高中數(shù)學必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題

必修二第六章第 2 節(jié)平面向量的運算解答題 (1)一、解答題（本大題共 30 小題，共 360.0 分）1.在平行四邊形中 ABCD，已知𝐴𝐵 = 6, 𝐴𝐷 = 10，點𝐸, 𝐹分別為邊 BC 和邊 CD 上動點，圖 1圖 2  (1)如圖 1，若平行四邊形 ABCD 為矩形，且𝐸, 𝐹分別為 BC 和 CD 上中點，求𝐴𝐸  𝐵𝐹；，且2 𝐵𝐸   = 3 𝐸𝐶   ，求𝐴𝐸   𝐴𝐹(2)如圖 2，若2.已知向量𝑎 = (cos𝛼, sin𝛼)，𝑏 = (cos𝛽, sin𝛽)，𝑐 = (2,0)(1)求向量𝑏 + 𝑐的長度的最大值；𝑐(2)設𝛼 = 𝜋，且𝑎  (𝑏 + ) ，求cos𝛽的值33.已知實數(shù) 0  𝜃  𝜋，𝑎 = (cos𝜃, sin𝜃)，𝑗 = (0,1)，若向量 𝑏滿足 (𝑎 + 𝑏)  𝑗 = 0，且𝑎 · 𝑏 = 0(1)若| 𝑎  𝑏 | = 2，求𝑏；(2)若𝑓(𝑥) = | 𝑏 + 𝑥(𝑎  𝑏)|在1 , +) 上為增函數(shù)，求實數(shù)𝜃的取值范圍24.如圖所示，在𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 = 𝑎 , 𝐴𝐷 = 𝑏 , 𝐵𝑀 = 2 𝐵𝐶, 𝐴𝑁 = 1 𝐴𝐵34(1)試用向量𝑎 , 𝑏來表示𝐷𝑁 , 𝐴𝑀   ；(2)𝐴𝑀交 DN 于 O 點，求𝐴𝑂  𝑂𝑀的值5.𝐴𝐵𝐶的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且其面積為 Scos 𝐴  =𝑎       𝑏cos 𝐵，| 𝐶𝐴 |2 = 𝐶𝐴 · 𝐵𝐴， 3 𝑆 = 𝑏2𝑐32𝑎 24(1)請從以上三個條件中任選 2 個，并求角 B；(2)在(1)的基礎上，點 D 在 AB 邊上，若sin𝐶𝐴𝐷 = 3sin𝐴𝐶𝐷，求sin𝐶𝐷𝐵注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分c   6.在銳角𝛥𝐴𝐵𝐶中，角 A、B、C 的對邊分別是 a、b、 ，𝑚 = (2cos𝐶,𝑎cos𝐵𝑏cos𝐴)，𝑛 = (𝑐, 1) ，且𝑚  𝑛(1)求角 C；(2)若邊長𝑐 = 3，求𝛥𝐴𝐵𝐶面積的最大值；現(xiàn)有長度為 4，5，6 的三根細鐵絲，問：哪根能夠圍成滿足題目條件的三角形(不計損耗)？7.已知𝑎 = (cos𝛼, sin𝛼)，𝑏 = (cos𝛽, sin𝛽)，其中0 < 𝛼 < 𝛽 < 𝜋(1)求向量𝑎 + 𝑏與𝑎  𝑏所成的夾角；(2)若𝑘 𝑎+ 𝑏與𝑎  𝑘 𝑏的模相等，求𝛼𝛽 的值(𝑘為非零的常數(shù))28.已知向量𝑚 = (2sin𝜃, sin𝜃 + cos𝜃)，𝑛 = (cos𝜃, 2  𝑚)，函數(shù)𝑓(𝜃) = 𝑚  𝑛的最小值為𝑔(𝑚)(𝑚  𝑅)，(1)當𝑚 = 1時，求𝑔(𝑚)的值；(2)求𝑔(𝑚)；(3)已知函數(shù)(𝑥)為定義在 R 上的增函數(shù)，且對任意的𝑥1, 𝑥2都滿足(𝑥1 + 𝑥2) = (𝑥1) + (𝑥2).問：sin𝜃+cos𝜃  ) + (3 + 2𝑚) > 0對所有𝜃  0, 𝜋 恒成是否存在這樣的實數(shù) m，使不等式(𝑓(𝜃)  (42立，若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，說明理由9.已知向量𝑎 = (cos𝑥, sin𝑥)，𝑏 = (3, 3)，𝑥  0, 𝜋(1)若𝑎 / 𝑏，求 x 的值；(2)記𝑓(𝑥) = 𝑎  𝑏，求𝑓(𝑥)的最大值和最小值以及對應的 x 的值10. 已知向量𝑎 = (sin𝜃, 1), 𝑏 = (1, cos𝜃),  𝜋 < 𝜃 < 𝜋 22()若𝑎  𝑏，求𝜃；()求|𝑎 + 𝑏|的最大值11. 已知點𝑀(2,0)，𝑁(2,0)，動點 P 滿足條件|PM|  |PN| = 22.記動點 P 的軌跡為 W()求 W 的方程；()若 A，B 是 W 上的不同兩點，O 是坐標原點，求OA OB的最小值12. 