（安徽專用）2013年高考數(shù)學總復習 第八章第5課時 曲線與方程課時闖關(guān)（含解析）

第八章第5課時 曲線與方程 課時闖關(guān)（含解析） 一、選擇題 1．(2012·無錫調(diào)研)下列各點在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲線上的是(　　) A．(0,0)　　　　　　　　　　 B．(1,1) C．(1，－1) D．(1，－2) 解析：選D.驗證法，點(0,0)顯然不滿足方程x2－xy＋2y＋1＝0，當x＝1時，方程變?yōu)?－y＋2y＋1＝0，解得y＝－2， ∴(1，－2)點在曲線上．故選D. 2．已知兩點M(－2,0)，N(2,0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足||·||＋·＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：選B.||＝4，||＝，·＝4(x－2)，∴4＋4(x－2)＝0，∴y2＝－8x. 3．方程(x2＋y2－4)＝0的曲線形狀是(　　) 解析：選C.由題意可得或x＋y＋1＝0. 它表示直線x＋y＋1＝0和圓x2＋y2－4＝0在直線x＋y＋1＝0右上方的部分． 4．平面直角坐標系中，已知兩點A(3,1)，B(－1,3)，若點C滿足＝λ1＋λ2(O為原點)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點C的軌跡是(　　) A．直線 B．橢圓 C．圓 D．雙曲線 解析：選A.設C(x，y)， 則＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)， ∵＝λ1＋λ2，∴，又λ1＋λ2＝1， ∴x＋2y－5＝0，表示一條直線． 5．(2012·蘭州質(zhì)檢)一圓形紙片的圓心為O，點Q是圓內(nèi)異于O的一個定點，點A是圓周上一動點，把紙片折疊使點A與點Q重合，然后展開紙片，折痕CD與OA交于點P，當點A運動時，點P的軌跡為(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 解析：選A.∵折痕所在的直線是AQ的垂直平分線， ∴|PA|＝|PQ|.又∵|PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|.由橢圓的定義知點P的軌跡是橢圓． 二、填空題 6．設P為雙曲線－y2＝1上一動點，O為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是________． 解析：設M(x，y)，則P(2x,2y)，代入雙曲線方程得x2－4y2＝1，即為所求． 答案：x2－4y2＝1 7．由動點P向圓x2＋y2＝1引兩條切線PA、PB，切點分別為A，B，∠APB＝60°，則動點P的軌跡方程為________． 解析：在Rt△AOP中(O為坐標原點)，∵∠APB＝60°， ∴∠APO＝30°，∴PO＝2OA＝2， 動點P的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓， 方程為x2＋y2＝4. 答案：x2＋y2＝4 8．(2012·大同調(diào)研)直線＋＝1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是________． 解析：設直線＋＝1與x，y軸的交點分別為A(a,0)，B(0,2－a)，AB中點為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1. 答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1) 三、解答題 9．已知點A(1,0)，直線l：y＝2x－4，點R是直線l上的一點，若＝，求點P的軌跡方程． 解：∵＝， ∴R，A，P三點共線，且A為RP的中點，設P(x，y)，R(x1，y1)，則由＝，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，則，即x1＝2－x，y1＝－y，將其代入直線y＝2x－4中，得y＝2x，∴點P的軌跡方程為y＝2x. 10．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點是F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，Q是橢圓外的動點，滿足|F1Q|＝2a，點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足·＝0，||≠0. (1)設x為點P的橫坐標，證明|F1P|＝a＋x； (2)求點T的軌跡C的方程． 解：(1)證明：設P(x，y)， 則|F1P|2＝(x＋c)2＋y2 ＝(x＋c)2＋b2－x2 ＝2. ∵x≥－a，∴a＋x≥a－c>0， ∴|F1P|＝a＋x. (2)設T(x，y)．當||≠0時， ∵·＝0， ∴PT⊥TF2. 又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝|PF1|＋|PQ|， ∴|PQ|＝|PF2|，∴T為線段F2Q的中點． 在△QF1F2中，|OT|＝|F1Q|＝a， 即x2＋y2＝a2. 當||＝0時，點(－a,0)和(a,0)在軌跡上． 綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2＋y2＝a2. 11．設橢圓方程為x2＋＝1，過點M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點，O為坐標原點，點P滿足＝(＋)，點N的坐標為，當直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求： (1)動點P的軌跡方程； (2)||的最大值，最小值． 解：(1)直線l過定點M(0,1)，設其斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知， A、B的坐標滿足方程組 消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 則Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. 設P(x，y)是中點，則＝(＋)，得 消去k得4x2＋y2－y＝0. 當斜率k不存在時，AB的中點是坐標原點， 也滿足這個方程， 故P點的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0. (2)由(1)知4x2＋2＝， ∴－≤x≤. 而||2＝2＋2 ＝2＋＝－32＋， ∴當x＝－時，||取得最大值， 當x＝時，||取得最小值.