2011-2012年高考數(shù)學 真題分類匯編 空間向量與立體幾何（含解析）

立體幾何中的向量方法1.（2012年高考（重慶理）設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,和,且長為的棱與長為的棱異面,則的取值范圍是（）ABCD解析 以O為原點,分別以OB、OC、OA所在直線為x、y、z軸, 則,A , 2. （2012年高考（陜西理）如圖,在空間直角坐標系中有直三棱柱,則直線與直線夾角的余弦值為（）ABCD解析:不妨設,直線與直線夾角為銳角,所以余弦值為,選A. 3.（2012年高考（天津理）如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.()證明丄;()求二面角的正弦值;()設E為棱上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為,求AE的長.【命題意圖】本小題主要考查空間兩條直線的位置關系,二面角、異面直線所成的角,直線與平面垂直等基礎知識,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力. 方法一:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（2），設平面的法向量則 取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設；則， 即方法二:(1)證明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以. (2)解:如圖,作于點,連接,由,可得平面.因此,從而為二面角的平面角. 在中,由此得,由(1)知,故在中,因此,所以二面角的正弦值為. 4.（2012年高考（新課標理）如圖,直三棱柱中,是棱的中點,(1)證明:(2)求二面角的大小.第一問省略第二問：如圖建系: A(0,0,0),P(0,0,),M(,0), N(,0, 0),C(,3,0). 設Q(x,y,z),則. ,. 由,得:. 即:. 對于平面AMN:設其法向量為. . 則. . 同理對于平面AMN得其法向量為. 記所求二面角AMNQ的平面角大小為, 則. 所求二面角AMNQ的平面角的余弦值為. 5.（2011年安徽）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，OAB，,，都是正三角形。（）證明直線；（II）求棱錐FOBED的體積。本題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關系，空間直線平行的證明，多面體體積的計算等基本知識，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力.（I）（綜合法）證明：設G是線段DA與EB延長線的交點. 由于OAB與ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，同理，設是線段DA與線段FC延長線的交點，有又由于G和都在線段DA的延長線上，所以G與重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分別是GE和GF的中點，所以BC是GEF的中位線，故BCEF.（向量法）過點F作，交AD于點Q，連QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q為坐標原點，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標系.由條件知則有所以即得BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是邊長為2的正三角形，故 所以過點F作FQAD，交AD于點Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ=，所以6.（2011年北京） 如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當平面與平面垂直時，求的長. 證明：（）因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD.又因為PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）設ACBD=O.因為BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設PB與AC所成角為，則.（）由（）知設P（0，t）（t>0），則設平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量因為平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=7. （2011年福建） 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設AB=AP （i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長；（ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由。分析： 本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據(jù)能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，滿分14分。解法一：（I）因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系Axyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點E，則在中，DE=，設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）設平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因為AD），所以（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，設G（0，m，0）（其中）則，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化簡得（3）由于方程（3）沒有實數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，C，D的距離都相等。從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系Axyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于E，則。在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點E，則在中，DE=，設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，設平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因為AD），所以（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，由GC=CD，得，從而，即設，在中，這與GB=GD矛盾。所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。8.（2011年廣東） 如圖5在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點（1） 證明：AD 平面DEF;（2） 求二面角P-AD-B的余弦值 法一：（1）證明：取AD中點G，連接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。 （2），為二面角PADB的平面角，在在法二：（1）取AD中點為G，因為又為等邊三角形，因此，從而平面PBG。延長BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O為坐標原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系。設由于 得平面DEF。 （2）取平面ABD的法向量設平面PAD的法向量由取