高中數(shù)學必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題
必修二第六章第 2 節(jié)平面向量的運算解答題 (1)一、解答題(本大題共 30 小題,共 360.0 分)1.在平行四邊形中 ABCD,已知𝐴𝐵 = 6, 𝐴𝐷 = 10,點𝐸, 𝐹分別為邊 BC 和邊 CD 上動點,圖 1圖 2 (1)如圖 1,若平行四邊形 ABCD 為矩形,且𝐸, 𝐹分別為 BC 和 CD 上中點,求𝐴𝐸 𝐵𝐹;,且2 𝐵𝐸 = 3 𝐸𝐶 ,求𝐴𝐸 𝐴𝐹(2)如圖 2,若2.已知向量𝑎 = (cos𝛼, sin𝛼),𝑏 = (cos𝛽, sin𝛽),𝑐 = (2,0)(1)求向量𝑏 + 𝑐的長度的最大值;𝑐(2)設𝛼 = 𝜋,且𝑎 (𝑏 + ) ,求cos𝛽的值33.已知實數(shù) 0 𝜃 𝜋,𝑎 = (cos𝜃, sin𝜃),𝑗 = (0,1),若向量 𝑏滿足 (𝑎 + 𝑏) 𝑗 = 0,且𝑎 · 𝑏 = 0(1)若| 𝑎 𝑏 | = 2,求𝑏;(2)若𝑓(𝑥) = | 𝑏 + 𝑥(𝑎 𝑏)|在1 , +) 上為增函數(shù),求實數(shù)𝜃的取值范圍24.如圖所示,在𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐵 = 𝑎 , 𝐴𝐷 = 𝑏 , 𝐵𝑀 = 2 𝐵𝐶, 𝐴𝑁 = 1 𝐴𝐵34(1)試用向量𝑎 , 𝑏來表示𝐷𝑁 , 𝐴𝑀 ;(2)𝐴𝑀交 DN 于 O 點,求𝐴𝑂 𝑂𝑀的值5.𝐴𝐵𝐶的內角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,且其面積為 Scos 𝐴 =𝑎 𝑏cos 𝐵,| 𝐶𝐴 |2 = 𝐶𝐴 · 𝐵𝐴, 3 𝑆 = 𝑏2𝑐32𝑎 24(1)請從以上三個條件中任選 2 個,并求角 B;(2)在(1)的基礎上,點 D 在 AB 邊上,若sin𝐶𝐴𝐷 = 3sin𝐴𝐶𝐷,求sin𝐶𝐷𝐵注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分c 6.在銳角𝛥𝐴𝐵𝐶中,角 A、B、C 的對邊分別是 a、b、 ,𝑚 = (2cos𝐶,𝑎cos𝐵𝑏cos𝐴),𝑛 = (𝑐, 1) ,且𝑚 𝑛(1)求角 C;(2)若邊長𝑐 = 3,求𝛥𝐴𝐵𝐶面積的最大值;現(xiàn)有長度為 4,5,6 的三根細鐵絲,問:哪根能夠圍成滿足題目條件的三角形(不計損耗)?7.已知𝑎 = (cos𝛼, sin𝛼),𝑏 = (cos𝛽, sin𝛽),其中0 < 𝛼 < 𝛽 < 𝜋(1)求向量𝑎 + 𝑏與𝑎 𝑏所成的夾角;(2)若𝑘 𝑎+ 𝑏與𝑎 𝑘 𝑏的模相等,求𝛼𝛽 的值(𝑘為非零的常數(shù))28.已知向量𝑚 = (2sin𝜃, sin𝜃 + cos𝜃),𝑛 = (cos𝜃, 2 𝑚),函數(shù)𝑓(𝜃) = 𝑚 𝑛的最小值為𝑔(𝑚)(𝑚 𝑅),(1)當𝑚 = 1時,求𝑔(𝑚)的值;(2)求𝑔(𝑚);(3)已知函數(shù)(𝑥)為定義在 R 上的增函數(shù),且對任意的𝑥1, 𝑥2都滿足(𝑥1 + 𝑥2) = (𝑥1) + (𝑥2).問:sin𝜃+cos𝜃 ) + (3 + 2𝑚) > 0對所有𝜃 0, 𝜋 恒成是否存在這樣的實數(shù) m,使不等式(𝑓(𝜃) (42立,若存在,求出 m 的取值范圍;若不存在,說明理由9.已知向量𝑎 = (cos𝑥, sin𝑥),𝑏 = (3, 3),𝑥 0, 𝜋(1)若𝑎 / 𝑏,求 x 的值;(2)記𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑏,求𝑓(𝑥)的最大值和最小值以及對應的 x 的值10. 已知向量𝑎 = (sin𝜃, 1), 𝑏 = (1, cos𝜃), 𝜋 < 𝜃 < 𝜋 22()若𝑎 𝑏,求𝜃;()求|𝑎 + 𝑏|的最大值11. 已知點𝑀(2,0),𝑁(2,0),動點 P 滿足條件|PM| |PN| = 22.