（全國120套）2013年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 四邊形綜合

四邊形綜合1、（2013湘西州）下列說法中，正確的是（）A同位角相等B對角線相等的四邊形是平行四邊形C四條邊相等的四邊形是菱形D矩形的對角線一定互相垂直考點(diǎn)：菱形的判定；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；平行四邊形的判定；矩形的性質(zhì)3718684分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷A即可；根據(jù)平行四邊形的判定判斷B即可；根據(jù)菱形的判定判斷C即可；根據(jù)矩形的性質(zhì)判斷D即可解答：解：A、如果兩直線平行，同位角才相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、四邊相等的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確；D、矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形、菱形的判定、矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力2、（2013陜西）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，BOC=120°，則四邊形ABCD的面積為 .（結(jié)果保留根號）ABDCOHG第14題圖文并茂考點(diǎn)：三角形面積的求法及特殊角的應(yīng)用。解析：BD平分AC，所以O(shè)A=OC=3，因?yàn)锽OC=120°，所以DOC=A0B=60°，過C作CHBD于H，過A作AGBD于G，在CHO中，C0H=60°，OC=3，所以CH=，同理：AG=，所以四邊形ABCD的面積=。3、(2013河南省)如圖，在等邊三角形中，,射線，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為（1）連接，當(dāng)經(jīng)過邊的中點(diǎn)時(shí)，求證： 證明： 是邊的中點(diǎn) 又 （2）填空： 當(dāng)為 s時(shí)，四邊形是菱形； 當(dāng)為 s時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形?！窘馕觥慨?dāng)四邊形是菱形時(shí)， 由題意可知：， 若四邊形是直角梯形，此時(shí) 過作于M，可以得到， 即， 此時(shí)，重合，不符合題意，舍去。 若四邊形若四邊形是直角梯形，此時(shí)， ABC是等邊三角形，F(xiàn)是BC中點(diǎn)， ，得到 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。【答案】 4、（2013 德州）（1）如圖1，已知ABC，以AB、AC為邊向ABC外作等邊ABD和等邊ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；（2）如圖2，已知ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡單說明理由；（3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測得ABC=45°，CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長考點(diǎn)：四邊形綜合題專題：計(jì)算題分析：（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，如圖所示，由三角形ABD與三角形ACE都是等邊三角形，得到三對邊相等，兩個(gè)角相等，都為60度，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；（2）BE=CD，理由與（1）同理；（3）根據(jù)（1）、（2）的經(jīng)驗(yàn)，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到三角形DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長解答：解：（1）完成圖形，如圖所示：證明：ABD和ACE都是等邊三角形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60°，BAD+BAC=CAE+BAC，即CAD=EAB，在CAD和EAB中，CADEAB（SAS），BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），四邊形ABFD和ACGE均為正方形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=90°，CAD=EAB，在CAD和EAB中，CADEAB（SAS），BE=CD；（3）由（1）、（2）的解題經(jīng)驗(yàn)可知，過A作等腰直角三角形ABD，BAD=90°，則AD=AB=100米，ABD=45°，BD=100米，連接CD，則由（2）可得BE=CD，ABC=45°，DBC=90°，在RtDBC中，BC=100米，BD=100米，根據(jù)勾股定理得：CD=100米，則BE=CD=100米點(diǎn)評：此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵5、（2013紹興）若一個(gè)矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個(gè)矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形（1）設(shè)a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值（一組即可）（2）在ABC中，將AB，AC分別五等分，連結(jié)兩邊對應(yīng)的等分點(diǎn)，以這些連結(jié)為一邊作矩形，使這些矩形的邊B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的對邊分別在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如圖2所示若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B1C1為一邊的矩形是不是方形？為什么？若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比考點(diǎn)：四邊形綜合題3718684分析：（1）答案不唯一，根據(jù)已知舉出即可；（2）求出ABCAB1C1AB2C2AB3C3AB4C4，推出=，=，=，=，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根據(jù)已知判斷即可；設(shè)AM=h，根據(jù)ABCAB3C3，得出=，求出MN=GN=GH=HE=h，分為兩種情況：當(dāng)B3C3=2×h，時(shí)，當(dāng)B3C3=×h時(shí)，代入求出即可解答：解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；（2）以B1C1為一邊的矩形不是方形理由是：過A作AMBC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，則AMB4C4，AMB3C3，AMB2C2，AMB1C1，由矩形的性質(zhì)得：BCB1C1B2C2B3C3B4C4，ABCAB1C1AB2C2AB3C3AB4C4，=，=，=，=，AM=20，BC=25，B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，即B1C12B1Q，B1Q2B1C1，以B1C1為一邊的矩形不是方形；以B3C3為一邊的矩形為方形，設(shè)AM=h，ABCAB3C3，=，則AG=h，MN=GN=GH=HE=h，當(dāng)B3C3=2×h，時(shí)，=；當(dāng)B3C3=×h時(shí)，=綜合上述：BC與BC邊上的高之比是或點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定和矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比6、（2013資陽）在一個(gè)邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點(diǎn)E、M分別是線段AC，CD上的動點(diǎn)，連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MNDF于H，交AD于N（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN；（2）如圖2，假設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t（t0）；判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說明理由連結(jié)FM、FN，MNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關(guān)系；若不能，請說明理由考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