數(shù)字濾波器的設(shè)計(上).ppt

第三章 數(shù)字濾波器的設(shè)計(上),對信號進行分析和處理時，常遇到有用信號被噪聲污染的問題。因此，從信號中消除或減弱噪聲，成為信號傳輸與處理中十分重要的問題。根據(jù)有用信號與噪聲的不同特性，消除或減弱噪聲，提取有用信號的過程稱為濾波。實現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)或裝置稱濾波器。 經(jīng)典的濾波器是具有選頒特性的電路，當噪聲與有用的信號具有不同的頻帶時，它們通過濾波器后，噪聲將被衰減乃至消除，有用的信號得以保留。 當噪聲與有用信號的頻帶重疊時，上述濾波器(或稱為經(jīng)典濾波器)就無法實現(xiàn)既消除噪聲，又保留信號的功能。,3-1 信號通過線性系統(tǒng)不失真的條件,信號在傳輸?shù)倪^程中，由于傳輸系統(tǒng)的影響，總會產(chǎn)生某種程度的失真。信號的不失真?zhèn)鬏?，是指系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵的波形相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)的時刻有所不同，不存在形狀上的變化。 若系統(tǒng)的激勵信號為x(t)，響應(yīng)為y(t)，則不失真?zhèn)鬏數(shù)暮x用數(shù)學公式表示為 式中，K為常數(shù)，t0為滯后時間 上式表明，與激勵信號x(t)相比，系統(tǒng)的響應(yīng)信號y(t)的幅度變?yōu)樵盘柕腒倍，在時間上延遲t0，波形的形狀不變。,3.1.1不失真?zhèn)鬏敃r系統(tǒng)的激勵響應(yīng)曲線,關(guān)于信號通過線性系統(tǒng)不失真的條件，不加以證明地給出以下結(jié)論,|H(j)|,(),x(t),y(t),t,t,t0,-t0,表明：信號不失真?zhèn)鬏敃r要求系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|為一常數(shù)，且相頻特性()為過原點的直線(即具有線性相位特性)，如上圖所示 。,3.1.2 理想模擬濾波器,用于處理模擬信號的濾波器稱為模擬濾波器 模擬濾波器分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器和全通濾波器等類型，幅頻特性曲線如下圖所示。 理想濾波器通帶內(nèi)的幅頻特性均具有不失真?zhèn)鬏數(shù)奶匦浴＿@種特性實際上不可實現(xiàn)。實際濾波特性的通帶與阻帶之間沒有明顯的界限，而是逐漸過渡的。,求H(j)的傅立葉逆變換，可得該濾波器的沖激響應(yīng)為h(t) 。,可見， 沖激響應(yīng)是一個延時t0的抽樣函數(shù)Sac(t-t0) 。由于沖激響應(yīng)在激勵出現(xiàn)之前(t0)就已出現(xiàn)，因此該濾波器為非因果系統(tǒng)；在物理上不可實現(xiàn)。,(),|H(j)|,-t0,3.1.3 理想低通濾波器的沖激響應(yīng) 常見一種理想低通濾波器具有矩形幅頻特性和線性相位特性,物理上可實現(xiàn)與不可實現(xiàn)系統(tǒng)的界定佩利-維納準則。 一個系統(tǒng)的|H(j)|如果滿足 |H(j)|物理可實現(xiàn)的必要條件佩利-維納準則。,對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)， 可以允許|H(j)|在某些不連續(xù)的頻率點上為0，但不允許在一個有限頻帶范圍內(nèi)為0。理想濾波器是非因果系統(tǒng)，物理不可實現(xiàn)。但有一些線性時不變因果系統(tǒng)的幅頻特性與理想濾波器的幅頻特性相近似，而這樣的系統(tǒng)又是物理上可實現(xiàn)的。 這一條件限制了頻率特性不能衰減過快。,3-2 頻選模擬濾波器設(shè)計,工程上使用的無源或有源濾波器都不是理想濾波器，而是按一定規(guī)則構(gòu)成的實際濾波器。如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器等，其幅頻特性與理想濾波器的幅頻特性相似 。,巴特沃斯濾波器,切比雪夫濾波器,橢圓濾波器,頻選濾波器的基本特征(功能、電路、方式、實現(xiàn)模型),根據(jù)濾波器幅頻特性的通帶與阻帶的范圍，可將其劃分為低通、高通、帶通、帶阻和全通(主要用途是改變信號頻譜的相位)等類型。 根據(jù)構(gòu)成濾波器元件的性質(zhì)，可將其劃分為無源與有源濾波器，前者僅由無源元件(不產(chǎn)生能量)組成，后者則含有源器件。,根據(jù)濾波器所處理的信號性質(zhì)，可將其劃分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，模擬濾波器用于處理模擬信號(連續(xù)時間信號)，數(shù)字濾波器用于處理離散時間信號 。 根據(jù)濾波器實現(xiàn)的數(shù)學模型劃分，有巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器。,3.2.1實際模擬低通濾波器,工程上使用的無源或有源濾波器都不是理想濾波器，而是按一定規(guī)則構(gòu)成的實際濾波器。如巴特沃茲濾波器、切貝雪夫濾波器、橢圓濾波器等，其幅頻特性與理想濾波器的幅頻特性相似 。 以低通濾波器為例：如果濾波器的頻率特性滿足某種要求，我們就認為它達到要求。,所需要探討的是：如何提出要求？如何滿足要求？,3.2.2工程用濾波器的性能指標 由于工程上使用的無源或有源濾波器都不是理想濾波器，而是按一定規(guī)則構(gòu)成的實際濾波器。因此，為了滿足一個工程濾波器設(shè)計的要求，往往給出一個逼近理想濾波器的容限，只要滿足這個容限即認為該濾波器設(shè)計滿足要求。,在通帶內(nèi)：,在阻帶內(nèi)：,3-3巴特沃斯濾波器,巴特沃斯濾波器是根據(jù)在通帶幅頻特性內(nèi)具有最平坦特性而定義的濾波器對一個N階濾波器來說，其平方幅頻特性函數(shù)的前(2N-1)階導數(shù)在=0處都為零。 巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性為,式中，N為濾波器階數(shù)；c為濾波器的截止頻率。 濾波器階數(shù)N越高，幅頻特性越接近理想低通濾波器。