（全國120套）2013年中考數(shù)學試卷分類匯編 四邊形（正方形）

正方形1、（2013昆明）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F(xiàn)，交AD，BC于點M，N下列結論：APEAME；PM+PN=AC；PE2+PF2=PO2；POFBNF；當PMNAMP時，點P是AB的中點其中正確的結論有（）A5個B4個C3個D2個考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質分析：依據(jù)正方形的性質以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷APM和BPN以及APE、BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷解答：解：四邊形ABCD是正方形，BAC=DAC=45°在APE和AME中，APEAME，故正確；PE=EM=PM，同理，F(xiàn)P=FN=NP正方形ABCD中ACBD，又PEAC，PFBD，PEO=EOF=PFO=90°，且APE中AE=PE四邊形PEOF是矩形PF=OE，PE+PF=OA，又PE=EM=PM，F(xiàn)P=FN=NP，OA=AC，PM+PN=AC，故正確；四邊形PEOF是矩形，PE=OF，在直角OPF中，OF2+PF2=PO2，PE2+PF2=PO2，故正確BNF是等腰直角三角形，而POF不一定是，故錯誤；AMP是等腰直角三角形，當PMNAMP時，PMN是等腰直角三角形PM=PN，又AMP和BPN都是等腰直角三角形，AP=BP，即P時AB的中點故正確故選B點評：本題是正方形的性質、矩形的判定、勾股定理得綜合應用，認識APM和BPN以及APE、BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關鍵2、(2013年臨沂)如圖，正方形ABCD中，AB=8cm,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別從B,C兩點同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC,CD運動，到點C,D時停止運動，設運動時間為t(s),OE的面積為s()，則s()與t(s)的函數(shù)關系可用圖像表示為O48816t(s)S()（B）O48816t(s)S()（A）O48816t(s)S()（D）O48816t(s)S()（C）答案：B解析：經(jīng)過t秒后，BECFt，CEDF8t，所以，是以（4,8）為頂點，開口向上的拋物線，故選B。3F（第12題圖）ABCDOE、（8-3矩形、菱形、正方形·2013東營中考）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：（1）AE=BF；（2）AEBF；（3）AO=OE；（4）中正確的有（ ）A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個12.B.解析：在正方形ABCD中，因為CE=DF，所以AF=DE，又因為AB=AD，所以，所以AE=BF，因為，所以，即，所以AEBF，因為S四邊形DEOF，所以 S四邊形DEOF，故（1），（2），（4）正確.4、（2013涼山州）如圖，菱形ABCD中，B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為（）A14B15C16D17考點：菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質分析：根據(jù)菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長，根據(jù)正方形的性質得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可解答：解：四邊形ABCD是菱形，AB=BC，B=60°，ABC是等邊三角形，AC=AB=4，正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故選C點評：本題考查了菱形性質，正方形性質，等邊三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出AC的長5、（2013資陽）如圖，點E在正方形ABCD內，滿足AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）A48B60C76D80考點：勾股定理；正方形的性質分析：由已知得ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分=S正方形ABCDSABE求面積解答：解：AEB=90°，AE=6，BE=8，在RtABE中，AB2=AE2+BE2=100，S陰影部分=S正方形ABCDSABE=AB2×AE×BE=100×6×8=76故選C點評：本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質關鍵是判斷ABE為直角三角形，運用勾股定理及面積公式求解6、（2013雅安）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：BE=DF，DAF=15°，AC垂直平分EF，BE+DF=EF，SCEF=2SABE其中正確結論有（）個A2B3C4D5考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質分析：通過條件可以得出ABEADF而得出BAE=DAF，BE=DF，由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出SCEF和2SABE再通過比較大小就可以得出結論解答：解：四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，B=BCD=D=BAD=90°AEF等邊三角形，AE=EF=AF，EAF=60°BAE+DAF=30°在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，正確BAE=DAF，DAF+DAF=30°，即DAF=15°正確，BC=CD，BCBE=CDDF，及CE=CF，AE=AF，AC垂直平分EF正確設EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，AC=，AB=，BE=x=，BE+DF=xxx，錯誤，SCEF=，SABE=，2SABE=SCEF，正確綜上所述，正確