記動點 P 的軌跡為 W()求 W 的方程;()若 A,B 是 W 上的不同兩點,O 是坐標原點,求OA OB的最小值12. 已知函數(shù)𝑓(𝑥) = sin𝑥 3cos𝑥 + 2,記函數(shù)𝑓(𝑥)的最小正周期為𝛽,向量𝑎 = (2, cos𝛼), 𝑏 =(1, tan (𝛼 + 𝛽 ) , 0 < 𝛼 < 𝜋,且𝑎 𝑏 = 7243(1)求𝑓(𝑥)在區(qū)間2𝜋 , 4𝜋上的最值;33(2)求2cos 2𝛼sin2 (𝛼+𝛽 )的值cos𝛼sin𝛼13. 如圖,在四邊形 ABCD 中,𝐵𝐶/𝐴𝐷,𝐴 𝐵,𝐴𝐷 = 3 𝐴𝐵𝐶為等邊三角形,E 是 CD 的中點.設𝐴𝐵 = 𝑎,𝐴𝐷 = 𝑏(1)用𝑎,𝑏表示𝐴𝐶 ,𝐴𝐸 , (2)求𝐴𝐸與𝐴𝐵夾角的余弦值14. 如圖,在 𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐶 = 10,𝐵𝐶 = 8,且𝐶𝐷 = 𝐴𝐸 = 1,P 為邊𝐷𝐴𝐸𝐵2DE 上的中點,𝐷𝐸 𝐶𝐴(1)求sin𝐴𝐶𝐵的值;𝐶 (2)求 𝑃 𝐵𝑃的值= 4015. 設 P,Q 分別是梯形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 的中點(1)試用向量證明:;(2)若𝐴𝐵 = 3𝐶𝐷,求 PQ:AB 的值.b c𝑛16. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中,內角 A、B、C 所對的邊分別為 a、 、 ,已知向量𝑚 = (cos𝐵, cos𝐶), = (𝑐, 𝑏 2𝑎)且𝑚 𝑛(1)求角 C 的大??;(2)若點 D 為邊 AB 上一點,且滿足𝐴𝐷 = 𝐷𝐵,| 𝐶𝐷| = 7,𝑐 = 2 3,求𝛥𝐴𝐵𝐶的面積(1)當𝑚 = 1,𝜃 = 𝜋時,求|𝑎 𝑏|及𝑎與𝑏夾角的余弦值;𝑎𝑏17. 已知:向量 = (2𝑚, 𝑚), = (sin𝜃 + cos𝜃, 2sin𝜃cos𝜃)2𝑎 𝑏(2)若給定sin𝜃 + cos𝜃 2, 2,𝑚 0,函數(shù)𝑓(𝜃) = + sin𝜃 + cos𝜃的最小值為𝑔(𝑚),求𝑔(𝑚)的表達式。18. 已知𝑂𝐴 = (2,1),𝑂𝐵 = (3, 2),𝑂𝐶 = (6 𝑚, 3 𝑚)(1)若點 A,B,C 共線,求實數(shù) m 的值;(2)若 𝐴𝐵𝐶為直角三角形,求實數(shù) m 的值𝑂 19. 如圖所示,在 𝐴𝐵𝑂中,𝑂𝐶 = 1 𝑂𝐴,𝑂𝐷 = 1 𝐵,AD 與 BC 相交于 M 設𝑂𝐴 = 𝑎,𝑂𝐵 = 𝑏42(1)試用𝑎,𝑏表示𝑂𝑀(2)過 M 作直線 EF,分別交線段 AC,BD 于點 E,𝐹.記𝑂𝐸 = 𝜆 𝑎,𝑂𝐹 = 𝜇 𝑏,求證:1 + 3為定𝜆𝜇值20. 在平面直角坐標系中,O 為坐標原點,點 A,B,C 滿足𝑂𝐶 = 1 𝑂𝐴 + 2 𝑂𝐵33𝐶(1)求證:A,B,C 三點共線,并求|𝐴 |的值;|𝐶𝐵| (2)已知𝐴(1, cos𝑥),𝐵(1 + cos𝑥, cos𝑥),𝑥 𝜋 , 0,若函數(shù)𝑓(𝑥) = 𝑂𝐴 𝑂𝐶 (2𝑚 + 2)| 𝐴𝐵|的33最大值為 3,求實數(shù) m 的值21. 已知𝑎,𝑏,| 𝑎 | = | 𝑏 | = 1,且| 𝑎 + 𝑘 𝑏 | = 3| 𝑎 𝑘 𝑏 |,其中𝑘 > 0(1)若𝑎與𝑏的夾角為60°,求 k 的值;(2)記𝑓(𝑘) = 𝑎 𝑏,當 k 取任意正數(shù)時,𝑓(𝑘) 𝑡2 𝑚𝑡對任意的𝑡 1,2恒成立,求出實數(shù) m的取值范圍 22. 𝐴𝐵𝐶是邊長為 3 的等邊三角形,𝐵𝐸 = 2𝜆 𝐵𝐴,𝐵𝐹 = 𝜆 𝐵𝐶 (1 < 𝜆 < 1),連結 EF 交 AC 于點 D2(1)當𝜆 = 2時,設𝐵𝐴 = 𝑎,𝐵𝐶 = 𝑏,用向量𝑎 , 𝑏表示𝐸𝐹 ;3(2)當𝜆為何值時,𝐴𝐸 𝐹𝐶取得最大值,并求出最大值𝑒𝑒𝑒23. 