已知函數(shù)𝑓(𝑥) = sin𝑥  3cos𝑥 + 2，記函數(shù)𝑓(𝑥)的最小正周期為𝛽，向量𝑎 = (2, cos𝛼), 𝑏 =(1, tan (𝛼 + 𝛽 ) , 0 < 𝛼 < 𝜋，且𝑎  𝑏 = 7243(1)求𝑓(𝑥)在區(qū)間2𝜋 , 4𝜋上的最值；33(2)求2cos 2𝛼sin2 (𝛼+𝛽 )的值cos𝛼sin𝛼13. 如圖，在四邊形 ABCD 中，𝐵𝐶/𝐴𝐷，𝐴  𝐵，𝐴𝐷 = 3 𝐴𝐵𝐶為等邊三角形，E 是 CD 的中點.設𝐴𝐵 = 𝑎，𝐴𝐷 = 𝑏(1)用𝑎，𝑏表示𝐴𝐶 ，𝐴𝐸  ，   (2)求𝐴𝐸與𝐴𝐵夾角的余弦值14. 如圖，在 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶 = 10，𝐵𝐶 = 8，且𝐶𝐷 = 𝐴𝐸 = 1，P 為邊𝐷𝐴𝐸𝐵2DE 上的中點，𝐷𝐸  𝐶𝐴(1)求sin𝐴𝐶𝐵的值；𝐶 (2)求 𝑃  𝐵𝑃的值= 4015. 設 P，Q 分別是梯形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 的中點(1)試用向量證明：；(2)若𝐴𝐵 = 3𝐶𝐷，求 PQ：AB 的值.b   c𝑛16. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，內角 A、B、C 所對的邊分別為 a、 、 ，已知向量𝑚 = (cos𝐵, cos𝐶)， = (𝑐, 𝑏  2𝑎)且𝑚  𝑛(1)求角 C 的大??；(2)若點 D 為邊 AB 上一點，且滿足𝐴𝐷 = 𝐷𝐵，| 𝐶𝐷| = 7，𝑐 = 2 3，求𝛥𝐴𝐵𝐶的面積(1)當𝑚 = 1，𝜃 = 𝜋時，求|𝑎  𝑏|及𝑎與𝑏夾角的余弦值；𝑎𝑏17. 已知：向量 = (2𝑚, 𝑚)， = (sin𝜃 + cos𝜃, 2sin𝜃cos𝜃)2𝑎   𝑏(2)若給定sin𝜃 + cos𝜃   2, 2，𝑚  0，函數(shù)𝑓(𝜃) =    + sin𝜃 + cos𝜃的最小值為𝑔(𝑚)，求𝑔(𝑚)的表達式。18. 已知𝑂𝐴 = (2,1)，𝑂𝐵 = (3, 2)，𝑂𝐶 = (6  𝑚, 3  𝑚)(1)若點 A，B，C 共線，求實數(shù) m 的值;(2)若 𝐴𝐵𝐶為直角三角形，求實數(shù) m 的值𝑂 19. 如圖所示，在 𝐴𝐵𝑂中，𝑂𝐶 = 1 𝑂𝐴，𝑂𝐷 = 1 𝐵，AD 與 BC 相交于 M 設𝑂𝐴 = 𝑎，𝑂𝐵 = 𝑏42(1)試用𝑎，𝑏表示𝑂𝑀(2)過 M 作直線 EF，分別交線段 AC，BD 于點 E，𝐹.記𝑂𝐸 = 𝜆 𝑎，𝑂𝐹 = 𝜇 𝑏，求證：1 + 3為定𝜆𝜇值20. 在平面直角坐標系中，O 為坐標原點，點 A，B，C 滿足𝑂𝐶 = 1 𝑂𝐴 + 2 𝑂𝐵33𝐶(1)求證：A，B，C 三點共線，并求|𝐴 |的值；|𝐶𝐵|   (2)已知𝐴(1, cos𝑥)，𝐵(1 + cos𝑥, cos𝑥)，𝑥   𝜋 , 0，若函數(shù)𝑓(𝑥) = 𝑂𝐴  𝑂𝐶  (2𝑚 + 2)| 𝐴𝐵|的33最大值為 3，求實數(shù) m 的值21. 已知𝑎，𝑏，| 𝑎 | = | 𝑏 | = 1，且| 𝑎 + 𝑘 𝑏 | = 3| 𝑎  𝑘 𝑏 |，其中𝑘 > 0(1)若𝑎與𝑏的夾角為60°，求 k 的值；(2)記𝑓(𝑘) = 𝑎  𝑏，當 k 取任意正數(shù)時，𝑓(𝑘)  𝑡2  𝑚𝑡對任意的𝑡  1,2恒成立，求出實數(shù) m的取值范圍  22.  𝐴𝐵𝐶是邊長為 3 的等邊三角形，𝐵𝐸 = 2𝜆 𝐵𝐴，𝐵𝐹 = 𝜆 𝐵𝐶 (1 < 𝜆 < 1)，連結 EF 交 AC 于點 D2(1)當𝜆 = 2時，設𝐵𝐴   = 𝑎，𝐵𝐶   = 𝑏，用向量𝑎 , 𝑏表示𝐸𝐹 ；3(2)當𝜆為何值時，𝐴𝐸 𝐹𝐶取得最大值，并求出最大值𝑒𝑒𝑒23. 如圖，設𝑂𝑥, 𝑂𝑦是平面內相交成60°角的兩條數(shù)軸，𝑒1 , 2分別是 x 軸，y 軸正方向同向的單位向量，若向量𝑂𝑃 = 𝑥 𝑒1 + 𝑦 2，則把有序數(shù)對(𝑥, 𝑦)叫做向量𝑂𝑃在坐標系 xOy 中的坐標，假設𝑂𝑃 =3 𝑒1 + 2 2(1)計算| 𝑂𝑃 |的大??