）證明ADFDNC，即可得到DF=MN；（2）首先證明AFECDE，利用比例式求出時(shí)間t=a，進(jìn)而得到CM=a=CD，所以該命題為真命題；若MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論解答：（1）證明：DNC+ADF=90°，DNC+DCN=90°，ADF=DCN在ADF與DNC中，ADFDNC（ASA），DF=MN（2）解：該命題是真命題理由如下：當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則AF=AB=CDABCD，AFECDE，AE=EC，則AE=AC=a，t=a則CM=1t=a=CD，點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn)能理由如下：易證AFECDE，即，得AF=易證MNDDFA，即，得ND=tND=CM=t，AN=DM=at若MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：（I）若FN=MN，則由AN=DM知FANNDM，AF=DM，即=t，得t=0，不合題意此種情形不存在；（II）若FN=FM，由MNDF知，HN=HM，DN=DM=MC，t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合；（III）若FM=MN，顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上，如下圖所示：易得MFCNMD，F(xiàn)C=DM=at；又由NDMDCF，即，F(xiàn)C=at，t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合綜上所述，當(dāng)t=a或t=a時(shí)，MNF能夠成為等腰三角形點(diǎn)評：本題是運(yùn)動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點(diǎn)解題要點(diǎn)是：（1）明確動點(diǎn)的運(yùn)動過程；（2）明確運(yùn)動過程中，各組成線段、三角形之間的關(guān)系；（3）運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，避免漏解7、（2013寧波）若一個(gè)四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形如菱形就是和諧四邊形（1）如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=120°，C=75°，BD平分ABC求證：BD是梯形ABCD的和諧線；（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個(gè)小正方形的邊長為1）有一個(gè)扇形BAC，點(diǎn)ABC均在格點(diǎn)上，請?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求BCD的度數(shù)考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明ABD和BDC是等腰三角形就可以；（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出BCD的度數(shù)解答：解：（1）ADBC，ABC+BAD=180°，ADB=DBCBAD=120°，ABC=60°BD平分ABC，ABD=DBC=30°，ABD=ADB，ADB是等腰三角形在BCD中，C=75°，DBC=30°，BDC=C=75°，BCD為等腰三角形，BD是梯形ABCD的和諧線；（2）由題意作圖為：圖2，圖3（3）AC是四邊形ABCD的和諧線，ACD是等腰三角形AB=AD=BC，如圖4，當(dāng)AD=AC時(shí)，AB=AC=BC，ACD=ADCABC是正三角形，BAC=BCA=60°BAD=90°，CAD=30°，ACD=ADC=75°，BCD=60°+75°=135°如圖5，當(dāng)AD=CD時(shí)，AB=AD=BC=CDBAD=90°，四邊形ABCD是正方形，BCD=90°如圖6，當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CEAD于E，過點(diǎn)B作BFCE于F，AC=CDCEAD，AE=AD，ACE=DCEBAD=AEF=BFE=90°，四邊形ABFE是矩形BF=AEAB=AD=BC，BF=BC，BCF=30°AB=BC，ACB=BACABCE，BAC=ACE，ACB=ACE=BCF=15°，BCD=15°×3=45°點(diǎn)評：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用解答如圖6這種情況容易忽略，解答時(shí)合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵8、(2013年武漢)已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G （1）如圖，若四邊形ABCD是矩形，且DECF，求證； （2）如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)B與EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得成立？并證明你的結(jié)論； （3）如圖，若BA=BC=6，DA=DC=8，BAD90°，DECF，請直接寫出的值解析：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，AADC90°， DECF，ADEDCF，ADEDCF，（2）當(dāng)B+EGC180°時(shí)，成立，證明如下： 在AD的延長線上取點(diǎn)M，使CMCF，則CMFCFM ABCD，ACDM， B+EGC180°，AEDFCB，CMFAED ADEDCM，即（3）9、（2013杭州壓軸題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿足條件EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對稱，設(shè)它們的面積和為S1（1）求證：APE=CFP；（2）設(shè)四邊形CMPF的面積為S2，CF=x，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱時(shí)，求y的值考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）利用正方形與三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系可以證明結(jié)論；（2）本問關(guān)鍵是求出y與x之間的函數(shù)解析式首先分別用x表示出S1與S2，然后計(jì)算出y與x的函數(shù)解析式這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其最大值；注意中心對稱、軸對稱的幾何性質(zhì)解答：（1）證明：EPF=45°，APE+FPC=180°45°=135°；而在PFC中，由于PF為正方形ABCD的對角線，則PCF=45°，則CFP+FPC=180°45°=135°，APE=CFP（2）解：APE=CFP，且FCP=PAE=45°，APECPF，則而在正方形ABCD中，AC為對角線，則AC=AB=，又P為對稱中心，則AP=CP=，AE=如圖，過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H，PGBC于點(diǎn)G，P為AC中點(diǎn)，則PHBC，且PH=BC=2，同理PG=2SAPE=×2×=，陰影部分關(guān)于直線AC軸對稱，APE與APN也關(guān)于直線AC對稱，則S四邊形AEPN=2SAPE=；而S2=2SPFC=2×=2x，S1=S正方形ABCDS四邊形AEPNS2=162x，y=+1E在AB上運(yùn)動，F(xiàn)在BC上運(yùn)動，且EPF=45°，2x4令=a，則y=8a2+8a1，當(dāng)a=，即x=2時(shí)，y取得最大值而x=2在x的取值范圍內(nèi)，代入x=2，則y最大=421=1y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=+1（2x4），y的最大值為1圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱，而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對稱，則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對稱，則EB=BF，即AE=FC，=x，解得x=，代入x=，得y=2點(diǎn)評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形、二次函數(shù)的解析式與最值、幾何變換（軸對稱與中心對稱）、圖形面積的計(jì)算等知識點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，有一定的難度本題重點(diǎn)與難點(diǎn)在于求出y與x的函數(shù)解析式，在計(jì)算幾何圖形面積時(shí)涉及大量的計(jì)算，需要細(xì)心計(jì)算避免出錯(cuò)