高等代數§7.1線性變換的定義.ppt

7.1 線性變換的定義,教學目的: 理解線性變換的概念,教學重點: 線性變換的概念,教學難點: 線性變換的概念,（i）,（ii）,定義1,數域 上的線性空間 到其自身 的映射稱為 的一個變換； 的一個變 換 稱為線性變換，如果對于 中任意 向量 ， 和數域 中任意數 ，都有,以后，我們一般用黑體大寫拉丁字母代表線性變換 , 用 或 代表元素 在變換 下的象 .,上述定義中的 （i）（ii）兩條有時也說成線性變換保持向量的加法與數量乘法 , 它可以用下面的一條來代替,（iii）,其中,例1,平面上的向量構成實數域上的二維線 性空間。把向量圍繞原點逆時針旋轉 角 的變換是一個線性變換，記成 。坐標變 換公式如下：,例2,設 是幾何空間中一個固定的非 零向量，把每個向量 變成它到 上 的內射影的變換是一個線性變換，記 成 。即,其中 表示內積。,例3,特別地，當 時，即 ， 稱它為零變換；,當 時，稱它為單位變換或恒 等變換，記為 ，即 。,是一個線性變換。,例4,在線性空間 或 中，求 微商是一個線性變換，記成 ，即,例5,定義在閉區(qū)間 上的全體連續(xù)函 數組成一線性空間，以 代表，變 換,線性變換的性質,（i）,設 是 的線性變換，則：,則 是 同樣的線性組合：,（ii）,線性變換保持線性組合與線性關系式不變，即,如果 是 的線性組合：,線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。,其逆不成立，線性變換可能 把線性無關的向量組也變成線性相關的向量組。例如零變換就是如此。,注：,（iii）,