；(2)是否存在實數(shù) n，使得𝑂𝑃與向量𝑏 = (1, 𝑛)垂直，若存在求出 n 的值，若不存在請說明理由24. 已知向量𝑎 = (𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥, 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥)，向量𝑏 = (𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥  𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥, 23𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥)，設函數(shù)𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑏 + 1(𝑥  𝑅)的圖象關于直線𝑥 = 𝜋對稱，其中常數(shù)𝜔  (0,2)3(1)若𝑥  0, 𝜋，求𝑓(𝑥)的值域；2(2)在(2)前提下求函數(shù)𝑓(𝑥)對稱軸方程及單調區(qū)間25. 已知向量𝑎 = (2𝑠𝑖𝑛 𝑥, cos 𝑥)，𝑏 = (3cos 𝑥, 2𝑐𝑜𝑠 𝑥)，定義函數(shù)𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑏  1(1)求函數(shù)𝑓(𝑥)的最小正周期(2)求函數(shù)𝑓(𝑥)的單調遞減區(qū)間(3)求函數(shù)𝑓(𝑥)在區(qū)間 𝜋 , 𝜋上的最值，并求出取得最值時 x 的值6 326. 已知向量𝑎 = (sin𝑥, cos𝑥)，𝑏 = (3, 1)，𝑓(𝑥) = 𝑎  𝑏()求𝑓(𝑥)的最小正周期及單調遞減區(qū)間；()若𝑓(𝛼) = 6，𝛼  ( 𝜋 , 𝜋)，求cos𝛼的值52   27. 如圖，已知𝐴𝐵  𝐵𝐶，𝐴𝐵 = 3𝐵𝐶 = 3𝑎，𝑎  1,3，圓 A 是以 A 為圓心、半徑為 2 的圓，圓 B是以 B 為圓心、半徑為 1 的圓，設點 E、F 分別為圓 A、圓 B 上的動點，𝐴𝐸/ 𝐵𝐹(且𝐴𝐸與𝐵𝐹同向)，設𝐵𝐴𝐸 = 𝜃(𝜃  0, 𝜋)   ()當𝑎 = 3，且𝜃 = 𝜋時，求𝐴𝐸 𝐴𝐶的值；6()用 a，𝜃表示出𝐶𝐸 𝐶𝐹，并給出一組 a，𝜃的值，使得𝐶𝐸 𝐶𝐹最小28. 已知平面向量𝑎 , 𝑏滿足：| 𝑎 | = 2, | 𝑏 | = 1.(1)若(𝑎 + 2 𝑏)  (𝑎  𝑏) = 1，求𝑎  𝑏的值；(2)設向量𝑎 , 𝑏的夾角為𝜃.若存在𝑡  𝑅，使得| 𝑎 + 𝑡 𝑏 | = 1，求𝑐𝑜𝑠𝜃的取值范圍29. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，設角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且滿足𝑐𝑎 = sin𝐶+sin𝐵𝑐𝑏sin𝐴(1)求角 B 的大?。?2)設𝑚 = (3cos 𝐶 , sin 𝐴)，𝑛 = (cos 𝐶 , cos 𝐴)，求𝑚  𝑛的取值范圍222230. 已知𝑎，𝑏，𝑐是同一平面內的三個向量，其中𝑎 = (1, 3).(1)若| 𝑐 | = 4，且𝑐 / 𝑎，求𝑐的坐標；(2)若| 𝑏 | = 1，且，求𝑎與𝑏的夾角𝜃 𝐴𝐸  · 𝐴𝐹 = (𝐴𝐵   +𝐴𝐷  ) · (𝐴𝐷   +𝐴𝐵)【答案與解析】  𝐴 1.