2013年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù) 列第2講 數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 理

專題四數(shù)列第2講數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用真題試做1(2012·遼寧高考，理6)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11()A58 B88C143 D1762(2012·大綱全國高考，理5)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()A BC D3(2012·課標(biāo)全國高考，理16)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_4(2012·福建高考，理14)數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012_.5(2012·天津高考，理18)已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tnanb1an1b2a1bn，nN*，證明Tn122an10bn(nN*)考向分析高考中對(duì)數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用的考查題型，主客觀題均會(huì)出現(xiàn)，主觀題較多一般以等差、等比數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用設(shè)計(jì)試題考查的熱點(diǎn)主要有四個(gè)方面：(1)考查數(shù)列的求和方法；(2)以等差、等比數(shù)列的知識(shí)為紐帶，在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的交匯處命題，主要考查利用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題以及用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，多為中檔題；(3)數(shù)列與解析幾何交匯的命題，往往會(huì)先遇到遞推數(shù)列，通常以解析幾何作為試題的背景，從解析幾何的內(nèi)容入手，導(dǎo)出相關(guān)的數(shù)列關(guān)系，再進(jìn)一步地解答相關(guān)的問題，試題難度大都在中等偏上，有時(shí)會(huì)以壓軸題的形式出現(xiàn)；(4)數(shù)列應(yīng)用題主要以等差、等比數(shù)列為工具，在數(shù)列與生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的聯(lián)系上設(shè)計(jì)問題，考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)與能力，主要以解答題的形式出現(xiàn)，多為中高檔題熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一數(shù)列的求和【例】(2012·山東青島一模，20)已知等差數(shù)列an(nN*)中，an1an，a2a9232，a4a737.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若將數(shù)列an的項(xiàng)重新組合，得到新數(shù)列bn，具體方法如下：b1a1，b2a2a3，b3a4a5a6a7，b4a8a9a10a15，依此類推，第n項(xiàng)bn由相應(yīng)的an中2n1項(xiàng)的和組成，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.規(guī)律方法數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項(xiàng)，數(shù)列求和主要有以下方法：(1)公式法：若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可直接由等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求和；(2)分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列通項(xiàng)公式組成，求和時(shí)可以用分組求和法，即先分別求和，然后再合并；(3)若數(shù)列an的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為f(n)f(n1)(n2)的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和；(4)若數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，則求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法；(5)倒序相加法：若一個(gè)數(shù)列an滿足與首末兩項(xiàng)等“距離”的兩項(xiàng)和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可采用倒序相加法，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就是用該法推導(dǎo)的特別提醒：(1)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)(2)利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)注意兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比為字母時(shí)，應(yīng)對(duì)字母是否為1進(jìn)行討論變式訓(xùn)練1(2012·甘肅靖遠(yuǎn)、中恒聯(lián)考，21)已知數(shù)列an中a12，an12，數(shù)列bn中bn，其中nN*.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)設(shè)Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求；(3)設(shè)Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：Tn.熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯【例】(2012·湖北孝感統(tǒng)考，22)已知數(shù)列an滿足：a1a2a3annan(n1,2,3，)(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)令bn(2n)(an1)(n1,2,3，)，如果對(duì)任意nN*，都有bntt2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍規(guī)律方法(1)由于數(shù)列的通項(xiàng)是一類特殊的函數(shù)，所以研究數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)問題可轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，但要注意數(shù)列中的自變量只能取正整數(shù)這一特點(diǎn)；(2)要充分利用數(shù)列自身的特點(diǎn)，例如在需要用到數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，可以通過比較相鄰兩項(xiàng)的大小進(jìn)行判斷；(3)對(duì)于數(shù)列的前n項(xiàng)和，沒有直接可套用的公式，但如果涉及大小比較等一些不等關(guān)系，可考慮放縮法：或，轉(zhuǎn)化為數(shù)列或，用裂項(xiàng)相消法求和后即可達(dá)到大小比較的目的變式訓(xùn)練2(理科用)(2012·安徽合肥一模，21)已知數(shù)列an中，a11，nan12(a1a2an)(1)求a2，a3，a4；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(3)設(shè)數(shù)列bn滿足b1，bn1bn.試證明：；bn1.