2011年高考數(shù)學(xué) 考點24數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

考點24 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 一、選擇題 1.（2011·江西高考理科·Ｔ5） 已知數(shù)列 {}的前項和滿足：+=，且=1，那么=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 【思路點撥】 【精講精析】選A. 2.（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若數(shù)列的通項公式是n=(-1)n(3-2),則… （A）15 (B)12 （C）12 (D) 15 【思路點撥】觀察數(shù)列的性質(zhì)，得到 【精講精析】選A. 故 二、填空題 3.（2011·江蘇高考·Ｔ13）設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________ 【思路點撥】本題考查的是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，解題的關(guān)鍵是找出等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)合點，從而找到q滿足的關(guān)系式，求得其最小值。 【精講精析】答案： 由題意：，，而的最小值分別為1，2，3；。 4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若數(shù)列中的最大項是第項，則=_______________. 【思路點撥】可由不等式組解得. 【精講精析】答案：4設(shè)最大項為第項，則由不等式組得,即,解得,故. 三、解答題 5.（2011·安徽高考理科·Ｔ18）在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這+2個數(shù)的乘積記作，再令， （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項和. 【思路點撥】本題將數(shù)列問題和三角問題結(jié)合在一起，解決此題需利用等比數(shù)列通項公式，等差數(shù)列前n項和公式，及兩角差的正切公式等基本知識. 【精講精析】（Ⅰ）設(shè)這+2個數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為，則，則 ，，又 所以 （Ⅱ）由題意和（Ⅰ）中計算結(jié)果，知 另一方面，利用 得 所以 6.（2011·江蘇高考·Ｔ20）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項，前n項和為，已知對任意整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)n>k時，都成立 （1）設(shè)M=｛1｝，，求的值； （2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列的通項公式。 【思路點撥】本題考查的是等差數(shù)列概念、和與通項關(guān)系，其中（1）問較為容易，（2）問解決的關(guān)鍵是抓住題目的的轉(zhuǎn)化從中找到解決問題的規(guī)律。 【精講精析】由題設(shè)知，當(dāng)時， 即，從而，又， 故當(dāng)時，，所以的值為8. (2) 由題設(shè)知, 當(dāng),且時， 且， 兩式相減得，即，所以當(dāng)時，成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列， 從而當(dāng)時， ， 且。 所以當(dāng)時，，即，于是， 當(dāng)時，成等差數(shù)列， 從而，故由式知，即，當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時，， 從而由式知，故， 從而，于是。 因此，對任意都成立。 又由（可知， 故且。解得，從而，。 因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由知， 所以數(shù)列的通項公式為。 7.（2011·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ17）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且 （Ⅰ)求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設(shè) 求數(shù)列的前n項和. 【思路點撥】第（1）問可由，聯(lián)立方程組求得和公比，從而求得的通項公式.第（2）問中，需先利用對數(shù)的性質(zhì)化簡，再用裂項相消的方法求數(shù)列的前項和. 【精講精析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為q，由得所以. 由條件可知,故.由得，所以. 故數(shù)列的通項式為=. （Ⅱ ） . 故, . 所以數(shù)列的前n項和為. 8.（2011·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ17）已知等比數(shù)列中，，公比. （I）為的前項和，證明： （II）設(shè)，求數(shù)列{}的通項公式. 【思路點撥】第（1）問利用等比數(shù)列通項公式和求和公式求出然后證明等式成立； （2）利用對數(shù)的性質(zhì)化簡，即得{}的通項公式. 【精講精析】（I）， （II） . 數(shù)列的通項公式為=. 9.（2011·廣東文科·T20）設(shè)b>0，數(shù)列}滿足a1=b,. (1)求數(shù)列的通項公式； (2)證明：對于一切正整數(shù)n， b+1 【思路點撥】（1）把題中條件變形為，構(gòu)造成為，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求得的通項公式，進(jìn)而求出的通項公式. （2）利用均值不等式證明. 【精講精析】（1）【解】由已知得，當(dāng)時，上式變形為：， 即數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得：，解得； 當(dāng)時，有，即{}是首項公差均為1的等差數(shù)列，則. 綜上所述. （2）【證明】方法一：當(dāng) 只需 綜上所述 方法二：由（1）及題設(shè)知: 當(dāng)時，+1=2=2； 當(dāng)時，，而，， 即2，又，. 綜上所述，對于一切正整數(shù)有. 10.（2011·廣東高考理科·Ｔ20）設(shè)數(shù)列滿足. 求數(shù)列的通項公式； 證明：對于一切正整數(shù)n, 【思路點撥】（1）把題中條件變形為，構(gòu)造成為，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求得的通項公式，進(jìn)而求出的通項公式.