答案：解：(1)由題意可知不妨設𝐴𝐵, 𝐴𝐷為基底， 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 + 1 𝐷，2𝐵𝐹 = 𝐵𝐴+ 𝐴𝐷 + 𝐷𝐹 =  𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 1 𝐴𝐵 =  1 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷，22    𝐴𝐸· 𝐵𝐹 = (𝐴𝐵+ 1 𝐴𝐷) · ( 1 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷) =  1 𝐴𝐵2 + 1 𝐴𝐷2 = 322222𝐴 (2)  𝐷𝐹 = 2 𝐹𝐶，2 𝐵𝐸 = 3 𝐸𝐶， 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 + 3 𝐷，5𝐴𝐹 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐹 = 𝐴𝐷 + 2 𝐴𝐵，33253= 2 𝐴𝐵2 + 3 𝐴𝐷2 + 7 𝐴𝐷 · 𝐴𝐵 = 24 + 60 + 42 = 12635522解析：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的性質及其運算，向量的加減法，平面向量的基本定理，屬于中檔題(1)由題意可知不妨設𝐴𝐵, 𝐴𝐷為基底，由向量的加減的幾何意義的數(shù)量積即可求出(2)根據(jù)向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積即可求出2.答案：解：(1)由題意，向量𝑏 = (cos𝛽, sin𝛽)，𝑐 = (2,0)，可得𝑏 + 𝑐 = (cos𝛽 + 2, sin𝛽)，則| 𝑏 + 𝑐 |2 = (cos𝛽 + 2)2 + sin2𝛽 = 5 + 4cos𝛽因為1  cos𝛽  1，所以1  | 𝑏 + 𝑐 |2  9，即1  | 𝑏 + 𝑐 |  3即當cos𝛽 = 1時， | 𝑏 + 𝑐 |的最大值為 3(2)由𝛼 = 𝜋，則𝑎 = (1 , 3)，又由𝑏 = (cos𝛽, sin𝛽)，𝑐 = (2,0)，3得𝑎  (𝑏 + 𝑐) = (1 , 3)  (cos𝛽 + 2, sin𝛽) = 1 cos𝛽 + 3 sin𝛽 + 1 = sin(𝛽 + 𝜋) + 1，22226因為𝑎  (𝑏 + 𝑐)，所以𝑎  (𝑏 + 𝑐) = 0，即sin(𝛽 + 𝜋) = 1，6解得𝛽 + 𝜋 = 2𝑘𝜋  𝜋，𝑘  𝑍可得𝛽 = 2𝑘𝜋  2𝜋，𝑘  𝑍，所以cos𝛽 =  16232解析：本題考查平面向量和三角函數(shù)的綜合，解決問題的關鍵是熟練掌握先關的結論(1)由已知可得𝑏 + 𝑐坐標，可得| 𝑏 + 𝑐 |，由三角函數(shù)最值可得答案；(2)由(1)可得向量坐標，由垂直可得數(shù)量積為 0，由等式和三角函數(shù)可得sin(𝛽 + 𝜋) = 1，可得cos𝛽6的值3.答案：解：(1)設𝑏 = (𝑥 , 𝑦 )，則𝑎 + 𝑏 = (𝑥  + cos𝜃, 𝑦  + sin𝜃)， 𝑎  𝑏 = 0，由|𝑎  𝑏| = 2得(𝑎  𝑏)   = 4，得𝑎2  2𝑎  𝑏 + 𝑏 2 = 4，得1  0 + |𝑏|   = 4，得|𝑏 | =  3， (𝑎 + 𝑏)  𝑗 = 0， 𝑦0 + sin𝜃 = 0， 𝑦0 = sin𝜃，0000 2 2 𝑎  𝑏 = 0， 𝑥0cos𝜃 + 𝑦0sin𝜃 = 0， 𝑥0 =sin 2𝜃cos𝜃，22sin 2 | 𝑏 |2 = 𝑥0 + 𝑦0 = 3  ( cos𝜃 )2 + (sin𝜃)2 = 3  tan𝜃 = ± 3， 𝜃  0, 𝜋， 𝜃 = 𝜋，或𝜃 = 2𝜋，3332當𝜃 = 𝜋時，𝑥0 = 3，𝑦0 = 3，232當𝜃 = 2𝜋時，𝑥0 =  3，𝑦0 = 3，22              = ( 3 ,     3) 3) 或𝑏所以𝑏 = ( 3 , 222(2)𝑓(𝑥) = | 𝑏 + 𝑥(𝑎  𝑏)| = |𝑥 𝑎 + (1  𝑥) 𝑏 | = 𝑥2 𝑎2 + (1  𝑥)2 𝑏  + 2𝑥(1  𝑥) 𝑎  𝑏= 𝑥2 + (1  𝑥)2| 𝑏 |2 = (1 + 𝑏  )𝑥 2  2| 𝑏 |2𝑥 + | 𝑏 |2，22 1，即| 𝑏 |  1， 𝑓(𝑥)在1 , +)上為增函數(shù)，所以對稱軸2 22|𝑏 | 22(1+|𝑏 | )2設𝑏 = (𝑥 , 𝑦 )，則𝑎 + 𝑏 = (𝑥  + cos𝜃, 𝑦  + sin𝜃)，又 (𝑎 + 𝑏)  𝑗 = 0，且𝑎  𝑏 = 0， 𝑦0 = sin𝜃，𝑥0 = sin 2𝜃0000cos𝜃222sin 2 | 𝑏 |2 = 𝑥0 + 𝑦0 = ( cos𝜃 )2 + sin2𝜃  1，即sin2𝜃  cos2𝜃，cos2𝜃  1， cos𝜃   2 , 1  1,  2 ， 𝜃  0, 𝜋  3𝜋 , 𝜋 2244(1)設𝑏 = (𝑥 , 𝑦 )，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，求得|𝑏 | =  3，由(𝑎 + 𝑏)  𝑗 = 0，𝑎  𝑏 = 0進而得解析：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算公式的應用，以及函數(shù)的恒成立問題的求解，合理運算、化簡，轉化為與二次函數(shù)相關的圖象與性質的應用是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，換元思想，以及分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題00到𝑦0和𝑥0，即可得到向量𝑏的坐標；(2)根據(jù)向量的模的運算，求得𝑓(𝑥)，又由函數(shù)𝑓(𝑥) = |𝑏 + 𝑥(𝑎  𝑏)|在1 , +) 上為增函數(shù)，得到2| 𝑏 |  1，故可得到cos2𝜃  1，即可求解𝜃得取值范圍；24.答案：解：(1)  𝐴𝑁 = 1 𝐴𝐵，4 𝐴𝑁 = 1 𝐴𝐵 = 1 𝑎，44 𝐷𝑁 = 𝐴𝑁 𝐴𝐷 = 1 𝐴𝐵  𝐴𝐷 = 1 𝑎  𝑏；4              4 𝐵𝑀 = 2 𝐵𝐶，3 𝐵𝑀= 2 𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐷 = 2 𝑏，333 𝐴𝑀= 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀= 𝐴𝐵 + 2 𝐴𝐷 = 𝑎 + 2 𝑏；33(2)𝐷，O，N 三點共線，則𝐷𝑂, 𝐷𝑁共線，存在實數(shù)𝜆，使𝐷𝑂= 𝜆 𝐷𝑁 = 1 𝜆 𝑎  𝜆 𝑏，4 𝐴𝑂 = 𝐴𝐷  + 𝐷𝑂  = 𝑏 +𝜆 𝑎  𝜆 𝑏4214= 1 𝜆 𝑎 + (1  𝜆) 𝑏，4同理，A，O，M 三點共線，存在𝜇，𝐴𝑂 = 𝜇 𝐴𝑀= 𝜇 𝑎 + 2 𝜇 𝑏，31𝜆 = 𝜇,1  𝜆 =𝜇314，解得𝜆 = 6，𝜇 =73 𝐴𝑂 =314𝐴𝑀, 𝑂𝑀= 11 𝐴𝑀，14 𝐴𝑂：𝑂𝑀 = 3：11解析：本題考查用基底表示向量以及平面向量基本定理的應用，屬于中檔題   (1)根據(jù)條件便可得到𝐴𝑁 = 1 𝑎 , 𝐵𝑀= 2 𝑏，由向量加法、減法的幾何意義即可得到𝐷𝑁 = 𝐴𝑁431 𝑎  𝑏，𝐴𝑀= 𝑎 + 2 𝑏；43 𝐴𝐷 = 𝜆 𝐷𝑁 = 1 𝜆 𝑎  𝜆 𝑏，從而有𝐴𝑂   = 1 𝜆 𝑎  + (1  𝜆) 𝑏，同理可得(2)由 D，O，N 三點共線，便有𝐷𝑂4                             41 𝜆 = 𝜇𝐴𝑂 = 𝜇 𝑎 + 2 𝜇 𝑏，這便可得到431  𝜆 = 2 𝜇35.答案：解：對于條件，可解出𝜇 = 3 ，這樣便能得出 AO：OM14cos𝐵 ，由正弦定理得sin𝐴 =cos𝐴sin𝐵則 tan 𝐴 = tan B，可得𝐴 = 𝐵對于條件，由| 𝐶𝐴 |2 = 𝐶𝐴 · 𝐵𝐴，可得| 𝐶𝐴 |2  𝐶𝐴 · 𝐵𝐴 = 0，即𝐶𝐴 · (𝐶𝐴+ 𝐴𝐵)= 𝐶𝐴 · 𝐶𝐵 = 0，則𝐶 = 𝜋23  𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛 𝐴 = 𝑏對于條件，易得122+𝑐2𝑎 24，23  sin 𝐴 × 1 = 𝑏 2+𝑐2𝑎2，即4 ×12 2𝑏𝑐𝐵𝐶𝐷中，      = sin  4，sin𝐶𝐷𝐵即 1 sin 𝐴 = cos A，得 tan 𝐴 = 3，故 A= 𝜋33若選:(1)𝐴𝐵𝐶是以角 C 為直角的等腰直角三角形，所以𝐵 = 𝜋4(2)由sin𝐶𝐴𝐷 = 3sin𝐴𝐶𝐷，可得𝐶𝐷 = 3𝐴𝐷，不妨設𝐴𝐷 = 1，則𝐶𝐷 = 3，設𝐴𝐶 = 