的有4個，故選C點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質解題時關鍵7、（2013菏澤）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（）A16B17C18D19考點：相似三角形的判定與性質；正方形的性質專題：計算題分析：由圖可得，S1的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答解答：解：如圖，設正方形S2的邊長為x，根據(jù)等腰直角三角形的性質知，AC=x，x=CD，AC=2CD，CD=2，EC2=22+22，即EC=；S2的面積為EC2=8；S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9，S1+S2=8+9=17故選B點評：本題考查了正方形的性質和等腰直角三角形的性質，考查了學生的讀圖能力8、（2013咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（）ABCD考點：相似三角形的應用；正方形的性質；幾何概率分析：求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率；解答：解：設正方形的ABCD的邊長為a，則BF=BC=，AN=NM=MC=a，陰影部分的面積為（）2+（a）2=a2，小鳥在花圃上的概率為=故選C點評：本題考查了正方形的性質及幾何概率，關鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個陰影正方形的邊長，最后表示出面積9、（2013臺灣、30）如圖，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點不重合，并連接BG根據(jù)圖中標示的角判斷下列1、2、3、4的大小關系何者正確？（）A12B12C34D34考點：正方形的性質分析：根據(jù)正方形的每一個角都是直角求出BAD=EAG=90°，然后根據(jù)同角的余角相等可得1=2，根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得AEAB，從而得到AGAB，再根據(jù)三角形中長邊所對的角大于短邊所對的角求出34解答：解：四邊形ABCD、AEFG均為正方形，BAD=EAG=90°，BAD=1+DAE=90°，EAG=2+DAE=90°，1=2，在RtABE中，AEAB，四邊形AEFG是正方形，AE=AG，AGAB，34故選D點評：本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質，同角的余角相等的性質，要注意在同一個三角形中，較長的邊所對的角大于較短的邊所對的角的應用10、（2013臺灣、23）附圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重迭情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD=BE若AC=18，GF=6，則F點到AC的距離為何？（）A2B3C124D66考點：正方形的性質；等邊三角形的性質分析：過點B作BHAC于H，交GF于K，根據(jù)等邊三角形的性質求出A=ABC=60°，然后判定BDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質求出BDE=60°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出ACDE，再根據(jù)正方形的對邊平行得到DEGF，從而求出ACDEGF，再根據(jù)等邊三角形的邊的與高的關系表示出KH，然后根據(jù)平行線間的距離相等即可得解解答：解：如圖，過點B作BHAC于H，交GF于K，ABC是等邊三角形，A=ABC=60°，BD=BE，BDE是等邊三角形，BDE=60°，A=BDE，ACDE，四邊形DEFG是正方形，GF=6，DEGF，ACDEGF，KH=18×6×6=936=66，F(xiàn)點到AC的距離為66故選D點評：本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質，等邊三角形的判定與性質，等邊三角形的高線等于邊長的倍，以及平行線間的距離相等的性質，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質是解題的關鍵11、(2013年南京)已知如圖所示的圖形的面積為24，根據(jù)圖中的條件，可列出方程： 。答案：本題答案不唯一，如(x+1)2=25；解析：把缺口補回去，得到一個面積25的正方形，邊長為x1。12、（2013蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P則點P的坐標為（2，42）考點：相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；正方形的性質3718684分析：根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出BPQ和OCQ相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標解答：解：四邊形OABC是邊長為2的正方形，OA=OC=2，OB=2，QO=OC，BQ=OBOQ=22，正方形OABC的邊ABOC，BPQOCQ，=，即=，解得BP=22，AP=ABBP=2（22）=42，點P的坐標為（2，42）故答案為：（2，42）點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的對角線等于邊長的倍的性質，以及坐標與圖形的性質，比較簡單，利用相似三角形的對應邊成比例求出BP的長是解題的關鍵13、（2013嘉興）如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點E出發(fā)沿直線向點F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角當小球P第一次碰到點E時，小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為6，小球P所經(jīng)過的路程為6考點：正方形的性質；軸對稱的性質分析：根據(jù)已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過的路徑的總長度解答：解：根據(jù)已