，或用猜想證明的方法解決. （2）利用均值不等式證明. 【精講精析】（1）方法一：由已知得，兩邊同除以，整理得， 當(dāng)時有： （）令，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列通項公式得，即 從而. 當(dāng)時，有，即是首項與公差均為的等差數(shù)列，從而有，得. 綜上所述 方法二：（?。┊?dāng)時，是以為首項，為公差的等差數(shù)列， 即，∴ （ⅱ）當(dāng)時，，，， 猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時，猜想顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)時，，則 ， 所以當(dāng)時，猜想成立， 由①②知，，． 綜上所述 （2）【證明】方法一：（ⅰ）當(dāng)時， ，故時，命題成立； （ⅱ）當(dāng)時，， ， ，以上n個式子相加得 ， ．故當(dāng)時，命題成立； 綜上（?。áⅲ┲}成立． 方法二：由（1）及題設(shè)知: 當(dāng)時， 當(dāng)時， 而 ，即，又 綜上所述：對于一切正整數(shù)n,. 11.（2011·山東高考理科·Ｔ20）（本小題滿分12分） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項和Sn. 【思路點撥】（Ⅰ）由題意易知.由等比數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的通項公式.（Ⅱ）由題意易知數(shù)列為擺動數(shù)列，利用分組求和法，可以將奇數(shù)項和偶數(shù)項分開來求解數(shù)列的前n項和，但是要分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論 【精講精析】（Ⅰ）由題意可知，公比， 通項公式為； （Ⅱ） 當(dāng)時， 當(dāng)時 故 另解：令，即 則 故 . 12.（2011·山東高考文科·Ｔ20）（本小題滿分12分） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：=，求數(shù)列的前項和. 【思路點撥】（I）由題意易知.由等比數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列.（II）由題意易知數(shù)列為擺動數(shù)列，利用分組求和法，可以將奇數(shù)項和偶數(shù)項分開來求解數(shù)列的前2n項和. 【精講精析】（Ⅰ）由題意知,因為是等比數(shù)列,所以公比為3,所以數(shù)列的通項公式. （Ⅱ）== =, 所以 =+ 13.（2011·遼寧高考理科·Ｔ17）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8= -10 （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （II）求數(shù)列的前n項和． 【思路點撥】(Ⅰ)先求首項和公差，再求通項公式；（Ⅱ）可利用錯位相減法求和． 【精講精析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為， 由已知條件可得故數(shù)列的通項公式為 ……5分 （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，即=故=1， .所以，當(dāng)＞1時，=- ===，所以= 綜上，數(shù)列的前項和=. ……12分 14.（2011·北京高考理科·T20）(13分)若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列，記=. （Ⅰ）寫出一個滿足，且的數(shù)列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011； （Ⅲ）對任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由. 【思路點撥】（Ⅰ）寫出滿足條件的一個數(shù)列即可；（Ⅱ）分別證明必要性與充分性；（Ⅲ）先假設(shè)存在，看能否求出，求出即存在，求不出則不存在. 【精講精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一個滿足條件的E數(shù)列. （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E數(shù)列） （Ⅱ）必要性：因為E數(shù)列是遞增數(shù)列，所以. 所以是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.所以. 充分性：由于，，……，， 所以，即. 又因為，所以. 故，即是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證. （Ⅲ）令，則. 因為 ，……，， 所以 因為 ，所以為偶數(shù). 所以為偶數(shù). 所以要使，必須使為偶數(shù)， 即4整除，亦即或 當(dāng)時，E數(shù)列的項滿足 時，有； 當(dāng)n=4m+1時，E數(shù)列的項滿足 時，有； 當(dāng)n=4m+2或n=4m+3時，n(n-1)不能被4整除，此時不存在E數(shù)列，使得. 15.（2011·北京高考文科·T20）(13分)若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列.記=. （Ⅰ）寫出一個E數(shù)列滿足 （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011； （III）在的E數(shù)列中，求使得成立的n的最小值. 【思路點撥】（Ⅰ）寫出滿足條件的一個數(shù)列即可；（Ⅱ）分別證明必要性與充分性；（Ⅲ）利用E數(shù)列的定義找出前面幾項的和與0的關(guān)系，再求n的最小值. 【精講精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一個滿足條件的E數(shù)列. （答案不惟一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E數(shù)列） （Ⅱ）必要性：因為E數(shù)列是遞增數(shù)列，所以. 所以是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.所以. 充分性：由于，，……，， 所以，即. 又因為，所以. 故，即是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證. （Ⅲ）對首項為4的E數(shù)列由于，… 所以. 所以對任意的首項為4的E數(shù)列，若，則必有. 