𝑥，由余弦定理可得2 = 𝑥 2+13 ，22𝑥得𝑥 = 2+10，所以𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = 2+10，22𝜋2+1032所以sin𝐶𝐷𝐵 = 3+156若選:(1)𝐴𝐵𝐶是以角 C 為直角的直角三角形，又𝐴 = 𝜋，所以𝐵 = 𝜋36(2)由sin𝐶𝐴𝐷 = 3sin𝐴𝐶𝐷，可得𝐶𝐷 = 3𝐴𝐷，不妨設𝐴𝐷 = 1，則𝐶𝐷 = 3，設𝐴𝐶 = 𝑥，由余弦定理可得cos 𝜋 = 𝑥 2+13 ，32𝑥得𝑥 = 2，故由勾股定理的逆定理可得𝐶𝐷  𝐴𝐷，所以sin𝐶𝐷𝐵 = 1若選，(1)則易知 𝐴𝐵𝐶為正三角形，可得𝐵 = 𝜋3(2)𝐴𝐵𝐶為正三角形，所以𝐴 = 𝜋，3又sin𝐶𝐴𝐷 = 3sin𝐴𝐶𝐷，所以sin𝐴𝐶𝐷 = 1，所以𝐴𝐶𝐷 = 𝜋，26所以𝐶𝐷  𝐴𝐵，所以sin𝐶𝐷𝐵 = 1解析：本題考查正余弦定理，三角形面積公式，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題選：(1)𝐴𝐵𝐶是以角 C 為直角的等腰直角三角形，故可得解 B；(2)由余弦定理求得 AC 的值，再由正弦定理可得sin𝐶𝐷𝐵選: (1)𝐴𝐵𝐶是以角 C 為直角的等腰直角三角形，故可得解 B；(2)由余弦定理求得 AC 的值，再由勾股定理可得𝐶𝐷  𝐴𝐷，故得sin𝐶𝐷𝐵選: (1)𝐴𝐵𝐶為正三角形，故得角 B；(2)求得𝐴𝐶𝐷 = 𝜋，故可得𝐶𝐷  𝐴𝐵，故得sin𝐶𝐷𝐵66.答案：解：(1)  𝑚  𝑛 ， 2𝑐cos𝐶  (𝑎cos𝐵 + 𝑏cos𝐴) = 0，由正弦定理得2sin𝐶cos𝐶  (sin𝐴cos𝐵 + cos𝐴sin𝐵) = 0，即2sin𝐶cos𝐶  sin(𝐴 + 𝐵) = 0， 2sin𝐶cos𝐶  sin𝐶 = 0，在𝛥𝐴𝐵𝐶中， sin𝐶  0， cos𝐶 = 1，2；(2)由(1)知𝐶 = 𝜋，𝑐 = 3，3由余弦定理得𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2  2𝑎𝑏cos𝐶，得3 = 𝑎2 + 𝑏2  𝑎𝑏，由3 = 𝑎2 + 𝑏2  𝑎𝑏  2𝑎𝑏  𝑎𝑏，即𝑎𝑏  3，當且僅當𝑎 = 𝑏 = 3等號成立，44    面積最大值為34又𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶  3 × 3 = 333sin𝐴  =由正弦定理得sin𝐵  =sin𝐶  = = 2，即𝑎 = 2sin𝐴, 𝑏 = 2sin𝐵，𝑎𝑏𝑐 33= 2sin𝐴 + 2         12𝐴𝐵𝐶的周長為𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2sin𝐴 + 2sin𝐵 + 33cos𝐴 +sin𝐴 + 322= 3sin𝐴 + 3cos𝐴 + 3，𝐴𝐵𝐶為銳角三角形，所以，得，所以，所以所以周長 (3 + 3, 33,由5  (3 + 3, 33,所以只能長度為 5 的鐵絲能滿足條件解析：本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)性質、三角恒等變換和基本不等式，是中檔題(1)由𝑚  𝑛 ，得2𝑐cos𝐶  (𝑎cos𝐵 + 𝑏cos𝐴) = 0，由正弦定理得2sin𝐶cos𝐶  (sin𝐴cos𝐵 +cos𝐴sin𝐵) = 0，化簡得cos𝐶 = 1，可得角 C；2(2)由余弦定理得3 = 𝑎2 + 𝑏2  𝑎𝑏，利用基本不等式得出 ab 的最大值可得𝛥𝐴𝐵𝐶面積的最大值；由正弦定理得𝑎 = 2sin𝐴, 𝑏 = 2sin𝐵，所以 𝐴𝐵𝐶的周長為𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2sin𝐴 + 2sin𝐵 + 3，由三角恒等變換和三角函數(shù)性質可得周長的取值范圍，可得結論7.