如圖,設𝑂𝑥, 𝑂𝑦是平面內相交成60°角的兩條數(shù)軸,𝑒1 , 2分別是 x 軸,y 軸正方向同向的單位向量,若向量𝑂𝑃 = 𝑥 𝑒1 + 𝑦 2,則把有序數(shù)對(𝑥, 𝑦)叫做向量𝑂𝑃在坐標系 xOy 中的坐標,假設𝑂𝑃 =3 𝑒1 + 2 2(1)計算| 𝑂𝑃 |的大??;(2)是否存在實數(shù) n,使得𝑂𝑃與向量𝑏 = (1, 𝑛)垂直,若存在求出 n 的值,若不存在請說明理由24. 已知向量𝑎 = (𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥, 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥),向量𝑏 = (𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥, 23𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥),設函數(shù)𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑏 + 1(𝑥 𝑅)的圖象關于直線𝑥 = 𝜋對稱,其中常數(shù)𝜔 (0,2)3(1)若𝑥 0, 𝜋,求𝑓(𝑥)的值域;2(2)在(2)前提下求函數(shù)𝑓(𝑥)對稱軸方程及單調區(qū)間25. 已知向量𝑎 = (2𝑠𝑖𝑛 𝑥, cos 𝑥),𝑏 = (3cos 𝑥, 2𝑐𝑜𝑠 𝑥),定義函數(shù)𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑏 1(1)求函數(shù)𝑓(𝑥)的最小正周期(2)求函數(shù)𝑓(𝑥)的單調遞減區(qū)間(3)求函數(shù)𝑓(𝑥)在區(qū)間 𝜋 , 𝜋上的最值,并求出取得最值時 x 的值6 326. 已知向量𝑎 = (sin𝑥, cos𝑥),𝑏 = (3, 1),𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑏()求𝑓(𝑥)的最小正周期及單調遞減區(qū)間;()若𝑓(𝛼) = 6,𝛼 ( 𝜋 , 𝜋),求cos𝛼的值52 27. 如圖,已知𝐴𝐵 𝐵𝐶,𝐴𝐵 = 3𝐵𝐶 = 3𝑎,𝑎 1,3,圓 A 是以 A 為圓心、半徑為 2 的圓,圓 B是以 B 為圓心、半徑為 1 的圓,設點 E、F 分別為圓 A、圓 B 上的動點,𝐴𝐸/ 𝐵𝐹(且𝐴𝐸與𝐵𝐹同向),設𝐵𝐴𝐸 = 𝜃(𝜃 0, 𝜋) ()當𝑎 = 3,且𝜃 = 𝜋時,求𝐴𝐸 𝐴𝐶的值;6()用 a,𝜃表示出𝐶𝐸 𝐶𝐹,并給出一組 a,𝜃的值,使得𝐶𝐸 𝐶𝐹最小28. 已知平面向量𝑎 , 𝑏滿足:| 𝑎 | = 2, | 𝑏 | = 1.(1)若(𝑎 + 2 𝑏) (𝑎 𝑏) = 1,求𝑎 𝑏的值;(2)設向量𝑎 , 𝑏的夾角為𝜃.若存在𝑡 𝑅,使得| 𝑎 + 𝑡 𝑏 | = 1,求𝑐𝑜𝑠𝜃的取值范圍29. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中,設角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,且滿足𝑐𝑎 = sin𝐶+sin𝐵𝑐𝑏sin𝐴(1)求角 B 的大?。?2)設𝑚 = (3cos 𝐶 , sin 𝐴),𝑛 = (cos 𝐶 , cos 𝐴),求𝑚 𝑛的取值范圍222230. 已知𝑎,𝑏,𝑐是同一平面內的三個向量,其中𝑎 = (1, 3).(1)若| 𝑐 | = 4,且𝑐 / 𝑎,求𝑐的坐標;(2)若| 𝑏 | = 1,且,求𝑎與𝑏的夾角𝜃 𝐴𝐸 · 𝐴𝐹 = (𝐴𝐵 +𝐴𝐷 ) · (𝐴𝐷 +𝐴𝐵)【答案與解析】 𝐴 1.