（全國(guó)120套）2013年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 等邊三角形

等邊三角形1、（2013涼山州）如圖，菱形ABCD中，B=60°，AB=4，則以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為（）A14B15C16D17考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：根據(jù)菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長(zhǎng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可解答：解：四邊形ABCD是菱形，AB=BC，B=60°，ABC是等邊三角形，AC=AB=4，正方形ACEF的周長(zhǎng)是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AC的長(zhǎng)2、（2013自貢）如圖，將一張邊長(zhǎng)為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個(gè)底面是正三角形的棱柱，這個(gè)棱柱的側(cè)面積為（）AB9CD考點(diǎn)：剪紙問(wèn)題；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質(zhì)3718684專題：操作型分析：這個(gè)棱柱的側(cè)面展開正好是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為3減去兩個(gè)三角形的高，再用長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算即可解答解答：解：將一張邊長(zhǎng)為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個(gè)底面是正三角形的棱柱，這個(gè)正三角形的底面邊長(zhǎng)為1，高為=，側(cè)面積為長(zhǎng)為3，寬為3的長(zhǎng)方形，面積為93故選A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了剪紙問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，動(dòng)手操作拼出圖形，并能正確進(jìn)行計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵3、（2013雅安）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：BE=DF，DAF=15°，AC垂直平分EF，BE+DF=EF，SCEF=2SABE其中正確結(jié)論有（）個(gè)A2B3C4D5考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)分析：通過(guò)條件可以得出ABEADF而得出BAE=DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設(shè)EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出SCEF和2SABE再通過(guò)比較大小就可以得出結(jié)論解答：解：四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，B=BCD=D=BAD=90°AEF等邊三角形，AE=EF=AF，EAF=60°BAE+DAF=30°在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，正確BAE=DAF，DAF+DAF=30°，即DAF=15°正確，BC=CD，BCBE=CDDF，及CE=CF，AE=AF，AC垂直平分EF正確設(shè)EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，AC=，AB=，BE=x=，BE+DF=xxx，錯(cuò)誤，SCEF=，SABE=，2SABE=SCEF，正確綜上所述，正確的有4個(gè)，故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵4、（2013十堰）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60°，則下底BC的長(zhǎng)為（）A8B9C10D11考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)3718684分析：首先構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AFBC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DEBC于點(diǎn)E，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60°，B=60°，BF=EC，AD=EF=5，cos60°=，解得：BF=1.5，故EC=1.5，BC=1.5+1.5+5=8故選：A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，根據(jù)已知得出BF=EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵5、（2013牡丹江）如圖，在ABC中A=60°，BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：PM=PN；PMN為等邊三角形；當(dāng)ABC=45°時(shí)，BN=PC其中正確的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線3718684分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；先證明ABMACN，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷正確；先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出ABM=ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BCN+CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出BPN+CPM=120°，從而得到MPN=60°，又由得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確；當(dāng)ABC=45°時(shí)，BCN=45°，由P為BC邊的中點(diǎn)，得出BN=PB=PC，判斷正確解答：解：BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正確；在ABM與ACN中，A=A，AMB=ANC=90°，ABMACN，正確；A=60°，BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，ABM=ACN=30°，在ABC中，BCN+CBM180°60°30°×2=60°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=2×60°=120°，MPN=60°，PMN是等邊三角形，正確；當(dāng)ABC=45°時(shí)，CNAB于點(diǎn)N，BNC=90°，BCN=45°，BN=CN，P為BC邊的中點(diǎn)，PNBC，BPN為等腰直角三角形BN=PB=PC，正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵6、(2013遵義）如圖，將邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動(dòng)（不滑動(dòng)），點(diǎn)B從開始到結(jié)束，所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)度為（）AcmB（2+）cmCcmD3cm考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算；等邊三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)3718684分析：通過(guò)觀察圖形，可得從開始到結(jié)束經(jīng)過(guò)兩次翻動(dòng)，求出點(diǎn)B兩次劃過(guò)的弧長(zhǎng)，即可得出所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)度解答：解：ABC是等邊三角形，ACB=60°，AC（A）=120°，點(diǎn)B兩次翻動(dòng)劃過(guò)的弧長(zhǎng)相等，則點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=2×=故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，得到點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑，注意熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式7、（2013臺(tái)灣、23）附圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重迭情形，其中D、E兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且BD=BE若AC=18，GF=6，則F點(diǎn)到AC的距離為何？