2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 12.5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課件 理 北師大版.ppt

12.5離散型隨機(jī)變量的均值與方差,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,n. (1)均值:稱EX=為隨機(jī)變量X的均值或均值.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,標(biāo)準(zhǔn)差,2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX+b)=; (2)E(+)=E+E; (3)D(aX+b)=.,aEX+b,a2DX,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布,則EX=,DX=. (2)若XB(n,p),則EX=,DX=.,p,p(1-p),np,np(1-p),知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,1.若x1,x2相互獨(dú)立,則E(x1x2)=Ex1Ex2. 2.均值與方差的關(guān)系:DX=EX2-E2X. 3.超幾何分布的均值:若X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則EX=,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無(wú)關(guān).() (2)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事.() (3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù),樣本的平均值是隨機(jī)變量,它不確定. () (4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小.() (5)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)是正態(tài)分布的均值,是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(),知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,2.(2018浙江,7改編)設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量的分布列是 則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí),() A.D減小B.D增大 C.D先減小后增大D.D先增大后減小,D,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,3.(2018浙江模擬,6)已知某8個(gè)數(shù)的均值為5,方差為3,現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5,此時(shí)這9個(gè)數(shù)的均值記為EX,方差記為DX,則() A.EX=5,DX3 B.EX=5,DX3 D.EX<5,DX<3,B,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,A,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,二項(xiàng)分布的均值、方差問(wèn)題 例1(2018河南洛陽(yáng)模擬,6)為了解學(xué)生喜歡校內(nèi)、校外開展活動(dòng)的情況,某中學(xué)一課外活動(dòng)小組在學(xué)校高一年級(jí)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,問(wèn)卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問(wèn)卷成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將數(shù)據(jù)按0,20),20,40),40,60),60,80),80,100分成五組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為A類學(xué)生,低于60分的稱為B類學(xué)生.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)根據(jù)已知條件完成下面22列聯(lián)表,是否有99%的把握認(rèn)為性別與是否“為A類學(xué)生”有關(guān)系? (2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中A類學(xué)生的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列、均值EX和方差DX.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解 (1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在60,80)之間的學(xué)生人數(shù)為0.012 520200=50人,在80,100之間的學(xué)生人數(shù)為0.007 520200=30人,所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120人.因此列聯(lián)表為:,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考如何簡(jiǎn)便地求二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的均值與方差? 解題心得求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí),可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布,如果XB(n,p),那么用公式EX=np,DX=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018江西南昌模擬,19)大豆是我國(guó)主要的農(nóng)作物之一,因此,大豆在農(nóng)業(yè)發(fā)展中占有重要的地位,隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展,為了使大豆得到更好的種植,就要進(jìn)行超級(jí)種培育研究.某種植基地對(duì)培育的“超級(jí)豆”種子進(jìn)行種植測(cè)試:選擇一塊營(yíng)養(yǎng)均衡的可種植4株的實(shí)驗(yàn)田地,每株放入三粒“超級(jí)豆”種子,且至少要有一粒種子發(fā)芽這株豆苗就能有效成活,每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg.已知每粒豆苗種子成活的概率為 (假設(shè)種子之間及外部條件一致,發(fā)芽相互沒有影響). (1)求恰好有3株成活的概率; (2)記成活的豆苗株數(shù)為,收成為(kg),求隨機(jī)變量的分布列及的均值E.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,非二項(xiàng)分布的均值、方差問(wèn)題 例2(2018天津,理16)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查. (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查. 用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與均值; 設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考如何求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差? 解題心得1.求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟: (1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值. (2)求X取每個(gè)值的概率. (3)寫出X的分布列. (4)由均值的定義求EX. (5)由方差的定義求DX. 2.注意性質(zhì)的應(yīng)用:若隨機(jī)變量X的均值為EX,則對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量aX+b的均值是aEX+b,方差為a2DX.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2018河南商丘模擬,19)“世界那么大,我想去看看”,每年高考結(jié)束后,處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動(dòng)機(jī)強(qiáng)烈,旅游可支配收入日益增多,可見高中畢業(yè)生旅游是一個(gè)巨大的市場(chǎng).為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費(fèi)支出(單位:百元)的情況,相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某市的1 000名畢業(yè)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表:,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元); (2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出X服從正態(tài)分布N(51,152),若該市共有高中畢業(yè)生35 000人,試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8 100元以上; (3)已知本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在80,100范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生,3名男生,現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪,記選出的男生人數(shù)為Y,求Y的分布列與均值. 