答案:解:(1)由題意可知不妨設𝐴𝐵, 𝐴𝐷為基底, 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 + 1 𝐷,2𝐵𝐹 = 𝐵𝐴+ 𝐴𝐷 + 𝐷𝐹 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 1 𝐴𝐵 = 1 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷,22 𝐴𝐸· 𝐵𝐹 = (𝐴𝐵+ 1 𝐴𝐷) · ( 1 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷) = 1 𝐴𝐵2 + 1 𝐴𝐷2 = 322222𝐴 (2) 𝐷𝐹 = 2 𝐹𝐶,2 𝐵𝐸 = 3 𝐸𝐶, 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 + 3 𝐷,5𝐴𝐹 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐹 = 𝐴𝐷 + 2 𝐴𝐵,33253= 2 𝐴𝐵2 + 3 𝐴𝐷2 + 7 𝐴𝐷 · 𝐴𝐵 = 24 + 60 + 42 = 12635522解析:本題主要考查了平面向量數(shù)量積的性質及其運算,向量的加減法,平面向量的基本定理,屬于中檔題(1)由題意可知不妨設𝐴𝐵, 𝐴𝐷為基底,由向量的加減的幾何意義的數(shù)量積即可求出(2)根據(jù)向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積即可求出2.答案:解:(1)由題意,向量𝑏 = (cos𝛽, sin𝛽),𝑐 = (2,0),可得𝑏 + 𝑐 = (cos𝛽 + 2, sin𝛽),則| 𝑏 + 𝑐 |2 = (cos𝛽 + 2)2 + sin2𝛽 = 5 + 4cos𝛽因為1 cos𝛽 1,所以1 | 𝑏 + 𝑐 |2 9,即1 | 𝑏 + 𝑐 | 3即當cos𝛽 = 1時, | 𝑏 + 𝑐 |的最大值為 3(2)由𝛼 = 𝜋,則𝑎 = (1 , 3),又由𝑏 = (cos𝛽, sin𝛽),𝑐 = (2,0),3得𝑎 (𝑏 + 𝑐) = (1 , 3) (cos𝛽 + 2, sin𝛽) = 1 cos𝛽 + 3 sin𝛽 + 1 = sin(𝛽 + 𝜋) + 1,22226因為𝑎 (𝑏 + 𝑐),所以𝑎 (𝑏 + 𝑐) = 0,即sin(𝛽 + 𝜋) = 1,6解得𝛽 + 𝜋 = 2𝑘𝜋 𝜋,𝑘 𝑍可得𝛽 = 2𝑘𝜋 2𝜋,𝑘 𝑍,所以cos𝛽 = 16232解析:本題考查平面向量和三角函數(shù)的綜合,解決問題的關鍵是熟練掌握先關的結論(1)由已知可得𝑏 + 𝑐坐標,可得| 𝑏 + 𝑐 |,由三角函數(shù)最值可得答案;(2)由(1)可得向量坐標,由垂直可得數(shù)量積為 0,由等式和三角函數(shù)可得sin(𝛽 + 𝜋) = 1,可得cos𝛽6的值3.答案:解:(1)設𝑏 = (𝑥 , 𝑦 ),則𝑎 + 𝑏 = (𝑥 + cos𝜃, 𝑦 + sin𝜃), 𝑎 𝑏 = 0,由|𝑎 𝑏| = 2得(𝑎 𝑏) = 4,得𝑎2 2𝑎 𝑏 + 𝑏 2 = 4,得1 0 + |𝑏| = 4,得|𝑏 | = 3, (𝑎 + 𝑏) 𝑗 = 0, 𝑦0 + sin𝜃 = 0, 𝑦0 = sin𝜃,0000 2 2 𝑎 𝑏 = 0, 𝑥0cos𝜃 + 𝑦0sin𝜃 = 0, 𝑥0 =sin 2𝜃cos𝜃,22sin 2 | 𝑏 |2 = 𝑥0 + 𝑦0 = 3 ( cos𝜃 )2 + (sin𝜃)2 = 3 tan𝜃 = ± 3, 𝜃 0, 𝜋, 𝜃 = 𝜋,或𝜃 = 2𝜋,3332當𝜃 = 𝜋時,𝑥0 = 3,𝑦0 = 3,232當𝜃 = 2𝜋時,𝑥0 = 3,𝑦0 = 3,22 = ( 3 , 3) 3) 或𝑏所以𝑏 = ( 3 , 222(2)𝑓(𝑥) = | 𝑏 + 𝑥(𝑎 𝑏)| = |𝑥 𝑎 + (1 𝑥) 𝑏 | = 𝑥2 𝑎2 + (1 𝑥)2 𝑏 + 2𝑥(1 𝑥) 𝑎 𝑏= 𝑥2 + (1 𝑥)2| 𝑏 |2 = (1 + 𝑏 )𝑥 2 2| 𝑏 |2𝑥 + | 𝑏 |2,22 1,即| 