高等代數§7.1線性變換的定義.ppt
7.1 線性變換的定義,教學目的: 理解線性變換的概念,教學重點: 線性變換的概念,教學難點: 線性變換的概念,(i),(ii),定義1,數域 上的線性空間 到其自身 的映射稱為 的一個變換; 的一個變 換 稱為線性變換,如果對于 中任意 向量 , 和數域 中任意數 ,都有,以后,我們一般用黑體大寫拉丁字母代表線性變換 , 用 或 代表元素 在變換 下的象 .,上述定義中的 (i)(ii)兩條有時也說成線性變換保持向量的加法與數量乘法 , 它可以用下面的一條來代替,(iii),其中,例1,平面上的向量構成實數域上的二維線 性空間。把向量圍繞原點逆時針旋轉 角 的變換是一個線性變換,記成 。坐標變 換公式如下:,例2,設 是幾何空間中一個固定的非 零向量,把每個向量 變成它到 上 的內射影的變換是一個線性變換,記 成 。即,其中 表示內積。,例3,特別地,當 時,即 , 稱它為零變換;,當 時,稱它為單位變換或恒 等變換,記為 ,即 。,是一個線性變換。,例4,在線性空間 或 中,求 微商是一個線性變換,記成 ,即,例5,定義在閉區(qū)間 上的全體連續(xù)函 數組成一線性空間,以 代表,變 換,線性變換的性質,(i),設 是 的線性變換,則:,則 是 同樣的線性組合:,(ii),線性變換保持線性組合與線性關系式不變,即,如果 是 的線性組合:,線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。,其逆不成立,線性變換可能 把線性無關的向量組也變成線性相關的向量組。例如零變換就是如此。,注:,(iii),