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，第一次碰撞點為F，在反射的過程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關系的三角形的相似可得第二次碰撞點為G，在DA上，且DG=DA，第三次碰撞點為H，在DC上，且DH=DC，第四次碰撞點為M，在CB上，且CM=BC，第五次碰撞點為N，在DA上，且AN=AD，第六次回到E點，AE=AB由勾股定理可以得出EF=，F(xiàn)G=，GH=，HM=，MN=，NE=，故小球經(jīng)過的路程為：+=6，故答案為：6，6點評：本題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來確定小球經(jīng)過的路程，是一道學科綜合試題，屬于難題14、（2013欽州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是10考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質3718684分析：由正方形性質的得出B、D關于AC對稱，根據(jù)兩點之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小，進而利用勾股定理求出即可解答：解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小四邊形ABCD是正方形，B、D關于AC對稱，PB=PD，PB+PE=PD+PE=DEBE=2，AE=3BE，AE=6，AB=8，DE=10，故PB+PE的最小值是10故答案為：10點評：本題考查了軸對稱最短路線問題，正方形的性質，解此題通常是利用兩點之間，線段最短的性質得出15、（2013包頭）如圖，點E是正方形ABCD內的一點，連接AE、BE、CE，將ABE繞點B順時針旋轉90°到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，則BEC=135度考點：勾股定理的逆定理；正方形的性質；旋轉的性質3718684分析：首先根據(jù)旋轉的性質得出EBE=90°，BE=BE=2，AE=EC=1，進而根據(jù)勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，進而得出答案解答：解：連接EE，將ABE繞點B順時針旋轉90°到CBE的位置，AE=1，BE=2，CE=3，EBE=90°，BE=BE=2，AE=EC=1，EE=2，BEE=45°，EE2+EC2=8+1=9，EC2=9，EE2+EC2=EC2，EEC是直角三角形，EEC=90°，BEC=135°故答案為：135點評：此題主要考查了勾股定理以及逆定理，根據(jù)已知得出EEC是直角三角形是解題關鍵16、（2013 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：CE=CF；AEB=75°；BE+DF=EF；S正方形ABCD=2+其中正確的序號是（把你認為正確的都填上）考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質分析：根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關系，以及三角形內角和為180°判斷的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷的正誤解答：解：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，AEF是等邊三角形，AE=AF，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，BC=DC，BCBE=CDDF，CE=CF，說法正確；CE=CF，ECF是等腰直角三角形，CEF=45°，AEF=60°，AEB=75°，說法正確；如圖，連接AC，交EF于G點，ACEF，且AC平分EF，CADDAF，DFFG，BE+DFEF，說法錯誤；EF=2，CE=CF=，設正方形的邊長為a，在RtADF中，a2+（a）2=4，解得a=，則a2=2+，S正方形ABCD=2+，說法正確，故答案為點評：本題主要考查正方形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩17、（2013煙臺）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫，連結AF，CF，則圖中陰影部分面積為4考點：正方形的性質；整式的混合運算分析：設正方形EFGB的邊長為a，表示出CE、AG，然后根據(jù)陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEFSAGF，列式計算即可得解解答：解：設正方形EFGB的邊長為a，則CE=4a，AG=4+a，陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEFSAGF=+a2+a（4a）a（4+a）=4+a2+2aa22aa2=4故答案為：4點評：本題考查了正方形的性質，整式的混合運算，扇形的面積計算，引入小正方形的邊長這一中間量是解題的關鍵18、（2013四川南充，14，3分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，過點A作AEAC,AE=1，連接BE，則tanE=_.答案：解析：19、(2013年武漢)如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AEDF連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 答案：解析：20、（綿陽市2013年）對正方形ABCD進行分割，如圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點，沿分化線可以剪出一副“七巧板”，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的“飛機”。若GOM的面積為1，則“飛機”的面積為 14 。