,對于所有的N： 對于所有的N： |H (j)|2是的單調(diào)下降函數(shù) |H (j)|2隨著階數(shù) N的增大而更接近理想低通濾波器 令c=1得到其歸一化的傳遞函數(shù)HN(j)。其頻率響應(yīng)為：,巴特沃斯濾波器的主要特性如下：,其極點為：,由于模擬系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與頻率響應(yīng)之間以s=j相聯(lián)系，將=s / j代入歸一化的傳遞函數(shù)表達式，有,半功率點,注意：s是一個復平面,該系統(tǒng)應(yīng)有2N個極點且偶對稱！,線性坐標,分貝坐標,其極點在S平面上的分布如圖所示。,起始極點位置不同；極點間相差的角度都為/N。,N為奇數(shù),為了保證濾波器系統(tǒng)HN(s)穩(wěn)定，要求它的所有極點均在S平面的左半部分。構(gòu)造系統(tǒng)HN(s)具有左半平面極點； HN(-s)具有右半平面極點。,模為1在復平面上是一個單位園；極點應(yīng)在單位園上對稱分布。,因此，一個穩(wěn)定巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)應(yīng)為,由于隨著階數(shù)的變化，各極點值為已知，所以通過造表、查表，可以構(gòu)成各階歸一化(c=1)的巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)。 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法 設(shè)計步驟 (1)根據(jù)實際參數(shù)確定模擬濾波器的階數(shù)N。 (2) 查表構(gòu)造歸一化的濾波器傳遞函數(shù)HN(s)。 (3)根據(jù)變換關(guān)系給出的變換公式置換HN(s)中的變量s得到最終的濾波器傳遞函數(shù)。 (4)用電子電路實現(xiàn)該傳遞函數(shù)。,sk在左半S平面中,巴特沃斯多項式,例 設(shè)計一個低通巴特沃斯濾波器，以滿足： 通帶截止頻率：1=20 rad/s，通帶內(nèi)衰減k1 -2dB 阻帶截止頻率：2 =30 rad/s，阻帶內(nèi)衰減k2 -10dB 解：根據(jù)已知條件有,化簡為,兩式相除消去c，得,將兩式帶入 得聯(lián)立方程,取對數(shù)乘10,將N解出,選N=4，查表得4階歸一化c1巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為,值得指出的是，此時的濾波器為截至頻率c1 rad/s (f=0.16Hz)時的低通濾波器。 將N4，帶入對應(yīng)的式子 求解c。 如果要求通帶在1處剛好達到指標k1，則將N帶入(a)式；如果要求通帶在2處剛好達到指標k2，則將N帶入(b)式求取c (實際濾波器的截止頻率)。,假設(shè)，本題在求解c時應(yīng)使用(a)式。 解得c21.387 (fc=3.4Hz) 此c是衰減為3dB時的頻率(截止頻率)。 當c21.387時，用s/c置換H4(s)中的s并化簡得,上式就是所設(shè)計的濾波器傳遞函數(shù)。 從系統(tǒng)得角度而言，此濾波系統(tǒng)為一四階系統(tǒng)，為了實現(xiàn)得方便，可用兩個二階系統(tǒng)串連構(gòu)成。,close all;clear all; num=457.42 den=conv(1,16.37,457.4,1,39.52,457.4) figure;freqs(num,den); h,w=freqs(num,den,500);%加大點密度 figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on; figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; figure;impulse(num,den); grid on; figure;step(num,den); grid on; figure;pzmap(num,den) ; grid on; printsys(num,den);,低通巴特沃斯濾波器設(shè)計結(jié)果校核,例：試確定一低通巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)。要求在通帶頻率fc=2kHz處，衰減3db，阻帶始點頻率fs=4kHz處，衰減15db,選N=3，查表得3階歸一化c1 巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為,當c12566 rad/s時，用s/c置換H3(s)中的s并化簡得,close all;clear all; den1=1,12566;den2=1,12566,157913670; den=conv(den1,den2);num=12566*157913670; figure;freqs(num,den); h,w=freqs(num,den); figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on; figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; figure;impulse(num,den); grid on; figure;step(num,den); grid on; figure;pzmap(num,den) ; grid on; printsys(num,den);,低通巴特沃斯濾波器設(shè)計結(jié)果校核,高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計,得到歸一化低通濾波器的模型后，可以通過頻率變換的方法得到實際濾波器模型。,至此，我們已經(jīng)解決了巴特沃斯濾波器模型的問題。 剩下的問題是如何實現(xiàn)所設(shè)計的濾波器。 例：設(shè)計一階巴特沃斯低通濾波器，在此基礎(chǔ)上按給定指標設(shè)計高通、帶通、帶阻濾波器。