答案：解：(1)由已知得|𝑎| = |𝑏| = 1，則(𝑎 + 𝑏)(𝑎  𝑏) = 𝑎2  𝑏2 = 0，因此(𝑎 + 𝑏)  (𝑎  𝑏)，因此，向量𝑎 + 𝑏與𝑎  𝑏所成的夾角為90；，| 𝑎  𝑘 𝑏 | = (cos𝛼  𝑘cos𝛽)2 + (sin𝛼  𝑘sin𝛽)2， (𝑘cos𝛼 + cos𝛽)2 + (𝑘sin𝛼 + sin𝛽)2= (cos𝛼  𝑘cos𝛽)2 + (sin𝛼  𝑘sin𝛽)2，整理得：cos(𝛼  𝛽) = 0， 0 < 𝛼 < 𝛽 < 𝜋, 𝜋 < 𝛼  𝛽 < 0，因此：𝛼  𝛽 =  𝜋 ，即：𝛼𝛽 =  𝜋 224解析：本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和與差的三角函數(shù)公式，向量的模，向量的夾角，向量的數(shù)量積，平面向量的坐標運算，考查運算化簡的能力，屬于中檔題(1)由題意，|𝑎| = |𝑏| = 1，(𝑎 + 𝑏)(𝑎  𝑏) = 𝑎2  𝑏2 = 0，可得(𝑎 + 𝑏)  (𝑎  𝑏)，即可得解；(2)由𝑘 𝑎 + 𝑏與a  𝑘 𝑏的模相等，利用模的坐標計算公式計算化簡得cos(𝛼  𝛽) = 0，再由0 < 𝛼 <𝛽 < 𝜋，可得結論8.答案：解：(1)  𝑓(𝜃) = 𝑚  𝑛= 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃  (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)，令𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2sin(𝜃 + 𝜋 )，𝑡  2, 2，4 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡2  1，當𝑚 = 1時，𝑔(𝑚) = (𝑡 2  3𝑡  1)𝑚𝑖𝑛 ， 𝑦 = 𝑡2  3𝑡  1對稱軸為𝑥 = 3 > 2，在2, 2上單調遞減，2 𝑡 = 2時，(𝑡 2  3𝑡  1)𝑚𝑖𝑛 = 1  32， 𝑔(𝑚) = 1  32(2)令𝐹(𝑡) = 𝑡2  (𝑚 + 2)𝑡  1，𝑡  2, 2，對稱軸為𝑡 = 𝑚 + 1，2當𝑚 + 1  2，即𝑚  22  2時，2𝐹(𝑡)在2, 2上單調遞增， 𝐹(𝑡) 𝑚𝑖𝑛 = 𝐹(2) = (𝑚 + 2)2 + 1;當2 < 𝑚 + 1 < 2，即22  2 < 𝑚 < 22  2時，2𝐹(𝑡)在2, 𝑚 + 1上單調遞減，在 𝑚 + 1, 2上單調遞增，22 𝐹(𝑡)𝑚𝑖𝑛 = 𝐹(𝑚        𝑚2 + 4𝑚 + 8+ 1) =            2              4當𝑚 + 1  2，即𝑚  22  2時，2𝐹(𝑡)在2, 2上單調遞減， 𝐹(𝑡) 𝑚𝑖𝑛 = 𝐹(2) = 1  (𝑚 + 2)2(𝑚 + 2)2 + 1, 𝑚  22  2 𝑔(𝑚) =  𝑚 2+4𝑚+8 , 22  2 < 𝑚 < 22  241  (𝑚 + 2)2, 𝑚  22  2(3)(𝑥1 + 𝑥2) = (𝑥1) + (𝑥2)，可令𝑥1 = 𝑥2 = 0，可得(0) = 0，由𝑥1 = 𝑥，𝑥2 = 𝑥，可得(𝑥) + (𝑥) = 0，可得函數(shù)(𝑥)為 R 上的奇函數(shù)，sin𝜃+cos𝜃  ) + (3 + 2𝑚) > 0對所有𝜃  0, 𝜋恒成立，使不等式(𝑓(𝜃)  (只需使不等式42(2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃  (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) +(3 + 2𝑚) > 0對所有𝜃  0, 𝜋恒成立，24)sin𝜃+ cos𝜃 (2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃  (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) > (3 + 2𝑚) = (3  2𝑚)，函數(shù)(𝑥)為定義在 R 上的增函數(shù)，4)sin𝜃+ cos𝜃 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃  (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) 4sin𝜃+ cos𝜃 𝑚 > 𝑡(2𝑡)+ 𝑡 (2𝑡) = 𝑡 + 2，> 3  2𝑚，令𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃， 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡2  1， 𝜃  0, 𝜋，2 𝑡 = 2sin(𝜃+ 𝜋)  1, 2，4原問題等價于𝑡2  1  (𝑚 + 2)𝑡  4 + 3 + 2𝑚 > 0對𝑡  1, 2恒成立，𝑡 (2  𝑡)𝑚 > 2𝑡  𝑡2 + 4  2對𝑡  1, 2恒成立，𝑡 2  𝑡 > 0，22𝑡𝑡𝑡設𝜑(𝑡) = 𝑡 + 2，任取𝑡1, 𝑡2  1, 2，且𝑡1 < 𝑡2， 𝑡2 = (𝑡1  𝑡2) + 2(𝑡2𝑡1) = (𝑡1𝑡2)(𝑡1𝑡22)， 𝜑(𝑡1)  𝜑(𝑡2) = 𝑡1 +𝑡1𝑡2𝑡1𝑡2 1  𝑡1 < 𝑡2  2， (𝑡1  𝑡2) < 0，𝑡1  𝑡2 > 0，𝑡1  𝑡2  2 < 0，2      2𝑡1    𝑡2 𝜑(𝑡1)  𝜑(𝑡2) > 0，即𝜑(𝑡1) > 𝜑(𝑡2)， 𝜑(𝑡) = 𝑡 + 2在1, 2上為減函數(shù)，𝑡(或由對勾函數(shù)的圖象和性質直接可得減函數(shù)) 𝜑(𝑡)𝑚𝑎𝑥 = 𝜑(1) = 3，sin𝜃+cos𝜃  ) + (3 + 2𝑚) > 0對所有𝜃  0, 𝜋恒成立 𝑚 > 3時，不等式(𝑓(𝜃)  (42解析：本題綜合考查了三角函數(shù)綜合，函數(shù)奇偶性和單調性的應用，二次函數(shù)最值，向量數(shù)量積的坐標表示，考查恒成立問題，屬于難題(1)把𝑚 = 1，代入相應的向量坐標表示式，然后，利用向量數(shù)量積的坐標表示，化簡函數(shù)解析式即可；(2)轉化成二次函數(shù)問題，對對稱軸與區(qū)間2, 2的位置關系進行討論；sin𝜃+cos𝜃   > (3 (3)利用函數(shù)(𝑥)為 R 上的奇函數(shù)，得到2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃  (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) 4sin𝜃+cos𝜃  > 3  2𝑚，2𝑚)，然后，再根據(jù)函數(shù)的單調性，轉化成2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃  (2 + 𝑚)(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) 4最后，利用換元法令𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃，轉化成𝑚 > 𝑡(2𝑡)+ 𝑡 (2𝑡) = 𝑡 + 2，求解函數(shù)𝜑(𝑡) = 𝑡 + 2在1, 22𝑡𝑡2𝑡的最大值為 3，從而解決問題9.答案： 解：(1)因為𝑎 = (cos𝑥,sin𝑥)，𝑏 = (3, 3)，𝑎 / 𝑏，所以3cos𝑥= 3sin𝑥若𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0，則𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0，與sin2𝑥 + cos2𝑥 = 1矛盾，故𝑐𝑜𝑠𝑥  0于是tan𝑥 =  33又𝑥  0, 𝜋，所以𝑥 = 5𝜋6(2)𝑓(𝑥) = 𝑎  𝑏 = (cos𝑥,sin𝑥) (3, 3)當𝑥 + 𝜋 = 𝜋，即𝑥 = 5𝜋時，𝑓(𝑥)取到最小值23= 3cos𝑥  3sin𝑥= 23cos(𝑥 + 𝜋)6因為𝑥  0, 𝜋，所以𝑥 + 𝜋  𝜋 , 7𝜋，666從而1  cos(𝑥 + 𝜋)  362于是，當𝑥 + 𝜋 = 𝜋，即𝑥 = 0時，𝑓(𝑥)取到最大值 3；6666