𝑏 | 1, 𝑓(𝑥)在1 , +)上為增函數(shù),所以對稱軸2 22|𝑏 | 22(1+|𝑏 | )2設𝑏 = (𝑥 , 𝑦 ),則𝑎 + 𝑏 = (𝑥 + cos𝜃, 𝑦 + sin𝜃),又 (𝑎 + 𝑏) 𝑗 = 0,且𝑎 𝑏 = 0, 𝑦0 = sin𝜃,𝑥0 = sin 2𝜃0000cos𝜃222sin 2 | 𝑏 |2 = 𝑥0 + 𝑦0 = ( cos𝜃 )2 + sin2𝜃 1,即sin2𝜃 cos2𝜃,cos2𝜃 1, cos𝜃 2 , 1 1, 2 , 𝜃 0, 𝜋 3𝜋 , 𝜋 2244(1)設𝑏 = (𝑥 , 𝑦 ),根據(jù)向量的數(shù)量積的運算,求得|𝑏 | = 3,由(𝑎 + 𝑏) 𝑗 = 0,𝑎 𝑏 = 0進而得解析:本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算公式的應用,以及函數(shù)的恒成立問題的求解,合理運算、化簡,轉化為與二次函數(shù)相關的圖象與性質的應用是解答的關鍵,著重考查了轉化思想,換元思想,以及分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題00到𝑦0和𝑥0,即可得到向量𝑏的坐標;(2)根據(jù)向量的模的運算,求得𝑓(𝑥),又由函數(shù)𝑓(𝑥) = |𝑏 + 𝑥(𝑎 𝑏)|在1 , +) 上為增函數(shù),得到2| 𝑏 | 1,故可得到cos2𝜃 1,即可求解𝜃得取值范圍;24.答案:解:(1) 𝐴𝑁 = 1 𝐴𝐵,4 𝐴𝑁 = 1 𝐴𝐵 = 1 𝑎,44 𝐷𝑁 = 𝐴𝑁 𝐴𝐷 = 1 𝐴𝐵 𝐴𝐷 = 1 𝑎 𝑏;4 4 𝐵𝑀 = 2 𝐵𝐶,3 𝐵𝑀= 2 𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐷 = 2 𝑏,333 𝐴𝑀= 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀= 𝐴𝐵 + 2 𝐴𝐷 = 𝑎 + 2 𝑏;33(2)𝐷,O,N 三點共線,則𝐷𝑂, 𝐷𝑁共線,存在實數(shù)𝜆,使𝐷𝑂= 𝜆 𝐷𝑁 = 1 𝜆 𝑎 𝜆 𝑏,4 𝐴𝑂 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝑂 = 𝑏 +𝜆 𝑎 𝜆 𝑏4214= 1 𝜆 𝑎 + (1 𝜆) 𝑏,4同理,A,O,M 三點共線,存在𝜇,𝐴𝑂 = 𝜇 𝐴𝑀= 𝜇 𝑎 + 2 𝜇 𝑏,31𝜆 = 𝜇,1 𝜆 =𝜇314,解得𝜆 = 6,𝜇 =73 𝐴𝑂 =314𝐴𝑀, 𝑂𝑀= 11 𝐴𝑀,14 𝐴𝑂:𝑂𝑀 = 3:11解析:本題考查用基底表示向量以及平面向量基本定理的應用,屬于中檔題 (1)根據(jù)條件便可得到𝐴𝑁 = 1 𝑎 , 𝐵𝑀= 2 𝑏,由向量加法、減法的幾何意義即可得到𝐷𝑁 = 𝐴𝑁431 𝑎 𝑏,𝐴𝑀= 𝑎 + 2 𝑏;43 𝐴𝐷 = 𝜆 𝐷𝑁 = 1 𝜆 𝑎 𝜆 𝑏,從而有𝐴𝑂 = 1 𝜆 𝑎 + (1 𝜆) 𝑏,同理可得(2)由 D,O,N 三點共線,便有𝐷𝑂4 41 𝜆 = 𝜇𝐴𝑂 = 𝜇 𝑎 + 2 𝜇 𝑏,這便可得到431 𝜆 = 2 𝜇35.答案:解:對于條件,可解出𝜇 = 3 ,這樣便能得出 AO:OM14cos𝐵 ,由正弦定理得sin𝐴 =cos𝐴sin𝐵則 tan 𝐴 = tan B,可得𝐴 = 𝐵對于條件,由| 𝐶𝐴 |2 = 𝐶𝐴 · 𝐵𝐴,可得| 𝐶𝐴 |2 𝐶𝐴 · 𝐵𝐴 = 0,即𝐶𝐴 · (𝐶𝐴+ 𝐴𝐵)= 𝐶𝐴 · 𝐶𝐵 = 0,則𝐶 = 𝜋23 𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛 𝐴 = 𝑏對于條件,易得122+𝑐2𝑎 24,23 sin 𝐴 × 1 = 𝑏 2+𝑐2𝑎2,即4 ×12 2𝑏𝑐𝐵𝐶𝐷中, = sin 4,sin𝐶𝐷𝐵即 1 sin 𝐴 = cos A,得 