,低通濾波器：截止頻率fc=4kHz (c25133 rad/s ) 歸一化低通濾波器的數(shù)學模型為 低通濾波器的數(shù)學模型為(fc=4kHz),高通濾波器的數(shù)學模型為(fc=4kHz),帶通濾波器的數(shù)學模型為(fl=2kHz， fh=6kHz， f0=4kHz),帶阻濾波器的數(shù)學模型為(fl=2kHz， fh=6kHz， f0=4kHz),l=12566 H=37699 02=473725634,close all;clear all; h1,w1=freqs(1,1,1); figure;plot(w1/2/pi,abs(h1);grid on; hlp,w2=freqs(25133,1,25133); figure;plot(w2/2/pi,abs(hlp);grid on; hhp,w3=freqs(1,0,1,25133); figure;plot(w3/2/pi,abs(hhp);grid on; hbp,w4=freqs(25133,0,1,25133,473725634); figure;plot(w4/2/pi,abs(hbp);grid on; hbs,w5=freqs(1,0,473725634,1,25133,473725634); figure;plot(w5/2/pi,abs(hbs);grid on;,各類濾波器頻率特性,巴特沃斯模擬濾波器的matlab設(shè)計 設(shè)計通帶截止頻率(wp)為1500Hz、阻帶截止頻率(ws)為2000Hz、通帶衰減 (rp)最大為2dB、阻帶衰減(rs)最小為10dB的低通巴特沃斯模擬濾波器，并繪制幅頻與相頻曲線并繪制濾波器的沖激響應(yīng)曲線與階躍響應(yīng)曲線。 步驟： 1.求低通巴特沃斯模擬濾波器的最小階數(shù)和固有頻率。 2.求巴特沃斯模擬濾波器的原型濾波器 3.將原型濾波器轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實濾波器,close all;clear all; wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %給定參數(shù)。截止頻率單位為Hz。 n,wn=buttord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %頻率參數(shù)的單位為rad/s z,p,k=buttap(n); %wn為增益下降至0.707時的頻率 num,den=zp2tf(z,p,k); %wn稱為固有頻率單位為rad/s num1,den1=lp2lp(num,den,wn); figure;freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性 h,w=freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性,w的單位為rad/s figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on; figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; figure;impulse(num1,den1); grid on;%沖激響應(yīng) figure;step(num1,den1);grid on;%階躍響應(yīng) figure;pzmap(num1,den1) ; grid on;%零極點分布圖 printsys(num1,den1); %傳遞函數(shù)。,3-4 切比雪夫濾波器 切比雪夫濾波器有兩種： 通帶等波紋濾波器切比雪夫I型濾波器 阻帶等波紋濾波器切比雪夫II型濾波器 從巴特沃什濾波器濾波器的幅頻曲線可以看出，再通帶內(nèi)的誤差分布是不均勻的，靠近頻帶邊緣時誤差最大。而切比雪夫I型濾波器的逼進 原則是使依據(jù)通帶內(nèi)的誤差分布 均勻。其低通濾波器幅頻響應(yīng)的 平方為：,0,c,dB,當c=1時：,切比雪夫多項式可以用遞推公式產(chǎn)生 TN (x)=2x TN-1(x)- TN-2(x)，N2 當N<2時的初始式為T0 (x)=1，T1 (x)=x (可查表) 通過|H(j)|2圖形可以看出一些共同點： 1)在|H(j)|2=1和|H(j)|21/(1+2)之間做等幅振蕩，與|H(j)|2=1和|H(j)|21/(1+2)相交的點數(shù)為N； 2)N為奇數(shù)時|H(j0)|2=1 ，N為偶數(shù)時|H(j0)|2 1/(1+2)； 3)波紋振蕩周期不相等； 4)在過渡區(qū)和阻帶區(qū)內(nèi)單調(diào)下降。 |H(js )|=1/A2,其中，TN ()為切比雪夫N階多項式。 為限定的波紋系數(shù)。,注意截至頻率定義,與構(gòu)造巴特沃什濾波器傳遞函數(shù)一樣，首先尋找Hn(s)。,可以證明，若設(shè)極點的位置位于s平面上，即sk=k+jk，則sk的分布在一橢圓上。其方程為,將=s / j代入歸一化的傳遞函數(shù)表達式，有,可以解出2N個極點，左右平面各占N個。 利用左半平面的極點構(gòu)造HN(s)。,j,一般情況下，在設(shè)計切比雪夫濾波器時應(yīng)給出通帶紋波系數(shù) 、阻帶衰減1/A2和截止頻率。根據(jù)所給參數(shù)，按下式得到濾波器的階次N。,根據(jù) 、N值得到歸一化的切比雪夫多項式Vn(s)； 構(gòu)造歸一化的切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)； 根據(jù)變換關(guān)系用給定變換公式置換傳遞函數(shù)中的s得到滿足要求的濾波器傳遞函數(shù)； 傳遞函數(shù)的物理實現(xiàn)；,切比雪夫低通濾波器設(shè)計舉例,設(shè)計一個低通切比雪夫I型濾波器，以滿足截止頻率p= 0.2，通帶波動1dB，當r =0.3時，衰減16dB 解：歸一化截止頻率c=p / 0.2=1 s= r / 0.2=0.3 / 0.2 =1.5 當=c時 當=s時,查表(切比雪夫濾波器設(shè)計參數(shù)表N=4，波動1dB) 見p288、p290。,根據(jù)變換關(guān)系給出的變換公式，用s/p1.59s置換傳遞函數(shù)中的s，最終得到滿足要求的現(xiàn)實濾波器。