（）A2B3C124D66考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)分析：過(guò)點(diǎn)B作BHAC于H，交GF于K，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出A=ABC=60°，然后判定BDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BDE=60°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出ACDE，再根據(jù)正方形的對(duì)邊平行得到DEGF，從而求出ACDEGF，再根據(jù)等邊三角形的邊的與高的關(guān)系表示出KH，然后根據(jù)平行線間的距離相等即可得解解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BHAC于H，交GF于K，ABC是等邊三角形，A=ABC=60°，BD=BE，BDE是等邊三角形，BDE=60°，A=BDE，ACDE，四邊形DEFG是正方形，GF=6，DEGF，ACDEGF，KH=18×6×6=936=66，F(xiàn)點(diǎn)到AC的距離為66故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的對(duì)邊平行，四條邊都相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的高線等于邊長(zhǎng)的倍，以及平行線間的距離相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵8、（2013菏澤）我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則它的“面徑”長(zhǎng)可以是，（或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)）（寫出1個(gè)即可）考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)專題：新定義；開放型分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，（1）最長(zhǎng)的面徑是等邊三角形的高線；（2）最短的面徑平行于三角形一邊，最長(zhǎng)的面徑為等邊三角形的高，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑解答：解：如圖，（1）等邊三角形的高AD是最長(zhǎng)的面徑，AD=×2=；（2）當(dāng)EFBC時(shí)，EF為最短面徑，此時(shí)，（）2=，即=，解得EF=所以，它的面徑長(zhǎng)可以是，（或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)）故答案為：，（或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)）點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，弄明白面徑的定義，并準(zhǔn)確判斷出等邊三角形的最短與最長(zhǎng)的面徑是解題的關(guān)鍵9、（2013鐵嶺）如圖，在ABC中，AB=2，BC=3.6，B=60°，將ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長(zhǎng)為1.6考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)3718684分析：由將ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，可得AD=AB，又由B=60°，可證得ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2，則可求得答案解答：解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB，B=60°，ABD是等邊三角形，BD=AB，AB=2，BC=3.6，CD=BCBD=3.62=1.6故答案為：1.6點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用10、（2013宜昌）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角A兩邊上的點(diǎn)，AE=AF，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接DE，DF（1）請(qǐng)你判斷所畫四邊形的性狀，并說(shuō)明理由；（2）連接EF，若AE=8厘米，A=60°，求線段EF的長(zhǎng)考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；（2）首先連接EF，由AE=AF，A=60°，可證得EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長(zhǎng)解答：解：（1）菱形理由：根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF，四邊形AEDF是菱形；（2）連接EF，AE=AF，A=60°，EAF是等邊三角形，EF=AE=8厘米點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用11、（2013天津）如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD=3，ADE=60°，則AE的長(zhǎng)為7考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)3718684分析：先根據(jù)邊長(zhǎng)為9，BD=3，求出CD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)ADE=60°和等邊三角形的性質(zhì)，證明ABDDCE，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得CE的長(zhǎng)度，即可求出AE的長(zhǎng)度解答：解：ABC是等邊三角形，B=C=60°，AB=BC；CD=BCBD=93=6；BAD+ADB=120°ADE=60°，ADB+EDC=120°，DAB=EDC，又B=C=60°，ABDDCE，則=，即=，解得：CE=2，故AE=ACCE=92=7故答案為：7點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得ABDDCE是解答此題的關(guān)鍵12、（2013聊城）如圖，在等邊ABC中，AB=6，D是BC的中點(diǎn)，將ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到ACE，那么線段DE的長(zhǎng)度為 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)分析：首先，利用等邊三角形的性質(zhì)求得AD=3；然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)推知ADE為等邊三角形，則DE=AD解答：解：如圖，在等邊ABC中，B=60°，AB=6，D是BC的中點(diǎn)，ADBD，BAD=CAD=30°，AD=ABcos30°=6×=3根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，EAC=DAB=30°，AD=AE，DAE=EAC+BAD=60°，ADE的等邊三角形，DE=AD=3，即線段DE的長(zhǎng)度為3故答案是：3點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等13、（2013 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：CE=CF；AEB=75°；BE+DF=EF；S正方形ABCD=2+其中正確的序號(hào)是（把你認(rèn)為正確的都填上）考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)分析：根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷的正誤解答：解：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，AEF是等邊三角形，AE=AF，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，BC=DC，BCBE=CDDF，CE=CF，說(shuō)法正確；CE=CF，ECF是等腰直角三角形，CEF=45°，AEF=60°，AEB=75°，說(shuō)法正確；如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，ACEF，且AC平分EF，CADDAF，DFFG，BE+DFEF，說(shuō)法錯(cuò)誤；EF=2，CE=CF=，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，在RtADF中，a2+（a）2=4，解得a=，則a2=2+，S正方形ABCD=2+，說(shuō)法正確，故答案為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩14、（2013黃岡）已知ABC為等邊三角形，BD為中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE=考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)3481324分析：根