2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

考點(diǎn)25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用一、選擇題1. （2012·新課標(biāo)全國高考文科·12）數(shù)列an滿足an+1(1)n an 2n1，則an的前60項和為（ ）（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830【解題指南】依次寫出數(shù)列的項，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項公式，找到規(guī)律后，可直接求和.【解析】選D. ，.二、填空題2.（2012·新課標(biāo)全國高考理科·T16）數(shù)列滿足=2n-1，則前60項和為 【解題指南】依次寫出數(shù)列的項，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項公式，找到規(guī)律后，可直接求和.【解析】，.【答案】1830.3. （2012·湖北高考文科·17）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3， 6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列bn，可以推測：（）b2012是數(shù)列an中的第_項；（）b2k-1=_.（用k表示）【解題指南】本題考查求數(shù)列通項公式的方法，解答本題可先根據(jù)數(shù)列an前項與后項的關(guān)系，求出數(shù)列an的通項，再結(jié)合數(shù)列bn與an的關(guān)系求出數(shù)列bn的通項解答本題.【解析】由圖可知數(shù)列an滿足:a1=1,an-an-1=n(n2).所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+n-1+2+1=(n2),當(dāng)n=1時,也符合上式,則an=.當(dāng)n=4,5,9,10,14,15,19,20,時,構(gòu)成數(shù)列bn的第1,2,3,4,項,則可以看出n=5,10,15,20,時,分別對應(yīng)著bn的第2,4,6,8項.(1)b2012是數(shù)列an中的第5030項;(2)b2k-1=.【答案】(1)5030(2).4.（2012·湖南高考文科·16）對于，將n表示為,當(dāng)時，當(dāng)時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當(dāng)，a2，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8= （2）記cm為數(shù)列bn中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是 【解題指南】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運(yùn)算能力，創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.本題實(shí)際是描述的將一個十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，然后找出規(guī)律.【解析】（1）觀察知；一次類推；，b2+b4+b6+b8=；（2）由（1）知cm的最大值為.【答案】（1）3 （2）2.三、解答題5.（2012·湖北高考文科·20）（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列an前三項的和為-3，前三項的積為8.（1） 求等差數(shù)列an的通項公式；（2）若a2,a3,a1成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.【解題指南】本題考查兩類數(shù)列的基本運(yùn)算與性質(zhì),解答本題可先設(shè)出首項和公差,再代入求解.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則，由題意知解得，故等差數(shù)列an的通項公式為：.（2）當(dāng)時，a2,a3,a1分別為-1，-4，2不是等比數(shù)列，所以當(dāng)n=1時，數(shù)列的和為：S1=4；當(dāng)n=2時，數(shù)列的和為：S2=4+1=5；當(dāng)n3時，Sn= =當(dāng)n=2時,符合上式，所以6.（2012·湖南高考文科·20）（本小題滿分13分）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.（）用d表示a1，a2，并寫出與an的關(guān)系式；（）若公司希望經(jīng)過m（m3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.【解題指南】本題考查遞推數(shù)列問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和使用數(shù)列知識分析解決實(shí)際問題的能力.第一問建立數(shù)學(xué)模型，得出與an的關(guān)系式，第二問，只要把第一問中的迭代，即可以解決.【解析】（）由題意得，=4500-d，.（）由（）得.整理得.由題意，解得.故該企業(yè)每年上繳資金的值為時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為萬元.7.（2012·江蘇高考·20）（本小題滿分16分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【解題指南】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。（2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比.從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列.最后用反證法求出.【解析】（1），。 . . 數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列.（2），。.（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，當(dāng)時，與（）矛盾.若則，當(dāng)時，與（）矛盾.綜上所述，。，.又，是公比是的等比數(shù)列.若，則，于是.又由即，得.中至少有兩項相同，與矛盾. .8.