解析連接AC，四邊形ABCD是正方形，ACBD，E、F分別BC、CD的中點，EF/BD，ACEF，CF=CE，EFC是等腰直角三角形，直線AC是EFC底邊上的高所在直線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”，AC必過EF的中點G，點A、O、G和C在同一條直線上，OC=OB=OD，OCOB，F(xiàn)G是DCO的中位線，OG=CG= OC, M、N分別是OB、OD的中點，OM=BM= OB，ON=DN= OD，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形GOM的面積為1，OMOG=OM2=1，OM=,BD=4 OM=4,2AD2= BD2=32,AD=4,圖2中飛機面積圖1中多邊形ABEFD的面積，飛機面積=正方形ABCD面積-三角形CEF面積=16-2=14。21、(2013年南京) 如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分 ÐABC，P是BD上一點，過點P作PMAD，PNCD，垂ABCDNMP 足分別為M、N。 (1) 求證：ÐADB=ÐCDB； (2) 若ÐADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形。解析： 證明：(1) BD平分ÐABC，ÐABD=ÐCBD。又BA=BC，BD=BD， ABD CBD。ÐADB=ÐCDB。 (4分) (2) PMAD，PNCD，ÐPMD=ÐPND=90°。 又ÐADC=90°，四邊形MPND是矩形。 ÐADB=ÐCDB，PMAD，PNCD，PM=PN。 四邊形MPND是正方形。 (8分)22、（2013鄂州）如圖正方形ABCD的邊長為4，E、F分別為DC、BC中點（1）求證：ADEABF（2）求AEF的面積考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質3718684分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD，B=D=90°，DC=CB，由E、F分別為DC、BC中點，得出DE=BF，進而證明出兩三角形全等；（2）首先求出DE和CE的長度，再根據(jù)SAEF=S正方形ABCDSADESABFSCEF得出結果解答：（1）證明：四邊形ABCD為正方形，AB=AD，=90°，DC=CB，E、F為DC、BC中點，DE=DC，BF=BC，DE=BF，在ADE和ABF中，ADEABF（SAS）；（2）解：由題知ABF、ADE、CEF均為直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，SAEF=S正方形ABCDSADESABFSCEF=4×4×4×2×4×2×2×2=6點評：本題主要考查正方形的性質和全等三角形的證明，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的性質以及全等三角形的判定定理，此題難度不大23、（2013畢節(jié)地區(qū)）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF（1）求證：ADEABF；（2）填空：ABF可以由ADE繞旋轉中心A 點，按順時針方向旋轉90 度得到；（3）若BC=8，DE=6，求AEF的面積考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質專題：證明題分析：（1）根據(jù)正方形的性質得AD=AB，D=ABC=90°，然后利用“SAS”易證得ADEABF；（2）由于ADEABF得BAF=DAE，則BAF+EBF=90°，即FAE=90°，根據(jù)旋轉的定義可得到ABF可以由ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；（3）先利用勾股定理可計算出AE=10，在根據(jù)ABF可以由ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到AE=AF，EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AD=AB，D=ABC=90°，而F是DCB的延長線上的點，ABF=90°，在ADE和ABF中，ADEABF（SAS）；（2）解：ADEABF，BAF=DAE，而DAE+EBF=90°，BAF+EBF=90°，即FAE=90°，ABF可以由ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；故答案為A、90；（3）解：BC=8，AD=8，在RtADE中，DE=6，AD=8，AE=10，ABF可以由ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到，AE=AF，EAF=90°，AEF的面積=AE2=×100=50（平方單位）點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角也考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理24、（2013黔東南州）如圖，在正方形ABCD中，點M是對角線BD上的一點，過點M作MECD交BC于點E，作MFBC交CD于點F求證：AM=EF考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的判定與性質專題：證明題分析：過M點作MQAD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P，根據(jù)題干條件證明出AP=MF，PM=ME，進而證明APMFME，即可證明出AM=EF解答：證明：過M點作MQAD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P，四邊形ABCD是正方形，四邊形MFDQ和四邊形PBEM是正方形，四邊形APMQ是矩形，AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，在APM和FME中，APMFME（SAS），AM=EF點評：本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性質等知識，此題正確作出輔助線很易解答25、（2013鞍山）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE（1）求證：CE=CF；（2）若點G在AD上，且GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質專題：證明題；探究型分析：（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證CEBCFD，從而證出CE=CF（2）由（1）得，CE=CF，BCE+ECD=DCF+ECD即ECF=BCD=90°又GCE=45°所以可得GCE=GCF，故可證得ECGFCG，即EG=FG=GD+DF又因為DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立解答：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF（SAS）CE=CF（3分）（2）解：GE=BE+GD成立（4分）理由是：由（1）得：CBECDF，BCE=DCF，（5分）BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90°，（6分）又GCE=45°，GCF=GCE=45°CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECGFCG（SAS）GE=GF（7分）GE=DF+GD=BE+GD（8分）點評：本題主要考查證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關系是不是成立26、（2013鐵嶺）如圖，ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由考點：矩形的判定；正方形的判定3718684分析：（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而理由等腰三角形的性質得出ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可解答：（1）證明：點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，四邊形AEBD是平行四邊形，AB=AC，AD是ABC的角平分線，ADBC，ADB=90°，平行四邊形AEBD是矩形；（2）當BAC=90°時，理由：BAC=90°，AB=AC，AD是ABC的角平分線，AD=BD=CD，由（1）得四邊形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形點評：此題主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質等知識，熟練掌握正方形和矩形的判定是解題關鍵27、（2013包頭）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F（1）如圖，當時，求的值；（2）如圖當DE平分CDB時，求證：AF=OA；（3）如圖，當點E是BC的中點時，過點F作FGBC于點G，求證：CG=BG考點：相似形綜合題3718684分析：（1）利用相似三角形的性質求得EF于DF的比值，依據(jù)CEF和CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理證得ADF=AFD，可以證得AD=AF，在直角AOD中，利用勾股定理可以證得；（3）連接OE，易證OE是BCD的中位線，然后根據(jù)FGC是等腰直角三角形，易證EGFECD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得解答：（1）解：=，=四邊形ABCD是正方形，ADBC，AD=BC，CEFADF，=，=，=；（2）證明：DE平分CDB，ODF=CDF，又AC、BD是正方形ABCD的對角線ADO=FCD=45°，AOD=90°，OA=OD，而ADF=ADO+ODF，AFD=FCD+CDF，ADF=AFD，AD=AF，在直角AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD=OA，AF=OA（3）證明：連接OE點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點點O是BD的中點又點E是BC的中點，OE是BCD的中位線，OECD，OE=CD，OFECFD=，=又FGBC，CDBC，F(xiàn)GCD，EGFECD，=在直角FGC中，GCF=45°CG=GF，又CD=BC，=，=CG=BG點評：本題是勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，理解正方形的性質是關鍵28、（2013曲靖）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，連接DE，過點C作CFDE于F，過點A作AGCF交DE于點G（1）求證：DCFADG（2）若點E是AB的中點，設DCF=，求sin的值考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；解直角三角形分析：（1）根據(jù)正方形的性質求出AD=DC，ADC=90°，根據(jù)垂直的定義求出CFD=CFG=90°，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等求出AGD=CFG=90°，從而得到AGD=CFD，再根據(jù)同角的余角相等求出ADG=DCF，然后利用“角角邊”證明DCF和ADG全等即可；（2）設正方形ABCD的邊長為2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊求出ADG的正弦，即為的正弦解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，ADC=90°，CFDE，CFD=CFG=90°，AGCF，AGD=CFG=90°，AGD=CFD，又ADG+CDE=ADC=90°，DCF+CDE=90°，ADG=DCF，在DCF和ADG中，DCFADG（AAS）；（2）設正方形ABCD的邊長為2a，點E是AB的中點，AE=×2a=a，在RtADE中，DE=a，sinADG=，ADG=DCF=，sin=點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)，同角的余角相等的性質，以及勾股定理的應用，熟練掌握各圖形的性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵29、（2013天津）如圖，將ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均落在格點上（）ABC的面積等于6；（）若四邊形DEFG是ABC中所能包含的面積最大的正方形，請你在如圖所示的網(wǎng)格中，用直尺和三角尺畫出該正方形，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求考點：作圖相似變換；三角形的面積；正方形的性質3718684專題：計算題分析：（）ABC以AB為底，高為3個單位，求出面積即可；（）作出所求的正