tan 𝐴 = 3,故 A= 𝜋33若選:(1)𝐴𝐵𝐶是以角 C 為直角的等腰直角三角形,所以𝐵 = 𝜋4(2)由sin𝐶𝐴𝐷 = 3sin𝐴𝐶𝐷,可得𝐶𝐷 = 3𝐴𝐷,不妨設𝐴𝐷 = 1,則𝐶𝐷 = 3,設𝐴𝐶 = 𝑥,由余弦定理可得2 = 𝑥 2+13 ,22𝑥得𝑥 = 2+10,所以𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = 2+10,22𝜋2+1032所以sin𝐶𝐷𝐵 = 3+156若選:(1)𝐴𝐵𝐶是以角 C 為直角的直角三角形,又𝐴 = 𝜋,所以𝐵 = 𝜋36(2)由sin𝐶𝐴𝐷 = 3sin𝐴𝐶𝐷,可得𝐶𝐷 = 3𝐴𝐷,不妨設𝐴𝐷 = 1,則𝐶𝐷 = 3,設𝐴𝐶 = 𝑥,由余弦定理可得cos 𝜋 = 𝑥 2+13 ,32𝑥得𝑥 = 2,故由勾股定理的逆定理可得𝐶𝐷 𝐴𝐷,所以sin𝐶𝐷𝐵 = 1若選,(1)則易知 𝐴𝐵𝐶為正三角形,可得𝐵 = 𝜋3(2)𝐴𝐵𝐶為正三角形,所以𝐴 = 𝜋,3又sin𝐶𝐴𝐷 = 3sin𝐴𝐶𝐷,所以sin𝐴𝐶𝐷 = 1,所以𝐴𝐶𝐷 = 𝜋,26所以𝐶𝐷 𝐴𝐵,所以sin𝐶𝐷𝐵 = 1解析:本題考查正余弦定理,三角形面積公式,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng),屬于中檔題選:(1)𝐴𝐵𝐶是以角 C 為直角的等腰直角三角形,故可得解 B;(2)由余弦定理求得 AC 的值,再由正弦定理可得sin𝐶𝐷𝐵選: (1)𝐴𝐵𝐶是以角 C 為直角的等腰直角三角形,故可得解 B;(2)由余弦定理求得 AC 的值,再由勾股定理可得𝐶𝐷 𝐴𝐷,故得sin𝐶𝐷𝐵選: (1)𝐴𝐵𝐶為正三角形,故得角 B;(2)求得𝐴𝐶𝐷 = 𝜋,故可得𝐶𝐷 𝐴𝐵,故得sin𝐶𝐷𝐵66.答案:解:(1) 𝑚 𝑛 , 2𝑐cos𝐶 (𝑎cos𝐵 + 𝑏cos𝐴) = 0,由正弦定理得2sin𝐶cos𝐶 (sin𝐴cos𝐵 + cos𝐴sin𝐵) = 0,即2sin𝐶cos𝐶 sin(𝐴 + 𝐵) = 0, 2sin𝐶cos𝐶 sin𝐶 = 0,在𝛥𝐴𝐵𝐶中, sin𝐶 0, cos𝐶 = 1,2;(2)由(1)知𝐶 = 𝜋,𝑐 = 3,3由余弦定理得𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 2𝑎𝑏cos𝐶,得3 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑎𝑏,由3 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑎𝑏 2𝑎𝑏 𝑎𝑏,即𝑎𝑏 3,當且僅當𝑎 = 𝑏 = 3等號成立,44 面積最大值為34又𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶 3 × 3 = 333sin𝐴 =由正弦定理得sin𝐵 =sin𝐶 = = 2,即𝑎 = 2sin𝐴, 𝑏 = 2sin𝐵,𝑎𝑏𝑐 33= 2sin𝐴 + 2 12𝐴𝐵𝐶的周長為𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2sin𝐴 + 2sin𝐵 + 33cos𝐴 +sin𝐴 + 322= 3sin𝐴 + 3cos𝐴 + 3,𝐴𝐵𝐶為銳角三角形,所以,得,所以,所以所以周長 (3 + 3, 33,由5 (3 + 3, 33,所以只能長度為 5 的鐵絲能滿足條件解析:本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)性質、三角恒等變換和基本不等式,是中檔題(1)由𝑚 𝑛 ,得2𝑐cos𝐶 (𝑎cos𝐵 + 𝑏cos𝐴) = 0,由正弦定理得2sin𝐶cos𝐶 (sin𝐴cos𝐵 +cos𝐴sin𝐵) = 0,化簡得cos𝐶 = 1,可得角 C;2(2)由余弦定理得3 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑎𝑏,利用基本不等式得出 ab 的最大值可得𝛥𝐴𝐵𝐶面積的最大值;由正弦定理得𝑎 = 2sin𝐴, 𝑏 = 2sin𝐵,所以 𝐴𝐵𝐶的周長為𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2sin𝐴 + 2sin𝐵 + 3,由三角恒等變換和三角函數(shù)性質可得周長的取值范圍,可得結論7.