熱點(diǎn)三數(shù)列與解析幾何的交匯【例】(2011·陜西高考，理19)如圖，從點(diǎn)P1(0,0)作x軸的垂線交曲線yex于點(diǎn)Q1(0,1)，曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk,0)(k1,2，n)(1)試求xk與xk1的關(guān)系(2kn)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.規(guī)律方法對(duì)于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識(shí)，并結(jié)合圖形，先得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)an與an1之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論變式訓(xùn)練3設(shè)C1，C2，Cn，是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線yx相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知rn為遞增數(shù)列(1)證明：rn為等比數(shù)列；(2)設(shè)r11，求數(shù)列的前n項(xiàng)和熱點(diǎn)四數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例】(2011·湖南高考，文20)某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.(1)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；(2)設(shè)An，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新證明：須在第9年初對(duì)M更新規(guī)律方法能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題，并且能夠明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，能確定首項(xiàng)，公差(比)，項(xiàng)數(shù)各是什么，能分清是某一項(xiàng)還是某些項(xiàng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵(1)在數(shù)列應(yīng)用題中，如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型為等差模型，增加(或減少)的量就是公差，則可把應(yīng)用題抽象為等差數(shù)列問題，然后用等差數(shù)列的知識(shí)對(duì)模型解析，最后再返回到實(shí)際中去；(2)若后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，該模型為等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比，則可把應(yīng)用題抽象為等比數(shù)列問題，然后用等比數(shù)列的知識(shí)對(duì)模型解析，最后再返回到實(shí)際中去；(3)若題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，應(yīng)考慮an1，an之間的遞推關(guān)系，或考慮Sn1，Sn之間的遞推關(guān)系特別提醒：解決實(shí)際問題中要注意n的取值范圍變式訓(xùn)練4某城市2012年末汽車擁有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年將上一年擁有量的6%報(bào)廢，并且每年新增汽車數(shù)量相同為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車擁有量不超過60萬輛從2012年末起，n年后汽車擁有量為bn1萬輛，若每年末的擁有量不同(1)求證：bn1bn為等比數(shù)列；(2)每年新增汽車數(shù)量不能超過多少輛？思想滲透1函數(shù)思想函數(shù)思想解決數(shù)列常見的問題：(1)數(shù)列的單調(diào)性；(2)數(shù)列中求最值問題；(3)數(shù)列中的恒成立問題2求解時(shí)注意的問題及方法：(1)數(shù)列是定義在N*或其子集上的特殊函數(shù)，自然與函數(shù)思想密不可分，因此樹立函數(shù)意識(shí)是解決數(shù)列問題的最基本要求；(2)解題時(shí)要注意把數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式看作函數(shù)的解析式，從而合理地利用函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)解決問題；(3)解決有關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)公式、單調(diào)性、最值、恒成立等問題時(shí)要注意項(xiàng)數(shù)n的取值范圍【典型例題】(2012·湖南長(zhǎng)沙模擬，22)已知數(shù)列an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足aS2n1，nN*.數(shù)列bn滿足bn，Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和(1)求a1，d和Tn；(2)若對(duì)任意的nN*，不等式Tnn8·(1)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)是否存在正整數(shù)m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)(方法一)在aS2n1中，令n1，n2，得即解得a11，d2，an2n1.bn，Tn.(方法二)an是等差數(shù)列，an，S2n1(2n1)(2n1)an.由aS2n1，得a(2n1)an.又an0，an2n1，則a11，d2.(Tn求法同方法一)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式Tnn8·(1)n恒成立，即需不等式2n17恒成立，2n8，等號(hào)在n2時(shí)取得，此時(shí)需滿足25.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式Tnn8·(1)n恒成立，即需不等式2n15恒成立，2n是隨n的增大而增大，當(dāng)n1時(shí)，2n取得最小值6.此時(shí)需滿足21.綜合，可得的取值范圍是21.(3)T1，Tm，Tn.若T1，Tm，Tn成等比數(shù)列，則，即.(法一)由，可得0，即2m24m10，1m1.又mN，且m1，m2，此時(shí)n12.當(dāng)且僅當(dāng)m2，n12時(shí)，數(shù)列Tn中的T1，Tm，Tn成等比數(shù)列(法二)，故，即2m24m10，1m1(以下同上)1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，則a3()A B C D2已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線yx22x3的頂點(diǎn)是(b，c)，則ad()A3 B2 C1 D23(2012·甘肅蘭州診斷，3)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若3，則()A2 B C D34在等比數(shù)列an中，a12，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn()A2n12 B3nC2n D3n15(2012·河北模擬，14)已知數(shù)列an滿足an2n12n1(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.6(原創(chuàng)題)設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是_7(2012·江西聯(lián)考，19)已知數(shù)列an滿足a12，a28，an24an14an.