又的E數(shù)列：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4滿足， 所以n的最小值是9. 16.（2011·湖南高考文科T20）（本小題滿分13分）某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少.從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%. （Ⅰ）求第n年初M的價值的表達(dá)式； （2）設(shè)大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新.證明：須在第9年初對M更新. 【思路點撥】本題考查學(xué)生運(yùn)用知識的能力，重點考查學(xué)生的以下能力：一是閱讀能力.二是轉(zhuǎn)化能力.三是表達(dá)能力.能否把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言的理解能力.四是解題能力.本題主要考查學(xué)生的閱讀能力和建模能力和運(yùn)算能力，閱讀后建立數(shù)列模型是關(guān)鍵. 【精講精析】 （I）當(dāng)時，數(shù)列是首項為120，公差為的等差數(shù)列． 當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，公比為為等比數(shù)列，又，所以 因此，第年初，M的價值的表達(dá)式為 (II)設(shè)表示數(shù)列的前項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得 當(dāng)時， 當(dāng)時， 因為是遞減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又 所以須在第9年初對M更新． 17.（2011·江西高考文科·Ｔ21）（1）已知兩個等比數(shù)列，，滿足，若數(shù)列唯一，求的值； （2）是否存在兩個等比數(shù)列，，使得成公差不為的等差數(shù)列？若存在，求 ， 的通項公式；若不存在，說明理由． 【思路點撥】（1）先將再根據(jù)，可得和的關(guān)系式，再根據(jù)數(shù)列的唯一性，知q必有一個值為0，代入可得a的值。(2)將 再根據(jù)它們四個成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得之間的關(guān)系，通過消參可得，即或，經(jīng)討論可得兩者都不符合題意。 【精講精析】解：（1）要唯一，當(dāng)公比時，由且， ，最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根） ，此時滿足條件的a有無數(shù)多個，不符合。 當(dāng)公比時，等比數(shù)列首項為a，其余各項均為常數(shù)0，則唯一，此時由，可推得符合 綜上：。 （2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，整理得： 要使該式成立，則=或此時數(shù)列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列。 18.（2011天津高考文科T20）已知數(shù)列滿足 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明是等比數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)為的前項和，證明 【思路點撥】（1）的通項公式是常數(shù)，對n取值代入求值； （2）由的關(guān)系式，構(gòu)造是常數(shù)； 由（2）求出的通項，得到的通項公式，再求和、放縮證明. 【精講精析】 （Ⅰ）【解析】由可得 又， 當(dāng) 當(dāng) （Ⅱ）證明：對任意 ① ② ②-①，得.所以是等比數(shù)列. （Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當(dāng)時， 故對任意 由①得 因此， 于是， 故 19.（2011·浙江高考理科·Ｔ19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為（∈R），設(shè)數(shù)列的前ｎ項和為，且成等比數(shù)列。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及； （Ⅱ）記＝+++…+， ＝+ + ，當(dāng)≥2時，試比較與的大?。? 【思路點撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識，要注意待定系數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用。 【精講精析】（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由 得。因為,所以 所以， （Ⅱ）解：因為 所以 因為所以 當(dāng)n≥2時，，即 所以，當(dāng)＞0時，；當(dāng)＜0時，。 20.（2011·浙江高考文科·Ｔ19）（本題滿分14分） 已知公差不為0的等差數(shù)列的首項且成等比數(shù)列。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）對，試比較與的大小． 【思路點撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識，代入公式即可求解，要注意待定系數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用。 【精講精析】（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d,由 得。從而 因為,所以 故通項公式 （Ⅱ）解：記因為， 所以，當(dāng)＞0時，；當(dāng)＜0時，． 21.（2011.天津高考理科.T20）已知數(shù)列與滿足：， ，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列； （III）設(shè)，證明： 【思路點撥】 （1）的通項公式是常數(shù)，對n取值代入求值； （2） 由的關(guān)系式，構(gòu)造是常數(shù)； （3） 由（2）求出的通項，得到的通項公式，再求和、放縮證明。 【精講精析】 （I）【解析】由 ，可得，又 （II）證明：對任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 將④代入①，可得 即 又 因此是等比數(shù)列. （III）證明：由（II）可得. 于是，對任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當(dāng)k=1時也成立.由④式得 從而 所以，對任意， 對于n=1，不等式顯然成立. 所以，對任意