,得到歸一化模型,close all;clear all; num=0.245;den=6.391,3.827,3.6733,1.1798,0.275; figure;freqs(num,den); h,w=freqs(num,den,0:0.01:10); figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on; figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; figure;impulse(num,den); grid on; figure;step(num,den); grid on; figure;pzmap(num,den) ; grid on; printsys(num,den);,切比雪夫低通濾波器設(shè)計校核 10.89波動,切比雪夫I型模擬濾波器的matlab設(shè)計 設(shè)計通帶截止頻率(wp)為2000Hz、阻帶截止頻率(ws)為1500Hz、通帶衰減 (rp)最大為2dB、阻帶衰減(rs)最小為10dB ，并繪制幅頻與相頻曲線并繪制濾波器的沖激響應(yīng)曲線與階躍響應(yīng)曲線。 步驟： 1.求低通切比雪夫I型模擬濾波器的最小階數(shù)和固有頻率。 2.求切比雪夫I型模擬濾波器的原型濾波器 3.將原型濾波器轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實濾波器,close all;clear all; wp=2000;ws=1500;rp=2;rs=10; %給定參數(shù)。截止頻率單位為Hz。 n,wn=cheb1ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %頻率參數(shù)的單位為rad/s z,p,k=cheb1ap(n,rp); num,den=zp2tf(z,p,k); %wn稱為固有頻率單位為rad/s num1,den1=lp2hp(num,den,wn); figure;freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性 h,w=freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性,w的單位為rad/s figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on; %幅頻特性，單位為Hz figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; figure;impulse(num1,den1); grid on;%沖激響應(yīng) figure;step(num1,den1);grid on;%階躍響應(yīng) figure;pzmap(num1,den1) ;grid on;%零極點分布圖 printsys(num1,den1); %傳遞函數(shù)。,切比雪夫II型模擬濾波器的matlab設(shè)計 設(shè)計通帶截止頻率為2000Hz、3000Hz，阻帶截止頻率為1600Hz、3400Hz、通帶衰減 (rp)最大為2dB、阻帶衰減(rs)最小為20dB，并繪制幅頻與相頻曲線并繪制濾波器的沖激響應(yīng)曲線與階躍響應(yīng)曲線。 步驟： 1.求低通切比雪夫II型模擬濾波器的最小階數(shù)和固有頻率。 2.求切比雪夫II型模擬濾波器的原型濾波器 3.將原型濾波器轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實濾波器,close all;clear all; wp=2000,3000;ws=1600,3400;rp=2;rs=20; %給定參數(shù)。截止頻率單位為Hz。 n,wn=cheb2ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %頻率參數(shù)的單位為rad/s z,p,k=cheb2ap(n,rs); num,den=zp2tf(z,p,k); %wn稱為固有頻率單位為rad/s bw=(wp(2)-wp(1)*2*pi;cent=sqrt(wp(1)*wp(2)*2*pi; num1,den1=lp2bp(num,den,cent,bw); figure;freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性 h,w=freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性,w的單位為rad/s figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on; figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; figure;impulse(num1,den1); grid on;%沖激響應(yīng) figure;step(num1,den1);grid on;%階躍響應(yīng) figure;pzmap(num1,den1) ;grid on;%零極點分布圖 printsys(num1,den1); %傳遞函數(shù)。,橢圓濾波器的通帶和阻帶均呈現(xiàn)出等波動響應(yīng)，對于給定的指標，它們可使N最小(換言之，給定階數(shù)N，使過渡帶最陡)，從這個意義上說，橢圓濾波器是最優(yōu)濾波器。其平方幅度響應(yīng)為：,3-5 橢圓濾波器,歸一化后橢圓低通濾波器的傳遞函數(shù)為,橢圓模擬濾波器的matlab設(shè)計 設(shè)計通帶截止頻率為1600Hz、3400Hz ，阻帶截止頻率為2000Hz、3000Hz 、通帶衰減 (rp)最大為2dB、阻帶衰減(rs)最小為20dB，并繪制幅頻與相頻曲線并繪制濾波器的沖激響應(yīng)曲線與階躍響應(yīng)曲線。 步驟： 1.求低橢圓模擬濾波器的最小階數(shù)和固有頻率。 2.求橢圓模擬濾波器的原型濾波器 3.將原型濾波器轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實濾波器,close all;clear all; wp=1600,3400;ws=2000,3000;rp=2;rs=20; %給定參數(shù)。截止頻率單位為Hz。 