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD=DE，求出BC，在RtBDC中，由勾股定理求出BD即可解答：解：ABC為等邊三角形，ABC=ACB=60°，AB=BC，BD為中線，DBC=ABC=30°，CD=CE，E=CDE，E+CDE=ACB，E=30°=DBC，BD=DE，BD是AC中線，CD=1，AD=DC=1，ABC是等邊三角形，BC=AC=1+1=2，BDAC，在RtBDC中，由勾股定理得：BD=，即DE=BD=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長(zhǎng)15、（2013黔西南州）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則E=15度考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)分析：根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出E的度數(shù)解答：解：ABC是等邊三角形，ACB=60°，ACD=120°，CG=CD，CDG=30°，F(xiàn)DE=150°，DF=DE，E=15°故答案為：15點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中16、(2013年廣東湛江)如圖，所有正三角形的一邊平行于軸，一頂點(diǎn)在軸上從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為，頂點(diǎn)依次用表示，其中與軸、底邊與、與、均相距一個(gè)單位，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，的坐標(biāo)是 解析：考查正三角形的相關(guān)知識(shí)及找規(guī)律的能力。由圖知，的縱坐標(biāo)為：，而的橫坐標(biāo)為：，由題意知，的縱坐標(biāo)為，容易發(fā)現(xiàn)、這些點(diǎn)在第四象限，橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)， 、的下標(biāo)2、5、7、92、有規(guī)律：，是第31個(gè)正三角形（從里往外）的右端點(diǎn)，17、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過(guò)平移或軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到OBD（1）AOC沿x軸向右平移得到OBD，則平移的距離是 個(gè)單位長(zhǎng)度；AOC與BOD關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是 ；AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是 度；（2）連結(jié)AD，交OC于點(diǎn)E，求AEO的度數(shù)考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到OBD，則AOC與BOD關(guān)于y軸對(duì)稱；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AOC=BOD=60°，則AOD=120°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DOB；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA=OD，而AOC=BOD=60°，得到DOC=60°，所以O(shè)E為等腰AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE垂直平分AD，則AEO=90°解答：解：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到OBD；AOC與BOD關(guān)于y軸對(duì)稱；AOC為等邊三角形，AOC=BOD=60°，AOD=120°，AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DOB（2）如圖，等邊AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DOB，OA=OD，AOC=BOD=60°，DOC=60°，即OE為等腰AOD的頂角的平分線，OE垂直平分AD，AEO=90°故答案為2；y軸；120點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)18、（2013湖州）如圖，已知P是O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦ABOC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求證：PB是O的切線考點(diǎn)：切線的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理分析：（1）首先連接OB，由弦ABOC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得OBC是等邊三角形，則可求得BC的長(zhǎng)；（2）由OC=CP=2，OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得P=CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，OBC=60°，CBP=30°，則可證得OBBP，繼而證得PB是O的切線解答：（1）解：連接OB，弦ABOC，劣弧AB的度數(shù)為120°，弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°，BOC=60°，OB=OC，OBC是等邊三角形，BC=OC=2；（2）證明：OC=CP，BC=OC，BC=CP，CBP=CPB，OBC是等邊三角形，OBC=OCB=60°，CBP=30°，OBP=CBP+OBC=90°，OBBP，點(diǎn)B在O上，PB是O的切線點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19、（2013萊蕪）如圖，在RtABC中，C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE（1）證明DECB；（2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)分析：（1）首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE=AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明ADECDE，進(jìn)而得到ADE=CDE=30°，再有DCB=150°可證明DECB；（2）當(dāng)AC=或AB=2AC時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形若四邊形DCBE是平行四邊形，則DCBE，DCB+B=180°進(jìn)而得到B=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可推出AC=或AB=2AC解答：（1）證明：連結(jié)CE點(diǎn)E為RtACB的斜邊AB的中點(diǎn)，CE=AB=AEACD是等邊三角形，AD=CD在ADE與CDE中，ADECDE（SSS），ADE=CDE=30°DCB=150°，EDC+DCB=180°DECB（2）解：DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DCBE，DCB+B=180°B=30°在RtACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC當(dāng)AC=或AB=2AC時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)20、（2013衢州）【提出問(wèn)題】（1）如圖1，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊AMN，連結(jié)CN求證：ABC=ACN【類比探究】（2）如圖2，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰AMN，使頂角AMN=ABC連結(jié)CN試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)分析：（1）利用SAS可證明BAMCAN，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過(guò)證明BAMCAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣（3）首先得出BAC=MAN，從而判定ABCAMN，得到=，根據(jù)BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，得到BAM=CAN，從而判定BAMCAN，得出結(jié)論解答：（1）證明：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（2）解：結(jié)論ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（3）解：ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，頂角ABC=AMN，底角BAC=MAN，ABCAMN，=，又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論