答案:解:(1)由已知得|𝑎| = |𝑏| = 1,則(𝑎 + 𝑏)(𝑎 𝑏) = 𝑎2 𝑏2 = 0,因此(𝑎 + 𝑏) (𝑎 𝑏),因此,向量𝑎 + 𝑏與𝑎 𝑏所成的夾角為90;,| 𝑎 𝑘 𝑏 | = (cos𝛼 𝑘cos𝛽)2 + (sin𝛼 𝑘sin𝛽)2, (𝑘cos𝛼 + cos𝛽)2 + (𝑘sin𝛼 + sin𝛽)2= (cos𝛼 𝑘cos𝛽)2 + (sin𝛼 𝑘sin𝛽)2,整理得:cos(𝛼 𝛽) = 0, 0 < 𝛼 < 𝛽 < 𝜋, 𝜋 < 𝛼 𝛽 < 0,因此:𝛼 𝛽 = 𝜋 ,即:𝛼𝛽 = 𝜋 224解析:本題考查同角三角函數(shù)的基本關系,兩角和與差的三角函數(shù)公式,向量的模,向量的夾角,向量的數(shù)量積,平面向量的坐標運算,考查運算化簡的能力,屬于中檔題(1)由題意,|𝑎| = |𝑏| = 1,(𝑎 + 𝑏)(𝑎 𝑏) = 𝑎2 𝑏2 = 0,可得(𝑎 + 𝑏) (𝑎 𝑏),即可得解;(2)由𝑘 𝑎 + 𝑏與a 𝑘 𝑏的模相等,利用模的坐標計算公式計算化簡得cos(𝛼 𝛽) = 0,再由0 < 𝛼 <𝛽 < 𝜋,可得結論8.答案:解:(1) 𝑓(𝜃) = 𝑚 𝑛= 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃),令𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2sin(𝜃 + 𝜋 ),𝑡 2, 2,4 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡2 1,當𝑚 = 1時,𝑔(𝑚) = (𝑡 2 3𝑡 1)𝑚𝑖𝑛 , 𝑦 = 𝑡2 3𝑡 1對稱軸為𝑥 = 3 > 2,在2, 2上單調遞減,2 𝑡 = 2時,(𝑡 2 3𝑡 1)𝑚𝑖𝑛 = 1 32, 𝑔(𝑚) = 1 32(2)令𝐹(𝑡) = 𝑡2 (𝑚 + 2)𝑡 1,𝑡 2, 2,對稱軸為𝑡 = 𝑚 + 1,2當𝑚 + 1 2,即𝑚 22 2時,2𝐹(𝑡)在2, 2上單調遞增, 𝐹(𝑡) 𝑚𝑖𝑛 = 𝐹(2) = (𝑚 + 2)2 + 1;當2 < 𝑚 + 1 < 2,即22 2 < 𝑚 < 22 2時,2𝐹(𝑡)在2, 𝑚 + 1上單調遞減,在 𝑚 + 1, 2上單調遞增,22 𝐹(𝑡)𝑚𝑖𝑛 = 𝐹(𝑚 𝑚2 + 4𝑚 + 8+ 1) = 2 4當𝑚 + 1 2,即𝑚 22 2時,2𝐹(𝑡)在2, 2上單調遞減, 𝐹(𝑡) 𝑚𝑖𝑛 = 𝐹(2) = 1 (𝑚 + 2)2(𝑚 + 2)2 + 1, 𝑚 22 2 𝑔(𝑚) = 𝑚 2+4𝑚+8 , 22 2 < 𝑚 < 22 241 (𝑚 + 2)2, 𝑚 22 2(3)(𝑥1 + 𝑥2) = (𝑥1) + (𝑥2),可令𝑥1 = 𝑥2 = 0,可得(0) = 0,由𝑥1 = 𝑥,𝑥2 = 𝑥,可得(𝑥) + (𝑥) = 0,可得函數(shù)(𝑥)為 R 上的奇函數(shù),sin𝜃+cos𝜃 ) + (3 + 2𝑚) > 0對所有𝜃 0, 𝜋恒成立,使不等式(𝑓(𝜃) (只需使不等式42(2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) +(3 + 2𝑚) > 0對所有𝜃 0, 𝜋恒成立,24)sin𝜃+ cos𝜃 (2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) > (3 + 2𝑚) = (3 2𝑚),函數(shù)(𝑥)為定義在 R 上的增函數(shù),4)sin𝜃+ cos𝜃 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) 4sin𝜃+ cos𝜃 𝑚 > 𝑡(2𝑡)+ 𝑡 (2𝑡) = 𝑡 + 2,> 3 2𝑚,令𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃, 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡2 1, 𝜃 0, 𝜋,2 𝑡 = 2sin(𝜃+ 𝜋) 1, 2,4原問題等價于𝑡2 1 (𝑚 + 2)𝑡 4 + 3 + 2𝑚 > 0對𝑡 1, 2恒成立,𝑡 (2 𝑡)𝑚 > 2𝑡 𝑡2 + 4 2對𝑡 1, 2恒成立,𝑡 2 𝑡 > 0,22𝑡𝑡𝑡設𝜑(𝑡) = 𝑡 + 2,任取𝑡1, 𝑡2 1, 2,且𝑡1 < 𝑡2, 𝑡2 = (𝑡1 𝑡2) + 2(𝑡2𝑡1) = (𝑡1𝑡2)(𝑡1𝑡22), 𝜑(𝑡1) 𝜑(𝑡2) = 𝑡1 +𝑡1𝑡2𝑡1𝑡2 1 𝑡1 < 𝑡2 2, (𝑡1 𝑡2) < 0,𝑡1 𝑡2 > 0,𝑡1 𝑡2 2 < 0,2 2𝑡1 𝑡2 𝜑(𝑡1) 𝜑(𝑡2) > 0,即𝜑(𝑡1) > 𝜑(𝑡2), 𝜑(𝑡) = 𝑡 + 2在1, 2上為減函數(shù),𝑡(或由對勾函數(shù)的圖象和性質直接可得減函數(shù)) 𝜑(𝑡)𝑚𝑎𝑥 = 𝜑(1) = 3,sin𝜃+cos𝜃 ) + (3 + 2𝑚) > 0對所有𝜃 0, 𝜋恒成立 𝑚 > 3時,不等式(𝑓(𝜃) (42解析:本題綜合考查了三角函數(shù)綜合,函數(shù)奇偶性和單調性的應用,二次函數(shù)最值,向量數(shù)量積的坐標表示,考查恒成立問題,屬于難題(1)把𝑚 = 1,代入相應的向量坐標表示式,然后,利用向量數(shù)量積的坐標表示,化簡函數(shù)解析式即可;(2)轉化成二次函數(shù)問題,對對稱軸與區(qū)間2, 2的位置關系進行討論;sin𝜃+cos𝜃 > (3 (3)利用函數(shù)(𝑥)為 R 上的奇函數(shù),得到2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) 4sin𝜃+cos𝜃 > 3 2𝑚,2𝑚),然后,再根據(jù)函數(shù)的單調性,轉化成2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) 4最后,利用換元法令𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃,轉化成𝑚 > 𝑡(2𝑡)+ 𝑡 (2𝑡) = 𝑡 + 2,求解函數(shù)𝜑(𝑡) = 𝑡 + 2在1, 22𝑡𝑡2𝑡的最大值為 3,從而解決問題9.答案: 解:(1)因為𝑎 = (cos𝑥,sin𝑥),𝑏 = (3, 3),𝑎 / 𝑏,所以3cos𝑥= 3sin𝑥若𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,則𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0,與sin2𝑥 + cos2𝑥 = 1矛盾,故𝑐𝑜𝑠𝑥 0于是tan𝑥 = 33又𝑥 0, 𝜋,所以𝑥 = 5𝜋6(2)𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑏 = (cos𝑥,sin𝑥) (3, 3)當𝑥 + 𝜋 = 𝜋,即𝑥 = 5𝜋時,𝑓(𝑥)取到最小值23= 3cos𝑥 3sin𝑥= 23cos(𝑥 + 𝜋)6因為𝑥 0, 𝜋,所以𝑥 + 𝜋 𝜋 , 7𝜋,666從而1 cos(𝑥 + 𝜋) 362于是,當𝑥 + 𝜋 = 𝜋,即𝑥 = 0時,𝑓(𝑥)取到最大值 3;6666