n,wn=ellipord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %頻率參數(shù)的單位為rad/s z,p,k=ellipap(n,rp,rs); num,den=zp2tf(z,p,k); %wn稱為固有頻率單位為rad bw=(wp(2)-wp(1)*2*pi;cent=sqrt(wp(1)*wp(2)*2*pi; num1,den1=lp2bs(num,den,cent,bw); figure;freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性 h,w=freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性,w的單位為rad/s figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on; figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; figure;impulse(num1,den1); grid on;%沖激響應(yīng) figure;step(num1,den1);grid on;%階躍響應(yīng) figure;pzmap(num1,den1) ;grid on;%零極點分布圖 printsys(num1,den1); %傳遞函數(shù)。,附1：IIR模擬濾波器的Matlab設(shè)計 1.IIR模擬濾波器原型設(shè)計 z,p,k=buttap(n)設(shè)計n階巴特沃斯模擬濾波器原型。 z,p,k=cheb1ap(n,rp)設(shè)計n階在通帶內(nèi)最大衰減不大于rp分貝的切比雪夫I型模擬濾波器原型。 z,p,k=cheb2ap(n,rs)設(shè)計n階在阻帶內(nèi)最小衰減不小于rs分貝的切比雪夫II型模擬濾波器原型。 z,p,k=ellipap(n,rp,rs)設(shè)計n階在通帶內(nèi)最大衰減不大于rp分貝且在阻帶內(nèi)最小衰減不小于rs分貝的橢圓模擬濾波器原型。,2.IIR模擬/數(shù)字濾波器階數(shù)的確定 設(shè)計指標：通帶截止頻率wp、阻帶截止頻率ws、通帶內(nèi)最大衰減不大于rp(分貝)、阻帶內(nèi)最小衰減不小于rs(分貝)來確定對應(yīng)模擬濾波器的最小階數(shù)n。 s表示模擬濾波器設(shè)計 n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技術(shù)參數(shù)下巴特沃斯模擬濾波器的最小階數(shù)n和濾波器固有頻率參數(shù)wn。 n,wn=cheb1ord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技術(shù)參數(shù)下切比雪夫I型模擬濾波器的最小階數(shù)n和濾波器固有頻率wn。 n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技術(shù)參數(shù)下切比雪夫II型模擬濾波器的最小階數(shù)n和濾波器固有頻率wn。 n,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技術(shù)參數(shù)下橢圓模擬濾波器的最小階數(shù)n和濾波器固有頻率wn。,3.IIR模擬濾波器原型到現(xiàn)實模擬濾波器轉(zhuǎn)換 num1,den1=lp2lp(num,den,wo)將模擬低通濾波器原型的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為截止頻率為wo(求階時得到的固有頻率wn)的模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)模型。 num1,den1=lp2hp(num,den,wo)將模擬低通濾波器原型的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為截止頻率為wo(求階時得到的固有頻率wn)的模擬高通濾波器的傳遞函數(shù)模型。 num1,den1=lp2bp(num,den,cent,bw)將模擬低通濾波器原型的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為中心頻率為cent、帶寬為bw的模擬帶通濾波器的傳遞函數(shù)模型。 Cent=sqrt(wp1*wp2) num1,den1=lp2bs(num,den,cent,bw)將模擬低通濾波器原型的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為中心頻率為cent、帶寬為bw的模擬帶阻濾波器的傳遞函數(shù)模型。 Cent=sqrt(wp1*wp2),4.模擬濾波器性能的觀察與分析 h,w=freqs(num,den,n)顯示由分子多項式系數(shù)向量num和分母多項式系數(shù)向量den構(gòu)成的模擬濾波器傳遞函數(shù)頻率特性，頻率范圍自動確定。如果省略n，函數(shù)自動選擇200個頻率點。如果選擇n，函數(shù)根據(jù)選擇的頻率點數(shù)在自動確定的頻率范圍內(nèi)計算、顯示模擬濾波器傳遞函數(shù)的頻率特性。n越大，計算越精確，曲線越平滑。 h,w=freqs(num,den,w0)頻率范圍由向量w0指定(如用形如w0=ws:s:we的命令生成)，單位為弧度/秒。 alfa=angle(h)得到相頻特性向量alfa，單位為弧度。向量h為模擬濾波器頻率特性。本函數(shù)既可用于模擬濾波器，也可用于數(shù)字濾波器。 alfa_u=unwrap(alfa)得到解纏繞后的相頻特性向量alfa_u，單位為弧度。本函數(shù)既可用于模擬濾波器，也可用于數(shù)字濾波器。 y,t0=impulse(num,den,t)返回沖激響應(yīng)向量y和時間向量t0。,5.IIR模擬濾波器的直接設(shè)計 num,den=butter(n,wp,s)設(shè)計n階低通或2n階帶通巴特沃斯模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=butter(n,wp,high,s)設(shè)計n階高通巴特沃斯模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=butter(n,ws,stop,s)設(shè)計2n階帶阻巴特沃斯模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=cheby1(n,r,wp,s)設(shè)計n階低通或2n階帶通切比雪夫I型模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=cheby1(n,r,wp,high,s)設(shè)計n階高通切比雪夫I型模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=cheby1(n,r,ws,stop,s)設(shè)計2n階帶阻切比雪夫I型模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。