附:若XN(,2),則P(-<X<+)=68.3%,P(-2<X<+2)=95.4%,P(-3<X<+3)=99.7%.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,均值與方差在決策中的應(yīng)用 例3(2018廣東佛山模擬,19)某學(xué)校為鼓勵(lì)家?；?dòng),與某手機(jī)通訊商合作,為教師辦理流量套餐.為了解該校教師手機(jī)流量使用情況,通過(guò)抽樣,得到100位教師近2年每人手機(jī)月平均使用流量L(單位:M)的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下:,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量,并將頻率看為概率,回答以下問(wèn)題. (1)從該校教師中隨機(jī)抽取3人,求這3人中至多有1人月使用流量不超過(guò)300 M的概率; (2)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐,詳情如下:,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,這三款套餐都有如下附加條款:套餐費(fèi)月初一次性收取,手機(jī)使用一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充值200 M流量,資費(fèi)20元;如果又超出充值流量,系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值200 M流量,資費(fèi)20元/次,依次類推,如果當(dāng)月流量有剩余,系統(tǒng)將自動(dòng)清零,無(wú)法轉(zhuǎn)入次月使用. 學(xué)校欲訂購(gòu)其中一款流量套餐,為教師支付月套餐費(fèi),并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%,其余部分由教師個(gè)人承擔(dān),問(wèn)學(xué)校訂購(gòu)哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)?說(shuō)明理由.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)依題意, P(300<L500)=(0.002 5+0.003 5)100=0.6,P(500<L700)=(0.000 8+0.000 2)100=0.1. 當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)A套餐時(shí),設(shè)學(xué)校為一位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X1,則X1的所有可能取值為20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1, 所以EX1=200.3+350.6+500.1=32(元). 當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)B套餐時(shí),設(shè)學(xué)校為一位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X2,則X2的所有可能取值為30,45, 且P(X2=30)=0.3+0.6=0.9,P(X2=45)=0.1, 所以EX2=300.9+450.1=31.5(元). 當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)C套餐時(shí),設(shè)學(xué)校為一位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X3,則X3的所有可能取值為38, 且P(X3=38)=1,EX3=380.1=38(元). 因?yàn)镋X2<EX1<EX3,所以學(xué)校訂購(gòu)B套餐最經(jīng)濟(jì).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考如何利用均值與方差對(duì)生活中相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行決策? 解題心得利用均值、方差進(jìn)行決策的方法:均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉,由此可對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷;若兩個(gè)隨機(jī)變量均值相同或相差不大,則可通過(guò)分析兩個(gè)變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小,進(jìn)而進(jìn)行決策.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2018全國(guó)1,理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立. (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0. (2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用. 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX; 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的均值值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,令f(p)=0,得p=0.1.當(dāng)p(0,0.1)時(shí),f(p)0; 當(dāng)p(0.1,1)時(shí),f(p)400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.求某事件發(fā)生的概率,首先理解題意,分清概率模型,恰當(dāng)選擇概率計(jì)算公式. 2.求隨機(jī)變量的均值、方差的基本方法: (1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解; (2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差,求X的線性函數(shù)Y=aX+b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用均值、方差的性質(zhì)求解; (3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布(如二項(xiàng)分布),可直接利用它們的均值、方差公式求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,3.利用均值與方差解決實(shí)際問(wèn)題的步驟: (1)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并將問(wèn)題中的隨機(jī)變量設(shè)出來(lái). (2)依據(jù)隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所表示的具體事件,求出其相應(yīng)的概率. (3)依據(jù)均值與方差的定義、公式求出相應(yīng)的均值與方差值. (4)依據(jù)均值與方差的意義對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策或給出合理的解釋. 4.隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值的關(guān)系:隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本平均值是一個(gè)隨機(jī)變量,它隨樣本抽取的不同而變化.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來(lái)越接近于總體的均值.,易錯(cuò)警示分不清試驗(yàn)是不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 典例某電視臺(tái)舉行電視奧運(yùn)知識(shí)大獎(jiǎng)賽,比賽分初賽和決賽兩部分.為了增加節(jié)目的趣味性,初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行.每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽,答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽,答錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答題的正確率為 . (1)求選手甲可進(jìn)入決賽的概率; (2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為,試寫出的分布列,并求的均值.,錯(cuò)因分析(1)甲答3題進(jìn)入決賽指的是甲全部答對(duì)該3題,甲答4題進(jìn)入決賽指的是前3題中答對(duì)2道題,答錯(cuò)1道題,第4題答對(duì).只有前3次答題事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).同理答5題進(jìn)入決賽指的是前4題答對(duì)2道題,答錯(cuò)2道題,第5題答對(duì).只有前4次答題事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),不是對(duì)全部進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). (2)甲答3題結(jié)束比賽,指答對(duì)該3題或答錯(cuò)該3題.甲答4題結(jié)束比賽,指答對(duì)前3題中的2道題,第4題答對(duì)進(jìn)入決賽,或前3題中有2道題答錯(cuò),第4題答錯(cuò).甲答5題結(jié)束比賽,指答對(duì)前4題中的2道題,第5題答對(duì),或前4題中有2道題答錯(cuò),第5道題答錯(cuò).,