(1)證明：an12an是等比數(shù)列；(2)設(shè)bn(n2)，求：b2b3bn(n2且nN*)8已知二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x)6x2，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn對(duì)所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B2A31 83043 0185(1)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明：(方法一)由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.由，得Tn2(3n1)3×223×233×2n2n22n26n210×2n6n10.而2an10bn122(3n1)10×2n1210×2n6n10，故Tn122an10bn，nN*.(方法二：數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n1時(shí)，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即Tk122ak10bk，則當(dāng)nk1時(shí)有：Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1，因此nk1時(shí)等式也成立由和，可知對(duì)任意nN*，Tn122an10bn成立精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】解：(1)由題意知解得或(由于an1an，舍去)設(shè)公差為d，則解得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2(nN*)(2)由題意得(3·2n12)(3·2n15)(3·2n18)3·2n1(3·2n11)2n1×3·2n1258(3·2n14)(3·2n11)而258(3·2n14)(3·2n11)是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列的前2n1項(xiàng)的和，258(3·2n14)(3·2n11)2n1×2×33·22n3·2n，bn3·22n23·22n3·2n·22n·2n.bn·2n·22n.Tn(4166422n)×(4n1)【變式訓(xùn)練1】(1)證明：bn1，而bn，bn1bn1(nN*)數(shù)列bn是首項(xiàng)為b11，公差為1的等差數(shù)列(2)解：由(1)可知bnn，bnn，Sn(12n)，6，故有66.(3)證明：由(1)可知·bnn·，則Tn1·2·n·，Tn1·2·(n1)·n·，則Tnn·，Tn·.【例2】(1)證明：由題意可知a1a2a3an1annan，a1a2a3anan1n1an1，得2an11an，即an11(an1)又a11，所以數(shù)列an1是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)可得an1，bn.由bn1bn0，得n3，由bn1bn0，得n3，所以b1b2b3b4b5bn，故bn有最大值b3b4，所以對(duì)任意nN*，有bn.如果對(duì)任意nN*，都有bntt2，即bnt2t恒成立，則(bn)maxt2t.故有t2t，解得t或t，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.【變式訓(xùn)練2】解：(1)a22，a33，a44.(2)nan12(a1a2an)，則可得(n1)an2(a1a2an1)(n2)，兩式相減，得nan1(n1)an2an，即nan1(n1)an，(n2)，所以ana1····1····n(n3)，易得ann(nN*)(3)證明：b1，由(2)得bn1bnbnbn1b10，所以數(shù)列bn是正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)n1時(shí)，bn1bnbn，所以.當(dāng)n1時(shí)，b11顯然成立當(dāng)n2時(shí)，22221.所以bn1.綜上可知，bn1成立【例3】解：(1)設(shè)點(diǎn)Pk1的坐標(biāo)是(xk1,0)，yex，yex.Qk1(xk1，)，在點(diǎn)Qk1(xk1，)處的切線方程是y(xxk1)，令y0，則xkxk11(2kn)(2)x10，xkxk11，xk(k1)|PkQk|e(k1)，于是有|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(k1)e(n1)，即|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.【變式訓(xùn)練3】(1)證明：將直線yx的傾斜角記為，則有tan ，sin .設(shè)Cn的圓心為(n,0)(n0)，則由題意得知，得n2rn；同理n12rn1，從而n1nrnrn12rn1，將n2rn代入，解得rn13rn，故rn為公比q3的等比數(shù)列(2)解：由于r11，q3，故rn3n1，從而n·31n.記Sn，則有Sn12·313·32n·31n，則1·312·32(n1)·31nn·3n，由，得1313231nn·3nn×3n·3n，故Sn·31n.【例4】(1)解：當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列an12010(n1)13010n；當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是以a6為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，又a670，所以an70×.因此第n年初，M的價(jià)值an的表達(dá)式為an(2)證明：設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1n6時(shí)，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；當(dāng)n7時(shí)，SnS6(a7a8an)57070××4×780210×，An.因?yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列又A88280，A97680，所以須在第9年初對(duì)M更新【變式訓(xùn)練4】(1)證明：設(shè)2012年末汽車擁有量為b1萬輛，每年新增汽車數(shù)量為x萬輛，則b130，b20.94b1x，可得bn10.94bnx.又bn0.94bn1x，bn1bn0.94·(bnbn1)每年末的擁有量不同，bn1bn是以b2b1x1.8為首項(xiàng)，且公比q0.94的等比數(shù)列(2)解：由(1)得bn1bn0.94n·(x1.8)，于是bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)300.94·(x1.8)0.942·(x1.8)0.94n1·(x1.8)30·(x1.8)·0.94，當(dāng)x1.80，即x1.8時(shí)，bn為遞減數(shù)列，故有bn1bnb130，當(dāng)x1.80時(shí)，即x1.8時(shí)，bn30×0.9460，解得x3.7.故每年新增汽車數(shù)量不能超過3.7萬輛創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練1A2B3B4C52nn2167(1)證明：由an24an14an，得an22an12(an12an)又a22a14，an12an是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)可得an12an2n1，1，是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，ann·2n(n1，nN*)，bn(n2)，b2b3bn1(n2且nN*)8解：(1)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)為f(x)ax2bx(a0)，則f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，又因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上，所以Sn3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S13×1226×15，所以an6n5(nN*)(2)由(1)得bn，故Tn.因此要使(nN*)成立，m必須且僅需滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.