（2012·廣東高考理科·19）（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，滿足且成等差數(shù)列。（1） 求a1的值；（2） 求數(shù)列的通項公式.（3） 證明：對一切正整數(shù)n，有.【解題指南】(1)根據(jù)利用,可得到,令n=1，從而得到,再根據(jù)成等差數(shù)列得,三個方程聯(lián)立可解出.(2)在（1）的基礎(chǔ)上對的兩邊同除以得,再驗證：也滿足上式，因而對都成立，然后再利用疊加求和的方法確定,進(jìn)而確定的通項公式.(3)解本題的關(guān)鍵是當(dāng)時，然后放縮再利用裂項求和的方法證明即可.【解析】（1）兩式相減得,又成等差數(shù)列，即.(2)由（1）得時，兩邊同除以得又時，,也滿足上式，時，.。(3)當(dāng)n=1時，;當(dāng)n=2時，.當(dāng)時，9.（2012·廣東高考文科·19）設(shè)數(shù)列前項和為，數(shù)列前項和為，滿足，.(1)求的值；（2）求數(shù)列的通項公式.【解題指南】 (1)根據(jù)，利用,可建立關(guān)于的方程，即可求出.(2)解本題的關(guān)鍵是,因為當(dāng)n=1時，也滿足上式，所以，然后轉(zhuǎn)化為常規(guī)題型來做即可?！窘馕觥浚?）令n=1時，.(2) 因為當(dāng)n=1時，也滿足上式，所以當(dāng)兩式相減得所以所以因為,所以數(shù)列是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以所以.10.（2012·安徽高考理科·21）(本小題滿分13分）數(shù)列滿足：（I）證明： 是遞減數(shù)列的充分必要條件是（II）求的取值范圍，使是遞增數(shù)列.【解題指南】（1）要證明必要性和充分性；（2）由（I），然后分類討論，根據(jù)作差法去討論的值.【解析】（I）必要條件 當(dāng)時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 充分條件 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是. （II）由（I）得： 當(dāng)時，不合題意 當(dāng)時， 當(dāng)時，與同號，由 當(dāng)時，存在，使與異號與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾得：當(dāng)時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.11.（2012·安徽高考文科·21）(本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)=+的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為.（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)的前項和為，求?！窘忸}指南】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)，的左側(cè)導(dǎo)函數(shù)小于0，的右側(cè)導(dǎo)函數(shù)大于0，求出極小值點(diǎn)；（2）由（I）求出的前項和為，再代入.【解析】（I） 得：當(dāng)時，取極小值 得： （II）由（I）得： 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，所以12.（2012·浙江高考文科·19）（本題滿分14分）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，nN，數(shù)列bn滿足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求數(shù)列an·bn的前n項和Tn.【解題指南】由前n項和Sn可求出通項公式，而數(shù)列an·bn的通項符合等差與等比數(shù)列乘積的形式,故可用錯位相減法求出.【解析】（1）由Sn=2n2+n，可得當(dāng)時，當(dāng)時，符合上式，所以由an=4log2bn3可得=4log2bn3，解得.（2） -可得.13.（2012·山東高考理科·20）在等差數(shù)列中，.（）求數(shù)列的通項公式；（）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，求數(shù)列的前項和.【解題指南】（1）可利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，再利用求出公差d，利用求出通項公式；（2）利用數(shù)列的中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù).可求得數(shù)列為兩個等比數(shù)列.【解析】(1) 由得，所以.(2) 對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)為，則，即，所以，于是，即.14. （2012·山東高考文科·20）已知等差數(shù)列的前5項和為105，且.()求數(shù)列的通項公式；()對任意，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為.求數(shù)列的前m項和.【解題指南】（1）可利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式列出方程組求出首項和公差；進(jìn)而求得通項公式.（2）利用數(shù)列的中不大于內(nèi)的項的個數(shù).可求得數(shù)列為等比數(shù)列.利用等比數(shù)列的前n項公式求得.【解析】(I)由已知得：解得,所以通項公式為.(II)對，若，則，因此.，是公比為49的等比數(shù)列，.15. （2012·江西高考理科·16）已知數(shù)列an的前n項和（其中）,且Sn的最大值為8.（1）確定常數(shù)k，求an；（2）求數(shù)列的前n項和Tn.【解題指南】（1）先求得的值，再利用求，注意驗證首項；（2）用錯位相減法求和.【解析】（1）當(dāng)時，取最大值，即，故，因此，從而.又，所以.（2）因為，所以16.（2012·江西高考文科·17）已知數(shù)列|an|的前n項和（其中c，k為常數(shù)），且a2=4，a6=8a3.（1）求an；（2）求數(shù)列nan的前n項和Tn?！窘忸}指南】（1）利用求，注意驗證首項；（2）用錯位相減法求和.【解析】(1)當(dāng)時，則，c=2.a2=4，即，解得k=2，（n）1）當(dāng)n=1時，綜上所述.(2) ，則（1）-（2）得.