,num,den=cheby2(n,r,wp,s)設(shè)計n階低通或2n階帶通切比雪夫II型模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=cheby2(n,r,wp,high,s)設(shè)計n階高通切比雪夫II型模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=cheby2(n,r,ws,stop,s)設(shè)計2n階帶阻切比雪夫II型模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=ellip(n,rp,rs,wp,s)設(shè)計n階低通或2n階帶通橢圓模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=ellip(n, rp,rs,wp,high,s)設(shè)計n階高通橢圓模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。 num,den=ellip(n, rp,rs,ws,stop,s)設(shè)計2n階帶阻橢圓模擬濾波器并得到傳遞函數(shù)模型。,在matlab中，所謂固有頻率截止頻率(n)對不同的濾波器而言，含義不同。 對巴特沃斯濾波器而言，截止頻率指的是通帶增益下降3分貝時的頻率。 對切比雪夫I型濾波器而言，截止頻率指的是通帶增益進入過渡帶下降至等于給定的通帶最大衰減值時的頻率。 對切比雪夫II型濾波器而言，截止頻率指的是阻帶增益進入過渡帶上升至等于給定的阻帶最小衰減值時的頻率。 對橢圓濾波器而言，截止頻率指的是通帶增益進入過渡帶下降至等于給定的通帶最大衰減值時的頻率。 注：使用matlab設(shè)計帶通、帶阻濾波器時有頻率的偏移。,3-6 三類濾波器的比較 在同樣的通帶衰減、過渡帶寬和阻帶衰減指標下，三種濾波器所需要的階數(shù)為：巴特沃斯濾波器階數(shù)最高；切比雪夫濾波器次之；橢圓濾波器階數(shù)最低。 因此，用橢圓濾波器使用的元器件最少，切比雪夫濾波器次之，巴特沃斯濾波器使用的元器件最多。 從相頻特性而言，巴特沃斯濾波器線性度最好，切比雪夫濾波器次之，橢圓濾波器最差。 例：設(shè)計通帶截止頻率(wp)為1500Hz、阻帶截止頻率(ws)為2000Hz、通帶衰減 (rp)最大為2dB、阻帶衰減(rs)最小為10dB的低通模擬濾波器。比較各類濾波器的設(shè)計結(jié)果。,close all;clear all; wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %給定參數(shù)。截止頻率單位為Hz。 n1,wn1=buttord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %頻率參數(shù)的單位為rad/s z,p,k=buttap(n1); %wn為增益下降至0.707時的頻率 num,den=zp2tf(z,p,k); %wn稱為固有頻率單位為rad/s num1,den1=lp2lp(num,den,wn1); h,w=freqs(num1,den1); %幅頻特性和相頻特性,w的單位為rad/s figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%橫軸坐標單位為Hz figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %給定參數(shù)。截止頻率單位為Hz。 n2,wn2=cheb1ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s); z,p,k=cheb1ap(n2,rp); %wn為通帶增益進入過渡帶下降至等于給定的通帶最大衰減值時的頻率。 num,den=zp2tf(z,p,k); %wn稱為固有頻率單位為rad/s num2,den2=lp2lp(num,den,wn2); h,w=freqs(num2,den2); %幅頻特性和相頻特性,w的單位為rad/s figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%橫軸坐標單位為Hz figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %給定參數(shù)。截止頻率單位為Hz。 n3,wn3=cheb2ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s); z,p,k=cheb2ap(n3,rs); %wn為阻帶增益進入過渡帶上升至等于給定的阻帶最小衰減值時的頻率。 num,den=zp2tf(z,p,k); %wn稱為固有頻率單位為rad/s num3,den3=lp2lp(num,den,wn3); h,w=freqs(num3,den3); %幅頻特性和相頻特性,w的單位為rad/s figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%橫軸坐標單位為Hz figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on; wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %給定參數(shù)。截止頻率單位為Hz。 n4,wn4=ellipord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %頻率參數(shù)的單位為rad/s z,p,k=ellipap(n4,rp,rs); num,den=zp2tf(z,p,k); %wn為通帶增益進入過渡帶下降至等于給定的通帶最大衰減值時的頻率。 