方形，如圖所示，畫圖方法為：取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求解答：解：（）ABC的面積為：×4×3=6；（）如圖，取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求故答案為：（）6；（）取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求點評：此題考查了作圖位似變換，三角形的面積，以及正方形的性質，作出正確的圖形是解本題的關鍵30、（2013綏化）已知，在ABC中，BAC=90°，ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）以AD為邊做正方形ADEF，連接CF（1）如圖1，當點D在線段BC上時求證CF+CD=BC；（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側，其他條件不變；請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE，DF相交于點O，連接OC求OC的長度考點：四邊形綜合題分析：（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明BADCAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得；（2）同（1）相同，利用SAS即可證得BADCAF，從而證得BD=CF，即可得到CFCD=BC；（3）首先證明BADCAF，F(xiàn)CD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質即可求得DF的長，則OC即可求得解答：證明：（1）BAC=90°，ABC=45°，ACB=ABC=45°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90°，BAD=90°DAC，CAF=90°DAC，BAD=CAF，則在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），BD=CF，BD+CD=BC，CF+CD=BC；（2）CFCD=BC；（3）CDCF=BCBAC=90°，ABC=45°，ACB=ABC=45°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90°，BAD=90°BAF，CAF=90°BAF，BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），ACF=ABD，ABC=45°，ABD=135°，ACF=ABD=135°，F(xiàn)CD=90°，F(xiàn)CD是直角三角形正方形ADEF的邊長為2且對角線AE、DF相交于點ODF=AD=4，O為DF中點OC=DF=2點評：本題考查了正方形與全等三角形的判定與性質的綜合應用，證明三角形全等是關鍵31、（2013濟寧）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AFBE（1）求證：AF=BE；（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MPNQMP與NQ是否相等？并說明理由考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質專題：證明題分析：（1）根據(jù)正方形的性質可得AB=AD，BAE=D=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出ABE=DAF，然后利用“角邊角”證明ABE和DAF全等，再根據(jù)全等三角形的證明即可；（2）過點A作AFMP交CD于F，過點B作BENQ交AD于E，然后與（1）相同解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90°，DAF+BAF=90°，AFBE，ABE+BAF=90°，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF（ASA），AF=BE；（2）解：MP與NQ相等理由如下：如圖，過點A作AFMP交CD于F，過點B作BENQ交AD于E，則與（1）的情況完全相同點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，主要利用了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質，同角的余角相等的性質，利用三角形全等證明相等的邊是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用32、（2013常德）如圖，已知O是等腰直角三角形ADE的外接圓，ADE=90°，延長ED到C使DC=AD，以AD，DC為鄰邊作正方形ABCD，連接AC，連接BE交AC于點H求證：（1）AC是O的切線（2）HC=2AH考點：切線的判定；等腰直角三角形；正方形的性質專題：證明題分析：（1）根據(jù)圓周角定理由ADE=90°得AE為O的直徑，再根據(jù)等腰直角三角形得到EAD=45°，根據(jù)正方形得到DAC=45°，則EAC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；（2）由ABCD得ABHCEH，則AH：CH=AB：ED，根據(jù)等腰直角三角形和正方形的性質易得EC=2AB，則AH：CH=1：2解答：證明：（1）ADE=90°，AE為O的直徑，ADE為等腰直角三角形，EAD=45°，四邊形ABCD為正方形，DAC=45°，EAC=45°+45°=90°，ACAE，AC是O的切線；（2）四邊形ABCD為正方形，ABCD，ABHCEH，AH：CH=AB：ED，ADE為等腰直角三角形，AD=ED，而AD=AB=DC，EC=2AB，AH：CH=1：2，即HC=2AH點評：本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線也考查了等腰直角三角形的性質、正方形的性質以及三角形相似的判定與性質33、（2013衡陽）如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AEBP，CFBP，垂足分別為點E、F，已知AD=4（1）試說明AE2+CF2的值是一個常數(shù)；（2）過點P作PMFC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值考點：正方形的性