(··).路線AEFB中遇到堵車的概率為P31P(··).顯然由A到B只可能在以上三條路線中選擇因此選擇路線ACFB，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小(2)路線ACFB中遇到堵車次數(shù)可能取值為0,1,2,3.P(0)P(··)，P(1)P(AC··)P(·CF·)P(··FB)××××××，P(2)P(AC·CF·)P(AC··FB)P(·CF·FB)××××××，P(3)P(AC·CF·FB)××.所以的分布列為0123P故E()0×1×2×3×.創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1D2D3A4B56解：(1)設(shè)“可判斷兩個選項是錯誤的”兩道題之一選對為事件A，“可判斷一個選項是錯誤的”一道題選對為事件B，“不理解題意的”一道題選對為事件C，P(A)，P(B)，P(C)，得60分的概率為P×××.(2)可能的取值為40,45,50,55,60.P(40)×××，P(45)××××××××××，P(50)××××××××××××××，P(55)××××××××××，P(60)×××.所得分數(shù)的分布列為：4045505560PE()40×(4550)×55×60×.