num4,den4=lp2lp(num,den,wn4); h,w=freqs(num4,den4); %幅頻特性和相頻特性,w的單位為rad/s figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%橫軸坐標單位為Hz figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;,附2：無源模擬濾波器的物理實現(xiàn),根據(jù)對濾波器的了解，可以得出一個結(jié)論：只要系統(tǒng)輸出信號的頻譜與輸入信號的頻譜不一致頻率成分發(fā)生了變化(某些頻率成分得到加強、某些頻率成分被削弱甚至阻斷)，我們就可以將此系統(tǒng)廣義地視為是一個濾波器系統(tǒng)。手機、收音機、電視機、雷達。 換言之，只要系統(tǒng)包含有零、極點，就可以將此系統(tǒng)廣義地視為是一個濾波器系統(tǒng)。 對于無源元件構(gòu)成的電路濾波器系統(tǒng)(元件本身并不釋放額外的能量)而言，常見的是R、L、C電路。 如何根據(jù)給定的模型用R、L、C電路構(gòu)造濾波器就是我們要解決的問題。,根據(jù)我們對系統(tǒng)的知識：任何一個復雜系統(tǒng)都可以由若干個簡單系統(tǒng)組合而成簡單系統(tǒng)(一階、二階系統(tǒng))的串并聯(lián)的組合，寫成下面的形式：,無源系統(tǒng)的可實現(xiàn)條件 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(傳遞函數(shù))可以寫出多種多樣的形式，但并不是每一種形式都可以實現(xiàn)。,例如：某二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)如右式。將其改寫為,若某二端傳遞函數(shù)為阻抗函數(shù)如右式。 將其改寫為,顯然，該系統(tǒng)應(yīng)是由1F電容與-1電阻串聯(lián)組成，由于負電阻不是耗能元件而是含源部件，因此所給定的傳遞函數(shù)用無源元件是無法實現(xiàn)的。,U(s),I(s),二端無源網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可物理實現(xiàn)的條件：其傳遞函數(shù)必須是具有正的、實系數(shù)的s的有理多項式。除此而外，還要求H(s)在j軸上的極點是單極點并具有正的實數(shù)留數(shù)；分子多項式比分母多項式的次數(shù)最多低1次；對所有的0，H(j)的實部大于0。 二端無源網(wǎng)絡(luò)的綜合所謂二端無源網(wǎng)絡(luò)的綜合就是用R、L、C無源元件實現(xiàn)阻抗函數(shù)或?qū)Ъ{函數(shù) 1、RC綜合 將網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)Z(s)分解成由一系列RC并聯(lián)電路為子系統(tǒng)Zi(s)的串接形式，則有,注意：分母是導納的并聯(lián),已知網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)為 求其極點，用待定系數(shù)法分解 系統(tǒng)的阻抗函數(shù)。 注意：傳遞函數(shù)中的所描述的 元件參數(shù)均以國際單位計量。 (歐姆)、 H(亨)、 F(法拉),R1,R2,Rm,于是 可得,2、RL綜合 將網(wǎng)絡(luò)導納函數(shù)Y(s)分解成由一系列RL串聯(lián)電路為子系統(tǒng)Yi(s)的并接形式，則有,于是 可得,已知網(wǎng)絡(luò)的導納函數(shù)為 求其極點，用待定系數(shù)法分解 系統(tǒng)的導納函數(shù)。,3、LC綜合 一個系統(tǒng)僅由電抗元件L、C構(gòu)成稱為LC綜合。 串接形式,并接形式,已知系統(tǒng)的阻抗函數(shù)為 求其兩種實現(xiàn)。,二端網(wǎng)絡(luò)的輸入、輸出均在同一端對上，如果輸入輸出在不同端對且在系統(tǒng)內(nèi)部不包含有源器件，則稱為無源四端網(wǎng)絡(luò)。四端網(wǎng)絡(luò)共有四種傳遞函數(shù)： 輸出電壓/輸入電流轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù) 輸出電流/輸入電壓轉(zhuǎn)移導納函數(shù) 輸出電壓/輸入電壓電壓傳輸函數(shù) 輸出電流/輸入電流電流傳輸函數(shù) 無源四端網(wǎng)絡(luò)的可實現(xiàn)條件系統(tǒng)應(yīng)為穩(wěn)定系統(tǒng)： H(s)是一實系數(shù)有理函數(shù)且分母多項式B(s)是一霍爾維茨多項式； H(s)的極點均位于s平面的左半平面，不能在j軸上； H(s)的零點可位于s平面的任何位置。,四端無源網(wǎng)絡(luò)(二端口網(wǎng)絡(luò))的綜合,設(shè)對任意給定四端網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)=k0/p(s)+q(s)而言，可以通過p(s)/q(s)或q(s)/p(s)，運用輾轉(zhuǎn)相除法將其展成連分式表示形式。,設(shè)給定傳遞函數(shù),阻抗(電感),導納(電容),將H(s)看成阻抗函數(shù),輾轉(zhuǎn)相除圖示,輾轉(zhuǎn)相除：本次除數(shù)成為下一次的被除數(shù)； 本次余數(shù)成為下一次的除數(shù)。,可以發(fā)現(xiàn)此轉(zhuǎn)移導納函數(shù)H(s) 與設(shè)定的傳遞函數(shù)是一致的。 換言之，由上圖所構(gòu)成的電路具有所要求的傳遞函數(shù)功能。如果要求得電壓傳輸函數(shù),(a)式的二端網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)應(yīng)為,列出電路的網(wǎng)孔方程,Y2,Z3,Z1,(b)式的二端網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)應(yīng)為,同理，列出節(jié)點電壓方程，可以求出轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)。