質；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質3718684分析：（1）由已知AEB=BFC=90°，AB=BC，結合ABE=BCF，證明ABEBCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù)；（2）設AP=x，則PD=4x，由已知DPM=PAE=ABP，PDMBAP，列出關于x的一元二次函數(shù)，求出DM的最大值解答：解：（1）由已知AEB=BFC=90°，AB=BC，又ABE+FBC=BCF+FBC，ABE=BCF，在ABE和BCF中，ABEBCF（AAS），AE=BF，AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù)；（2）設AP=x，則PD=4x，由已知DPM=PAE=ABP，PDMBAP，=，即=，DM=xx2，當x=2時，DM有最大值為1點評：本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識，此題有一定的難度，是一道不錯的中考試題34、（2013衡陽附加題不算分）一種電訊信號轉發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉發(fā)裝置，使這些裝置轉發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市問：（1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預設的要求？在圖1中畫出安裝點的示意圖，并用大寫字母M、N、P、Q表示安裝點；（2）能否找到這樣的3個安裝點，使得在這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預設的要求？在圖2中畫出示意圖說明，并用大寫字母M、N、P表示安裝點，用計算、推理和文字來說明你的理由考點：作圖應用與設計作圖專題：作圖題分析：（1）可把正方形分割為四個全等的正方形，作出這些正方形的對角線，把裝置放在交點處，交點到其余各個小正方形頂點的距離相等通過計算看是否適合；（2）由（1）得到啟示，把正方形分割為三個長方形，左邊的一個矩形的對角線能輻射的最大直徑為31，看能否把三個裝置放在三個長方形的對角線的交點處解答：解：（1）如圖1，將正方形等分成如圖的四個小正方形，將這4個轉發(fā)裝置安裝在這4個小正方形對角線的交點處，此時，每個小正方形的對角線長為 ，每個轉發(fā)裝置都能完全覆蓋一個小正方形區(qū)域，故安裝4個這種裝置可以達到預設的要求；（2）（畫圖正確給1分）將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，使得BE=OD=OC將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點處，則AE=，OD=，即如此安裝三個這個轉發(fā)裝置，也能達到預設要求點評：考查應用與設計作圖；解決本題的關鍵是先利用常見圖形得到合適的計算方法和思路，然后根據(jù)類比方法利用覆蓋的最大距離得到相類似的解35、（2013呼和浩特）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，（1）的值為；（2）求證：AE=EP；（3）在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定3718684分析：（1）由正方形的性質可得：B=C=90°，由同角的余角相等，可證得：BAE=CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據(jù)角角之間的關系得到AKE=ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結合KAE=CEP，證明AKEECP，于是結論得出；（3）作DMAE于AB交于點M，連接ME、DP，易得出DMEP，由已知條件證明ADMBAE，進而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出解答：（1）解：四邊形ABCD是正方形，B=D，AEP=90°，BAE=FEC，在RtABE中，AE=，sinBAE=sinFEC=，=，（2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE，B=90°，BK=BE，BKE=45°，AKE=135°，CP平分外角，DCP=45°，ECP=135°，AKE=ECP，AB=CB，BK=BE，ABBK=BCBE，即：AK=EC，易得KAE=CEP，在AKE和ECP中，AKEECP（ASA），AE=EP；（3）答：存在證明：作DMAE于AB交于點M，則有：DMEP，連接ME、DP，在ADM與BAE中，ADMBAE（AAS），MD=AE，AE=EP，MD=EP，MDEP，四邊形DMEP為平行四邊形點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的性質等知識此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用與輔助線的準確選擇36、（2013泰安）如圖，四邊形ABCD為正方形點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（0，3），反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點C，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點A，（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）求點P是反比例函數(shù)圖象上的一點，OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點的坐標考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題分析：（1）先根據(jù)正方形的性質求出點C的坐標為（5，3），再將C點坐標代入反比例函數(shù)y=中，運用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式；同理，將點A，C的坐標代入一次函數(shù)y=ax+b中，運用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)函數(shù)的解析式；（2）設P點的坐標為（x，y），先由O