2014屆高三數(shù)學總復(fù)習 課時提升作業(yè)(三十六) 第六章 第三節(jié) 基本不等式 文

課時提升作業(yè)(三十六) 第六章 第三節(jié) 基本不等式 一、選擇題 1.設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是　(　　) (A)a<b<< (B)a<<<b (C)a<<b< (D)<a<<b 2.(2013·南昌模擬)函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上(其中m,n>0),則+的最小值等于　(　　) (A)16 (B)12 (C)9 (D)8 3.(2012·湖北高考)設(shè)a,b,c∈R,則“abc=1”是“++≤a+b+c”的　(　　) (A)充分條件但不是必要條件 (B)必要條件但不是充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要的條件 4.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=　(　　) (A)20　　　(B)10　　　(C)16　　　(D)8 5.(2013·撫州模擬)設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項,則+的最小值為　 (　　) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 6.(2012·陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b),其全程的平均時速為v,則　(　　) (A)a<v< (B)v= (C)<v< (D)v= 7.(2013·南昌模擬)設(shè)x,y是滿足2x+y=20的正數(shù),則lgx+lg(2y)的最大值為　 (　　) (A)50 (B)2 (C)1+lg5 (D)1 8.(2013·余姚模擬)已知f(x)=log2(x-2),若實數(shù)m,n滿足f(m)+f(2n)=3,則m+n的最小值為　(　　) (A)5 (B)7 (C)8 (D)9 二、填空題 9.(2013·淮南模擬)設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,則+的最大值為　　　　. 10.若對任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是　　　　. 11.若當x>1時不等式>m2+1恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　. 12.若實數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是　　　　. 三、解答題 13.若x,y∈R,且滿足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范圍.(2)求證:xy≤2. 14.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0, 求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值. 15.(能力挑戰(zhàn)題)某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的污水處理池,池的深度一定(平面圖如圖所示),如果池圍墻建造單價為400元/米,中間兩道隔墻建造單價為248元/米,池底建造單價為80元/米2,水池所有墻的厚度忽略不計. (1)試設(shè)計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價. (2)若由于地形限制,設(shè)池的長和寬都不能超過16米,試設(shè)計該水池的長和寬,使總造價最低. 答案解析 1.【解析】選B.方法一:令a=1,b=4, 則=2,=, ∴a<<<b. 方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<,a+b<2b, ∴<b,∴a<<<b. 【變式備選】下列結(jié)論中正確的是　(　　) (A)若3a+3b≥2,則必有a>0,b>0 (B)要使+≥2成立,必有a>0,b>0 (C)若a>0,b>0,且a+b=4,則+≤1 (D)若ab>0,則≥ 【解析】選D.當a,b∈R時,一定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2,A錯.要使+≥2成立,只要>0,>0即可,這時只要a,b同號,B錯.當a>0,b>0,且a+b=4時,則+=,由于ab≤()2=4,所以+=≥1,C錯.當a>0,b>0時,a+b≥2,所以≤=,而當a<0,b<0時,顯然有>,所以當ab>0時,一定有≥,故D正確. 2.【解析】選D.由題意A(-2,-1), ∴-2m-n+1=0,即2m+n=1. ∴+=(+)(2m+n)=4++≥8. 當且僅當n=2m時取等號. 3.【解析】選A.由于++=≤=.可知當abc=1時,可推出++≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,滿足++≤a+b+c,但abc=1不成立. 4.【解析】選A.該公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,則需要購買次,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,故一年的總運費與總存儲費用之和為(·4+4x)萬元. 而·4+4x≥2=160,當且僅當=4x,即x=20時,一年的總運費與總存儲費用之和最小. 5.【解析】選B.由題意3=3a·3b=3a+b,∴a+b=1, ∴+=(+)(a+b)=2++≥4, 當且僅當=,a=b時取等號. 6.【解析】選A.設(shè)甲乙兩地的路程為s,則往返時間分別是t1=,t2=,所以平均速度是v===,因為a<b,所以>a, <,即a<v<. 7.【解析】選B.∵20=2x+y≥2,∴2xy≤100, ∴l(xiāng)gx+lg(2y)=lg(2xy)≤lg100=2. 當且僅當2x=y時取等號. 8.【解析】選B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2[(m-2)(2n-2)]=3, 因此于是n=+1. 所以m+n=m++1=m-2++3≥2+3=7.當且僅當m-2=,即m=4時等號成立,此時m+n取最小值7. 9.【解析】由題意x=loga3,y=logb3.∴+=+=log3a+log3b=log3(ab). ∵2=a+b≥2,∴ab≤3, ∵+≤log33=1,當且僅當a=b時取等號. ∴+的最大值為1. 答案：1 10.【解析】∵x>0,∴x+≥2(當且僅當x=1時取等號), ∴=≤=, ∴()max=,∴a≥. 答案：a≥ 【方法技巧】根據(jù)恒成立求參數(shù)的方法 (1)若a≥f(x)恒成立,只需a≥f(x)max. (2)若a≤f(x)恒成立,只需a≤f(x)min. 即將求參數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來解決. 11.【思路點撥】關(guān)鍵是用基本不等式求的最小值,可將其分子按照分母x-1進行配方,然后分解為3項,再利用基本不等式求最值. 【解析】由于==(x-1)++2≥2+2=6,當且僅當x=3時取等號,所以要使不等式恒成立,應(yīng)有m2+1<6,解得-<m<. 答案：-<m< 12.【思路點撥】先對x2+y2變形,用x+y與xy表示,然后用基本不等式將xy轉(zhuǎn)化為x+y,再解不等式得x+y的最大值. 【解析】由x2+y2+xy=1可得(x+y)2-xy=1,所以(x+y)2-1=xy,由于xy≤()2,所以(x+y)2-1≤()2,因此(x+y)2≤,所以x+y≤, 即x+y的最大值是. 答案： 13.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,有(x2+y2+5) ·(x2+y2-4)≤0,因為x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4. (2)由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤≤=2,所以xy≤2. 14.【思路點撥】把2x+8y-xy=0轉(zhuǎn)化為+=1即可. 【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1, 又x>0,y>0, 則1=+≥2=,得xy≥64, 當且僅當=時,等號成立. 所以xy的最小值為64. (2)由2x+8y-xy=0,得+=1, 則x+y=(+)·(x+y) =10++≥10+2=18. 當且僅當=,且+=1時等號成立, ∴x+y的最小值為18. 15.【解析】(1)設(shè)污水處理池的寬為x米,則長為米, 則總造價f(x)=400×(2x+2×)+248×2x+80×162=1296x++12960= 1296(x+)+12960≥1296×2+12960=38880(元). 當且僅當x=,x=10時取等號. ∴當長為16.2米,寬為10米時總造價最低,最低總造價為38880元. (2)由限制條件知 ∴10≤x≤16. 設(shè)g(x)=x+(10≤x≤16), ∴g(x)在[10,16]上是增函數(shù), ∴當x=10時(此時=16),g(x)取最小值, 即f(x)取最小值. ∴當長為16米,寬為10米時,總造價最低.