,可以發(fā)現(xiàn)此轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)H(s)與設(shè)定的傳遞函數(shù)是一致的。,換言之，由上圖所構(gòu)成的電路具有所要求的傳遞函數(shù)功能。如果要求取電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)前極給出的是電壓信號，則需要將其轉(zhuǎn)換為電流信號，稍復雜一些。 若展開式的為(a)式，H(s)為轉(zhuǎn)移導納(使用更方便一些)； 若展開式的為(b)式，H(s)為轉(zhuǎn)移阻抗。,如 果,Z3,Z3,Y2,Y4,Y4,Y4,無源模擬濾波器的實現(xiàn),步驟： 根據(jù)給定工程需要的參數(shù)，確定濾波器的類型構(gòu)造歸一化濾波器(截止頻率c=1 rad/s)，寫出其數(shù)學模型； 運用輾轉(zhuǎn)除法構(gòu)造電路構(gòu)成形式； 查表、計算求得實際電路參數(shù)(頻率、參數(shù)去歸一化)。 當電路形式確定以后，我們便不關(guān)心濾波器的模型了。 無源模擬濾波器有一套規(guī)范的設(shè)計方法和表格。 當歸一化濾波器設(shè)計出來后，可通過標準的計算方法求得實際電路參數(shù)。,選N=3，查表得3階歸一化c1巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù),例：試確定一巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)。要求在通帶頻率c=105 rad/s處，衰減3db，阻帶始點頻率s=4105 rad/s處，衰減35db；負載電阻R0=103。,由給定電壓傳輸函數(shù)確定出電路形式是有條件的： 根據(jù)工程需求得到的H3(s)模型是經(jīng)過頻率歸一化后的濾波器模型(c1 rad/s時的濾波器模型)； 電路參數(shù)也是經(jīng)過參數(shù)歸一化后的參數(shù)； 該模型是當負載電阻為1時的模型； 去歸一化處理： 計算基本參數(shù),1/2H,3/2H,4/3F,所有這些都需要轉(zhuǎn)化成實際濾波器參數(shù)。,Z1,Y2,Z3,電流源：,電壓源：,設(shè)計一四階巴特沃斯低通濾波器，截止頻率fc=4kHz，負載電阻R0=150，求實際濾波電路及元件參數(shù)。查表：(Rs為電源內(nèi)阻),實際設(shè)計一個,高通模擬濾波器的實現(xiàn),如前所述，當設(shè)計出歸一化低通濾波器數(shù)學模型后，可以通過頻率變換的方法得到高通、帶通、帶阻濾波器的數(shù)學模型。 同理，當?shù)玫揭粋€低通濾波器的物理實現(xiàn)后，也可以通過參數(shù)的變換得到高通、帶通、帶阻濾波器的物理實現(xiàn)。 設(shè)截止頻率為c的低通濾波器的物理實現(xiàn)已知，則其去歸一化參數(shù)i 、i也為已知。 于是，具有相同截止頻率為c的高通濾波器的物理實現(xiàn)將為： 在低通電路中電感系數(shù)為i 的電感元件變換為系數(shù)為1/i 的電容元件；,在低通電路中電容系數(shù)為i 的電容元件變換為系數(shù)為1/i 的電感元件；,帶通模擬濾波器的實現(xiàn) 設(shè)截止頻率為c的低通濾波器的物理實現(xiàn)已知。 m為帶通相對通帶寬度的倒數(shù)：m=c/(h-l) 則，具有中心頻率為c的帶通濾波器的物理實現(xiàn)為： 低通電路中電感系數(shù)為i 的電感元件變換成系數(shù)為mi 的電感和系數(shù)為1/(mi )電容所構(gòu)成的串連支路； 將低通電路中電容系數(shù)為i 的電容元件變換成系數(shù)為1/(mi) 的電感和系數(shù)為mi的電容所構(gòu)成的并連支路；,設(shè)： m=c/(h-l)=4kHz/(4.5kHz-3.5kHz)=4,可以猜想出帶阻濾波器是什么樣子。 值得注意的問題： 輸入阻抗、輸出阻抗、四種傳輸函數(shù)、電路的構(gòu)成形式、元件選用產(chǎn)生的誤差、單側(cè)電阻與雙側(cè)電阻、負載電阻、結(jié)果修正、信號衰減問題。 單位換算問題：,無源LC濾波器的缺點是當頻率較低時，電感元件的體積、重量較大。于是，人們從上世紀50年代起，大力研究有源RC濾波器。1955年由薩林提出了具有不同濾波特性的二階電路，電路由R、C和運放組成。 有源元件分析 設(shè)運算放大器為理想運放,附3：有源一階、二階RC濾波器的設(shè)計,可見，只要我們合理地搭配零極點就可以得到想實現(xiàn)得濾波器。這些阻抗可以用電感，也可以用電容實現(xiàn)，但常用電容實現(xiàn)。,其中，如果元件為電阻Y=1/R；如果元件為電容Y=sC；只要改變元件的組成形式，即可形成高通、低通二階濾波器。,典型的薩林二階有源濾波器分析,列寫節(jié)點電壓方程,根據(jù)“虛地”和“虛短”的概念,將VA帶入上式，得到電壓傳輸函數(shù)。,VA,綜合步驟： 得到歸一化二階濾波器模型； 得到實際濾波器模型； 用待定系數(shù)法列寫方程； 確定電容或電阻值；求解電阻或電容值。,設(shè)計一截止頻率fc=4000Hz(c=25133)的有源濾波器。 二階歸一化巴特沃斯濾波器模型為： 實際濾波器模型,R1,R2,C3,C4,K,r,(K-1)r,V1,V2,+,正增益二階低通濾波器,+,+,-,-,K為閉環(huán)增益,設(shè)R1、R3、R4為10k，有,由b1解出C2=8.4nF，帶入b0式解出C5=1.9nF。 最后一步：仿真檢驗。 同理，可以設(shè)計出其它功能濾波器。,C1,C3,R2,R4,K,r,(K-1)r,V1,V2,+,正增益二階高通濾波器,+,+,-,-,K為閉環(huán)增益,作業(yè)： 1、推導負增益二階高通濾波器數(shù)學模型。設(shè)計一截止頻率fc=4000Hz負增益的二階有源高通濾波器。,全通濾波器 全通濾波器的幅頻特性是平行于頻率軸的直線，所以它對頻率沒有選擇性。人們主要利用其相位頻率特性，作為相位校正電路或相位均衡電路。一個一階全通濾波器或移相器，其傳遞函數(shù)為,一階全通濾波器,R,V1,V2,R1,R,C,+,-,+,-,R10k R131k C1000nF,以相位變化劇烈的頻率為輸入方波的頻率。,一階全通濾波器頻率響應(yīng)曲線,